1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 11
Текст из файла (страница 11)
. . , x (l) , предполагая l n. Обозна(q)чим через k ранг таблицы, образованной составляющими xp . Еслиk = l, то, как мы видели, система имеет только нулевое решение,т. е. векторы линейно независимы. Если же k < l, то система будет, наверно, иметь решение, отличное от нулевого, т. е. для линейной независимости векторов необходимо и достаточно, чтобы ихчисло равнялось рангу таблицы, образованной их составляющими.Положим теперь, что k < l, т.
е. что векторы линейно зависимы.Выделим из них те k векторов (возможно, что это можно будетсделать несколькими способами), составляющие которых содержатопределитель порядка k, отличных от нуля. Согласно доказанному выше, эти векторы линейно независимы. Нетрудно видеть, чтокаждый из остальных векторов может быть выражен линейно черезвыделенные векторы. Действительно, пусть x (1) , . . .
, x (k) — линейно независимые векторы. Присоединяя к ним какой-нибудь векторx (k+s) , получим (k + 1) векторов, которые будут линейно зависимы,так как ранг k таблицы их составляющих меньше их числа l = k+1.Итак, будут существовать постоянные Ci (i = 1, 2, . . . , k, k+s), среди которых есть отличные от нуля, такие, чтоC1 x (1) + C2 x (2) + . . . + Ck x (k) + Ck+s x (k+s) = 0.При этом, наверно, Ck+s = 0, ибо в противном случае векторыx(1) , x (2) , . .
. , x (k) оказались бы линейно зависимы. Из написанногоравенства следует:x (k+s) = −C1 (1)C2 (2)Ck (k)x −x − ... −x ,Ck+sCk+sCk+sт. е. x (k+s) выражается линейно через x (1) , x (2) , . . . , x (k) . Пустьx (1) , x(2) , . . . , x(k) — n каких-нибудь линейно независимых векторов. В качестве примера таких векторов мы можем указать векторы:(1, 0, 0, . . . , 0);(0, 1, 0, . . .
, 0); . . . ; (0, 0, 0, . . . , 1).(21)62Гл. I. Определители и решение систем уравнений[12Если мы возьмем какой угодно вектор x , то (n + 1) векторов x (1) ,x (2) , . . . , x (n) , x , как мы видели выше, наверно, линейно зависимы:C1 x (1) + C2 x (2) + .
. . + Cn x (n) + Cx = 0,причем постоянная C, наверно, отлична от нуля, ибо в противномслучае векторы x (1) , x (2) , . . . , x (n) оказались бы линейно зависимы. Из предыдущего следует, что любой вектор x выражаетсячерез n линейно зависимых векторов:Cs(1)(2)(n)x = α1 x + α1 x + . . . + αn x.(22)αs = −CНетрудно видеть, что существует лишь одно определенное выражение x через x (1) , x (2) , . .
. , x (n) . Действительно, если бы, кроменаписанного выражения, существовало еще одно выражение:x = β1 x (1) + β2 x (2) + . . . + βn x (n) ,в котором есть коэффициенты βs , отличные от соответствующихαs , то, вычитая два написанных соотношения почленно, мы получили бы:(α1 − β1 )x (1) + (α2 − β2 )x (2) + . . . + (αn − βn )x (n) = 0,т. е. векторы x (1) , x (2) , . . .
, x (n) оказались бы линейно зависимыми.Если за векторы x (1) , x (2) , . . . , x (n) принять векторы (21), то числаαs формулы (22) будут, очевидно, совпадать с составляющими xsвектора x (x1 , x2 , . . . , xn ). В общем случае их можно назвать также составляющими вектора x , если x (1) , x (2) , . . . , x (n) принятьза орты. Придавая числам αs всевозможные комплексные значения, получим все векторы нашего n-мерного пространства. Положим теперь, что мы имеем k линейно независимых векторовx (1) , x (2) , .
. . , x (n) ,(23)причем k < n. Говорят, что совокупность векторов, получаемых поформулеy = C1 x (1) + C2 x (2) + . . . + Ck x (k) ,(231 )12]§ 2. Решение систем уравнений63где Cs — произвольные постоянные, образует некоторое подпространство Lk измерения k. Как и выше, можно показать, чтовсякий вектор, принадлежащий Lk , единственным образом выражается через x (1) , x (2) , . . . , x (k) . Говорят иначе, что векторы (23)образуют подпространство Lk .Заметим, что если какой-нибудь вектор z принадлежит Lk , т. е.выражается формулой вида (231 ), то вектор cz , где c — любая постоянная, также выражается, очевидно, формулой вида (231 ), т. е.также принадлежит Lk .
Точно так же, если z (1) и z (2) принадлежат Lk , то их сумма z (1) + z (2) также принадлежит Lk . Отсюда непосредственно следует и более общее свойство: если некоторые векторы z(1) , z(2) , . . . , z(p) принадлежат Lk , то их любая линейная комбинация γ1 z(1) + γ2 z(2) + . . . + γp z(p) также принадлежит Lk .Возьмем m каких-нибудь векторов, принадлежащих Lk :(s)(s)(s)y (s) = C1 x (1) + C2 x (2) + . . .
+ Ck x (k)(s = 1, 2, . . . , m). (24)В силу линейной независимости векторов (23) соотношение видаα1 y (1) + α2 y (2) + . . . + αm y (m) = 0равносильно системе k однородных уравненийα1 Cq(1) + α2 Cq(2) + . . . + αm Cq(m) = 0(q = 1, 2, . . . , k).Если эта система имеет решения, отличные от нулевого, то векторы (24) линейно зависимы.
В частности, если m > k, то, наверно, имеются решения, отличные от нулевого, т. е. всякая совокупность векторов числом больше k из подпространства, образованного векторами (23), будет совокупностью линейно зависимых векторов. Отсюда непосредственно следует, что подпространство, образованное линейно независимыми векторами (23), не может бытьобразовано никакой совокупностью линейно независимых векторовz (1) , . . . , z (l) , число которых l < k. Действительно, согласно вышеуказанному, в таком подпространстве не может существовать больше, чем l, линейно независимых векторов, а с другой стороны, этому подпространству должны принадлежать линейно независимые64Гл.
I. Определители и решение систем уравнений[12векторы (23), число которых k больше l. Если мы возьмем k какихнибудь линейно независимых векторов u(1) , u(2) , . . . , u(k) , принадлежащих Lk , то они образуют, в указанном выше смысле, этоже подпространство Lk .Действительно, в силу определения подпространства всякая линейная комбинацияC1 u(1) + C2 u(2) + . . . + Ck u(k)принадлежит Lk . С другой стороны, возьмем какой-нибудь векторy из Lk . Векторы u(1) , . .
. , u (k) , y , числом (k + 1), принадлежат Lkи, по предыдущему, должны быть линейно зависимыми:β1 u(1) + β2 u(2) + . . . + βk u(k) + γy = 0,и поскольку u(1) , . . . , u(k) — линейно независимы, коэффициент γдолжен быть отличным от нуля, т. е. всякий вектор y из Lk выражается через u(1) , . . .
, u(k) , т. е. эти последние векторы действительнообразуют Lk . Если в формулах (24) m = k и определитель из ко(q)эффициентов Cp отличен от нуля, то векторы y(1) , . . . , y(k) будутлинейно независимыми векторами из Lk . В общем случае нетрудно показать, что число линейно независимых векторов, даваемых(q)формулами (24), равно рангу таблицы Cp .Выше мы видели, что если вектор z принадлежит некоторомуподпространству L, то вектор cz при любом постоянном c такжепринадлежит L, и если z(1) и z(2) принадлежат L, то (z(1) + z(2) )также принадлежат L.
Мы могли бы дать новое определение подпространства, а именно назвать подпространством такую совокупность векторов, что если z принадлежит L, то и cz также принадлежит L, и если z(1) и z(2) принадлежат L, то (z(1) + z(2) ) также принадлежит L. Отсюда непосредственно следует, что всякая линейная комбинация векторов, принадлежащих L, также принадлежитL. Мы только что видели, что из прежнего определения подпространства вытекают, как следствие, те свойства, которые сформулированы в новом определении. Покажем и наоборот, что из новогоопределения вытекает прежнее, т. е.
что эти два определения равносильны.13]§ 2. Решение систем уравнений65Возьмем некоторый вектор x(1) , принадлежащий L. По определению подпространства L векторы C1 x(1) , при произвольном C1 ,также принадлежат L. Если этими векторами исчерпывается всеL, то мы имеем L1 в прежнем смысле.
В противном случае в Lвходит некоторый вектор x(2) , линейно независимый с x(1) , и векторы C1 x(1) + C2 x(2) , при произвольных C1 и C2 , принадлежат L.Если этими векторами исчерпывается всё L, то L совпадает с некоторыми L2 в прежнем смысле. В противном случае в L входитнекоторый вектор x(3) такой, что x(1) , x(2) , x(3) линейно независимы. Продолжая так и дальше, мы, путем присоединения конечногочисла линейно независимых x(s) , исчерпаем все L, так как не существует более n линейно независимых векторов.
Общее число kэтих векторов x(s) дает нам измерение подпространства L. Еслиокажется, что k = n, то L совпадает со всем n-мерным пространством.Отметим одно обстоятельство, связанное с образованием подпространства. Положим, что векторы x(1) , x(2) , . . . , x(k) — линейнозависимы. При этом по-прежнему говорят, что формула (231 ) определяет некоторое подпространство L. Положим, что среди указанных векторов первые l: x(1) , x(2) , . .
. , x(l) — линейно независимы, акаждый из следующих векторов: x(l+1) , . . . , x(k) выражается линейно через первые l. При этом совокупность векторов, определяемыхформулой (231 ), будет, очевидно, совпадать с совокупностью векторов, определяемых формулойy = C1 x(1) + C2 x(2) + . . . + Cl x(l) ,т. е. подпространство L, образуемое линейно зависимыми векторами x(1) , x(2) , . . .
, x(k) , имеет размерность l(l < k).Рассмотрим вещественное трехмерное пространство и условимся откладывать векторы от некоторой определенной точки O (начало). В данном случае n = 3. При k = 1 подпространство L1 естьнекоторая прямая, проходящая через O, а L2 есть некоторая плоскость, проходящая через O.13. Скалярное произведение. Условимся относительно одного обозначения.
Если α — некоторое комплексное число, то символом α будем обозначать число, сопряженное с α, и символом |α| —66Гл. I. Определители и решение систем уравнений[13модуль числа α, так что αα = |α|2 . Если α вещественно, то α = αи |α|2 = α2 . Введем теперь новое понятие, которое в дальнейшембудет играть большую роль.О п р е д е л е н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
