1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 17
Текст из файла (страница 17)
II. Линейные преобразования и квадратичные формы[20столбца равны направляющим косинусам некоторого направленияи направления, соответствующие различным столбцам, взаимно ортогональны. Отсюда непосредственно следует, что в рассматриваемом случае преобразование (2) совпадает с рассмотренным выше,и свойство ортогональности имеет место не только по отношениюк столбцам, но и по отношению к строкам.Формулы (2) мы можем толковать не как преобразование координат в неизменном пространстве, а как преобразование пространства при неизменности координатных осей. Положим сначала, чтоопределитель преобразования равен (+1), т.
е. обе системы координатных осей имеют одну и ту же ориентировку. Мы можем приэтом повернуть пространство, как твердое целое, вокруг началавместе с осями (X1 , X2 , X3 ) так, чтобы эти оси совпали с осями(X1 , X2 , X3 ), которые мы считаем неподвижными при этом вращении и к которым мы относим координаты всякой точки как довращения, так и после него. Если некоторая точка M имела довращения координаты (x1 , x2 , x3 ), то в результате вращения этаточка займет новое положение M и будет иметь новые координаты (x1 , x2 , x3 ).
Поскольку точка M движется вместе с координатными осями (X1 , X2 , X3 ), координаты (x1 , x2 , x3 ) точки M относительно осей (X1 , X2 , X3 ), с которыми совпали оси (X1 , X2 , X3 )в результате вращения, будут совпадать с координатами точки Mотносительно осей (X1 , X2 , X3 ) до вращения. Мы видим, таким образом, что формулы (2) в случае определителя (+1) представляютсобой преобразование координат любой точки в результате произведенного вращения пространства.Положим теперь, что определитель |aik | равен (−1).
Вместо преобразования (2) рассмотрим преобразованиеxi = −ai1 x1 − ai2 x2 − ai3 x3(i = 1, 2, 3).Его коэффициенты по-прежнему обладают свойствами (5), но определитель из коэффициентов уже равен (+1), т. е. этому преобразованию соответствует вращение пространства вокруг начала. Чтобыполучить координаты (x1 , x2 , x3 ), нам надо совершить еще преобразование:x1 = −x1 ; x2 = −x2 ; x3 = −x3 ,20]§ 3. Линейные преобразования97а такое изменение знаков у всех координат есть преобразованиесимметрии относительно начала. Итак, в случае определителя (−1)преобразованию (2) соответствует некоторое вращение пространства вокруг начала с последующей симметрией относительно начала.Мы видели выше, что девять коэффициентов aik должны удовлетворять шести соотношениям (5). Отсюда следует, что онидолжны выражаться через три независимых параметра. Укажемна один из возможных выборов этих параметров в случае вращения пространства вокруг начала.Введем в рассмотрение две системы координатных осей: однуX1 , X2 , X3 — неподвижную, к которой относятся все координаты, и другую X1 , X2 , X3 , неизменно связанную с вращающимся пространством.
Чтобы определить вращение, надо установитьтри параметра, которые определяли бы положение второй системы осей относительно первой.Рис. 1.Пусть ON (рис. 1) — пересечениеплоскости X1 OX2 с плоскостью X1 OX2 . Возьмем на этой прямойопределенным образом выбранное направление, и пусть α — уголX1 ON , отсчитываемых от OX1 . Введем еще угол β = X3 OX3 и уголγ = N OX1 . Эти три угла вполне характеризуют положение второйсистемы осей относительно первой, т. е. вполне характеризуют произведенное вращение.
Будем обозначать его следующим символом:{α, β, γ}. Из предыдущего непосредственно следует, что наше движение есть результат последовательно проведенных трех следующих движений: 1) вращение вокруг оси X3 на угол α; 2) вращениевокруг нового положения оси X1 на угол β; 3) вращение вокругновой оси X3 на угол γ. Эти три угла называются обычно угламиЭйлера. Заметим, что для этих углов мы можем написать следующие пределы их изменения: 0 α < 2π; 0 β < π; 0 γ < 2π.Если β = 0, то движение {α, β, γ} сводится просто к поворотувокруг оси X3 на угол α + γ, и в этом смысле при любом δ мы98Гл.
II. Линейные преобразования и квадратичные формы[21имеем:{α, 0, γ} = {α + δ, 0, γ − δ}.Это обстоятельство указывает на то, что в некоторых случаях параметры {α, β, γ} соответствуют вращениям пространства вокругначала не вполне однозначно. Различным значениям параметровсоответствуют одни и те же вращения. Нетрудно вывести формулы,выражающие коэффициенты aik через тригонометрические функции углов α, β, γ [см. 62]. В дальнейшем мы будем иметь и другойвыбор параметров, характеризующих вращение пространства вокруг начала, и вернемся еще к углам Эйлера.21. Общие линейные преобразования вещественноготрехмерного пространства.
Будем рассматривать теперь линейные вещественные преобразования вида (2) с любыми коэффициентами, но будем всегда считать, что определитель преобразованияотличен от нуля:|aik | = 0.(7)В этом случае преобразование обычно называется собственнымпреобразованием. Если оно не удовлетворяет условиями (5), то оносвязано с деформацией пространства [II, 125]. Заметим, что в преобразовании (2) характерным является таблица его коэффициентов,из которой вполне определяется закон перехода от любого векторас составляющими (x1 , x2 , x3 ) к новому вектору с составляющими(x1 , x2 , x3 ).
Обозначим всю таблицу коэффициентов одной буквойa11 a12 a13 (8)A=a21 a22 a23 ,a31 a32 a33 причем мы ставим эту таблицу, как и раньше, между двойнымичертами, чтобы отличить ее от определителя. Она называется иначематрицей 1 . Определитель таблицы (8) будем обозначать символомD(A). Это есть некоторое определенное число. Преобразование (2)1 В современном математической литературе матрицы, как правило, обозначаются круглыми скобками.21]§ 3. Линейные преобразования99мы запишем символически в следующем виде:x = Ax,(9)где x — вектор с составляющими (x1 , x2 , x3 ) и x — вектор с составляющими (x1 , x2 , x3 ).Преобразование, при котором каждый вектор остается неизменным, назовем тождественным преобразованием.
Ему соответствует таблица1 0 00 1 0 ,(10)0 0 1которая называется обычно единичной таблицей, или единичнойматрицей, и обозначается символом I.Считая D(A) = 0, можем решить уравнения (2) относительно(x1 , x2 , x3 ) и получим формулыA11 x +D(A) 1A12 x +x2 =D(A) 1A13 x +x3 =D(A) 1x1 =A21 x +D(A) 2A22 x +D(A) 2A23 x +D(A) 2A31 ⎫x ,⎪⎪⎪D(A) 3 ⎪⎪⎪A32 ⎬x ,D(A) 3 ⎪⎪⎪⎪A33 ⎪⎪x3 ,⎭D(A)(11)где Aik — алгебраические дополнения элементов aik в определителеD(A). Это линейное преобразование называется обычно преобразованием, обратным (2), и если матрица этого последнего обозначена через A, то матрицу преобразования (11) обозначают черезA−1 . Введем теперь важное для дальнейшего понятие о произведении двух преобразований или произведении двух матриц.
Положим, что мы имеем два линейных преобразования, от (x1 , x2 , x3 )к (x1 , x2 , x3 ):⎫x1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ,⎪⎬x2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 , , или x = Ax,(12)⎪⎭x3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3100Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формыи затем от (x1 , x2 , x3 ) к (x1 , x2 , x3 ):⎫x1 = b11 x1 + b12 x2 + b13 x3 ,⎪⎬x2 = b21 x1 + b22 x2 + b23 x3 , ,⎪⎭x3 = b31 x1 + b32 x2 + b33 x3или x = Bx .[21(13)Этот последовательный переход от (x1 , x2 , x3 ) к (x1 , x2 , x3 ) изатем от (x1 , x2 , x3 ) к (x1 , x2 , x3 ) можно заменить непосредственным переходом от (x1 , x2 , x3 ) к (x1 , x2 , x3 ), который также будетлинейным преобразованиемxk = ck1 x1 + ck2 x2 + ck3 x3(k = 1, 2, 3).(14)Это последнее линейное преобразование называется произведением преобразований (12) и (13), причем здесь существенно отметить порядок, в котором производились преобразования.
Подставляя выражения (12) в правые части формулы (13), мы и получимформулы (14). Отсюда непосредственно получается выражение элементов cik таблицы произведения преобразований через элементытаблиц перемножаемых преобразований:cik =3bis ask(i, k = 1, 2, 3).(15)s=1Преобразование (14) обычно записывается следующим образом:x = BAx.(16)Матрицу C с элементами cik , получаемыми по формулам (15),называют произведением матриц A и B и записывают это в следующем виде:C = BA,(17)причем в смысле порядка следования преобразований надо читатьэто произведение справа налево. Принимая во внимание теоремуоб умножении определителей и формулы (15), мы можем написатьдля определителей преобразований очевидное равенство:D(C) = D(B)D(A),(18)21]§ 3.
Линейные преобразования101т. е. определитель произведения преобразований равен произведению определителей этих преобразований. Нетрудно доказать следующие соотношения, имеющие простой геометрический смысл:AA−1 = A−1 A = I.(19)Заметим, кроме того, что из самого процесса образования обратного преобразования следует, что преобразование, обратное A−1 ,будет преобразование A. Действительно, решая систему (11) относительно xk , получим, очевидно, опять формулы (2). Это можнозаписать следующим образом:(A−1 )−1 = A.(20)Понятие произведения преобразований может быть распространено на случай любого числа сомножителей, а именно: результатомпоследовательного преобразования с некоторыми матрицами A, Bи C будет новое преобразование с матрицей D:D = CBA.(21)Если матрицы A, B и C имеют элементы aik , bik и cik , то матрица D, являющаяся их произведением, будет иметь элементы, определяемые по формуламdik =3ciq bqp apk .(22)p,q=1Действительно, для элементов матрицы E = BA имеем формулыeik =3bip apkp=1и, наконец, для матрицы CE будем иметь, согласно (15), формулыdik =3q=1ciq e qk ,102Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
