1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 13
Текст из файла (страница 13)
. . ,xn ) при заданных векторах (26) из системы(x, a(1) ) = b1 ; . . . ; (x, a(n) ) = bn .(31)Если определитель системы отличен от нуля, то теорема Крамера дает один определенный ответ. Положим, что определительсистемы равен нулю и ранг таблицы ее коэффициентов равен k,причем определитель порядка k, отличный от нуля, стоит, как всегда, в левом верхнем углу. Наряду с системой (30) напишем систему однородных уравнений, коэффициенты которых получаются изкоэффициентов данной системы заменой строк столбцами и всехчисел — сопряженными. Эта новая система будет, таким образом,иметь вид⎫a11 y1 + a21 y2 + . . .
+ an1 yn = 0, ⎪⎪⎪a12 y1 + a22 y2 + . . . + an2 yn = 0, ⎬.(32)⎪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⎪⎪⎭a1n y1 + a2n y2 + . . . + ann yn = 0.Таблица ее коэффициентов по-прежнему имеет ранг k, и определитель k-го порядка, стоящий в левом верхнем углу, по-прежнемуотличен от нуля. Назовем эту однородную систему союзной с системой (30). Как мы видели выше, ее общее решение есть линейнаякомбинация (n − k) решений (векторов), которые можно получить,например, если решить по теореме Крамера первые k уравненийотносительно y1 , .
. . , yk , полагая остальные yk+s равными нулю,кроме одного, которое надо считать равным единице. Мы придемтаким путем при yk+1 = 1 к системе:a11 y1 + a21 y2 + . . . + ak1 yk = −ak+1,1 ,a12 y1 + a22 y2 + . . . + ak2 yk = −ak+1,2.......................................a1k y1 + a2k y2 + . . .
+ akk yk = −ak+1,k .Решая эту систему и переходя к сопряженным величинам, получим:ym = −ΔmΔ(m = 1, 2, . . . , k),(33)15]§ 2. Решение систем уравненийy k+1 = 1;где73yk+2 = y k+3 = . . . = y n = 0,a11 , a21 , . . . , ak1 a , A22 , . . . , ak2 = 0,Δ = 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a1k , a2k , . . . , akk и Δm получается из Δ заменой элементов m-го столбца наak+1,1 , . . . , ak+1,k . Составим условие перпендикулярности вектораb с составляющими (b1 , .
. . , bn ) с вектором y, полученным толькочто при решении системы (32):(b, y) = −или−kkΔmbm + bk+1 = 0Δm=1Δm bm + Δ bk+1 = 0.(34)m=1Заменяя в определителе Δm строки столбцами и переставляя затемm-ю строку на последнее место при помощи (k − m) перестановокпоследних строк, получим: a11a12...a1k . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . am−1,1 am−1,2 . . . am−1,k −Δm = am+1,1 am+1,2 . . . am+1,k · (−1)k+1+m .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ak1ak2...akk ak+1,1 ak+1,2 . . . ak+1,k Это есть как раз алгебраическое дополнение элемента bm в характеристическом определителе: a11a12...a1kb1 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,Δk+1 = ak2...akkbk ak1ak+1,1 ak+1,2 . . . ak+1,k bk+1 74Гл. I. Определители и решение систем уравнений[15и условие (34) выражает как раз равенство нулю этого характеристического определителя. Аналогичным образом при yk+s = 1 мыполучим условие Δk+s = 0. Приходим, таким образом, к следующему результату: если определитель системы (30) равен нулю, то длясуществования решения этой системы необходимо и достаточно,чтобы вектор (b1 , . . .
, bn ) был ортогонален ко всем векторам, дающим решение однородной союзной системы (32).Общее решение системы (30) будет суммой какого-нибудь частного решения этой системы и общего решения соответствующейоднородной системы, которая получается из (30) заменой всех bjнулями. Это общее решение однородной системы будет содержать(n − k) произвольных постоянных.Укажем еще одну, важную в дальнейшем, геометрическую интерпретацию основной теоремы о решении систем. Пусть имеется nлинейных форм с n независимыми переменными:y1 = a11 x1 + . . .
+ a1n xn ,..........................yn = an1 x1 + . . . + ann xn .Будем считать, что xs могут принимать любые комплексныезначения, а (y1 , . . . , yn ) — пусть составляющие некоторого вектора. Если определитель |aik | отличен от нуля, то при любых значениях yk мы получаем определенные значения xk , и предыдущиеформулы дают всё n-мерное пространство y. Положим теперь, чтотаблица ||aik || имеет ранг r < n. Не ограничивая общности, можемсчитать, что определитель r-го порядка, стоящий в левом верхнемуглу, отличен от нуля.
При этом основная теорема о решении системдает нам следующее: совокупность значений (y1 , . . . , yn ), получаемых по предыдущим формулам, обладает тем свойством, что значения y1 , . . . , yr могут быть произвольными, но если фиксироватьэти значения, то значения yr+1 , . . . , yn получаются вполне определенными, а именно эти последние значения получаются из условияравенства нулю характеристических определителей.
На языке геометрии это значит, что предыдущие формулы дают подпространство измерения r, которое образовано теми векторами. которые получатся, если положить одно из ys (s = 1, 2, . . . , r) равным единице, а остальные — нулю.
Итак, если ранг таблицы ||aik || равен r,16]§ 2. Решение систем уравнений75то предыдущие формулы дают совокупность значений (y1 , . . . , yn ),определяющих некоторое подпространство измерения r.Мы рассмотрели тот случай, когда число линейных форм равночислу переменных xs . Можно взять общий случайy1 = a11 x1 + . . . + a1n xn ,........................ym = am1 x1 + . . . + amn xn .В этом случае эти формулы при произвольных xs определяют впространстве m измерений подпространство, число измерений которого равно рангу таблицы ||aik ||.
Доказательство не отличаетсявовсе от предыдущего.16. Определитель Грамма. Неравенство Адамара. Пусть имеется mвекторов:(s)(s)(s)x(s) (x1 , x2 , . . . , xn ) (s = 1, 2, . . . , m).Составим определитель порядка m из скалярных произведений (x(i) , x(k) ) ивведем для него специальное обозначение:G(x(1) , x(2) , . . . , x(m) ) = |(x(i) , x(k) )|m1 = (1) (1) (x , x )(x(1) , x(2) ) . . . (x(1) , x(m) ) (x(2) , x(1) )(x(2) , x(2) ) . .
. (x(2) , x(m) ) .= ................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(x(m) , x(1) ) (x(m) , x(2) ) . . . (x(m) , x(m) )(35)Этот определитель называется определителем Грамма векторов:x(1) , x(2) , . . . , x(m) .Разберем отдельно случаи m = n, m < n и m > n. Общий член написанногоопределителя имеет вид(x(i) , x(k) ) =n(i)xs(k)xs .s=1При m = n определитель (35) равен произведению определителей (1) (1)(2)(n) (1)(1)xx1. . .
x1 x2. . . xn x1 1 x(2) x(2) . . . x(2) (1)(2)(n) 1xx...xn222 , · 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (n)(n)(n)x(2)(n)x2. . . xn x(1)1xn. . . xn n76Гл. I. Определители и решение систем уравнений[16причем применяется правило строка на столбец. Принимая во внимание неизменность величин определителя при замене строк столбцами, можем утверждать, что второй множитель будет комплексно сопряженным с первым, и,следовательно, величина определителя Грамма (35) при m = n равна квадрату(i)(i)модуля определителя |xk |n1 , образованного составляющими xk векторов x1 ,x2 , . .
. , xn . Таким образом, определитель (35) положителен, если указанныевекторы линейно независимы, и равен нулю, если они линейно зависимы [12].При m = n мы имеем две прямоугольные таблицы: (1)(2)(m) (1)(1) x(1) x1x1. . . x1 x2. . . xn 1 (1) (2)(2)(2) (2)(m) x1x2. . . xn (361 ) и x2. . . x2 ,(362 ) x2 . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (m) (1)(m)(m)x(2)(m)x2. . . xn xm1xm. . . xm и таблица, входящая в определитель (35), является произведением последнихдвух таблиц [7]. В силу теоремы, доказанной в [7], определитель (35) равеннулю при m > n.
Но в этом случае векторы x (1) , x (2) , . . . , x (m) — линейнозависимы [12]. При m < n, в силу указанной выше теоремы, r1 , r 2 , . . . , r m1, 2, . . . , mYG(x (1) , x (2) , . . . , x (m) ) =X,r 1 , r2 , . . . , r m1, 2, . . . , mr1 <r2 <...<rmr1 , r2 , . . . , rmозначает миноры таблицы (361 ) и Y—1, 2, . . . , mr1 , r2 , . . .
, r mминоры таблицы (362 ). Как и выше, Yесть число, сопряжен1, 2, . . . , m1, 2, . . . , mное с X, и последняя формула переписывается в видеr 1 , r2 , . . . , rm 2X 1, 2, . . . , m .G(x (1) , x (2) , . . . , x (m) ) =(37)r 1 , r2 , . . . , r m где X1, 2, . . . , mr1 , r2 , . . . , r mr1 <r2 <...<rmx (1) ,x (2) ,x (m)Если векторы...,— линейно независимы, то ранг таблицы(361 ) равен m [12], и среди неотрицательных слагаемых, стоящих в правойчасти равенства (37), по крайней мере, одно слагаемое положительно. Если жеупомянутые векторы линейно зависимы, то ранг таблицы (361 ) меньше m, всеопределители порядка m, содержащиеся в этой таблице, равны нулю, и из (37)следует, что в этом случае G(x (1) , x (2) , . .
. , x (m) ) = 0. Таким образом, рассмотрение всех трех случаев: m = n, m > n и m < n приводит нас к следующейобщей теореме:Т е о р е м а. Определитель Грамма G(x (1) , x (2) , . . . , x (m) ) положителен,если векторы x (1) , x (2) , . . . , x (m) линейно независимы, и равен нулю, еслиони линейно зависимы.Сейчас мы докажем еще одну формулу для определителя Грамма. Предварительно условимся в некоторых обозначениях. Пусть x — любой вектор из16]§ 2. Решение систем уравнений77Rn , и для него имеет место разложение x = y + z, где y принадлежит подпространству, определяемому векторами x (1) , x (2) , .
. . , x (m) , а z — ортогонален кэтому подпространству. Формула, которую мы хотим доказать, имеет видG(x (1) , x (2) , . . . , x (m) , x ) = ||z||2 G(x (1) , x (2) , . . . , x (m) ).(x (s) ,(x (s) ,(38)x (s) )Принимая во внимание равенства:x) =y); (x ,=(y, x (s) ), которые следуют из ортогональности z ко всем x (s) , и формулу(x , x ) = (y, y) + (z, z) [13], можем написать:G(x (1) , x (2) , . . . , x (m) , x ) = (1) (1) (x , x )(x (1) , x (2) ) . . . (x (1) , x (m) )(x (1) , y) (2) (1)(2)(2)(2)(m)(2) (x , x )(x , x ) .
. . (x , x)(x , y) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(x (m) , x (1) ) (x (m) , x (2) ) . . . (x (m) , x (m) )(x (m) , y) (y , x (1) )(y , x (2) )...(y , x (m) )(y , y) + (z, z)Представляя элементы последней строки в виде(y, x(1) ) + 0, (y, x(2) ) + 0, . . . , (y, x(m) ) + 0, (y, y) + (z, z)и представляя определитель в виде суммы двух определителей согласно свойству IV из [3], можем написать:G(x(1) , x(2) , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
