1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Совершенно аналогично предыдущему можно определить понятиеи о тензоре ранга выше второго, на чем мы останавливаться не будем.В предыдущем мы все время имели дело с таблицей, выражающей линейное преобразование трехмерного пространства в некоторых координатных осях.Пусть это будет таблица B и положим, что мы совершили афинное преобразование координат по формулам(y1 , y2 , y3 ) = A(x1 , x2 , x3 ),где A есть некоторая таблица с определителем, отличным от нуля. Как былопоказано выше, в новых координатах наше преобразование пространства будетиметь таблицуABA−1 .Нетрудно видеть, что такое преобразование таблицы B совпадает с указанным выше преобразованием для смешанного тензора второго ранга.
Действительно, применяя правила для перемножения таблиц, будем иметь следующиеформулы:3{BA−1 }qi ={B}qp {A−1 }pi ,p=1и дальше отсюда{A(BA−1 )}ki =3{A}kq {BA−1 }qi =q=13{B}qp {A−1 }pi {A}kq .p,q=1(i)bkОбозначаявместо {B}ik , получим как раз формулы вида (51).Упомянем еще о некоторых тензорах частного вида. Положим, что в некоторой координатной системе ковариантный тензор обладает тем свойством, чтоbik = bki(i, k = 1, 2, 3).(52)24]§ 3. Линейные преобразования113Нетрудно видеть, что он будет обладать этим же свойством и в любой другой координатной системе.
Действительно, согласно (49):bki =3bpq {A−1 }pk {A−1 }qip,q=1или в силу (52):bki =3bqp {A−1 }pk {A−1 }qi ,p,q=1или, изменяя обозначения переменных суммирования:bki =3bpq {A−1 }qk {A−1 }pi ,p,q=1откуда непосредственно видно, что bki действительно совпадает с bik .
Такойтензор называется симметричным ковариантным тензором. Совершенно аналогично определение симметричного контравариантного тензора. Точно также, если в некоторой координатной системе bik = −bki или b(i,k) = −b(k,i) , то тоже будет иметь место и в любой другой координатной системе, и соответствующие тензоры называются кососимметрическими. Для смешанного тензорауказанное обстоятельство уже не будет иметь места, так что, например, соот(k)(i)ношение bi = bk не будет инвариантным при преобразовании координат.
Мыпереходим теперь к рассмотрению некоторых частных случаев тензоров.24. Примеры афинных ортогональных тензоров. В дальнейших примерах мы ограничим линейные преобразования координат лишь теми преобразованиями, которые были рассмотрены в [20] и которые соответствуют переходу от одной декартовой системы к другой. Такие преобразования называются обычно ортогональными преобразованиями трехмерного пространства.Для них, как мы видели выше, контраградиентное преобразование A(∗)−1 совпадает с A и исчезает разница ковариантного и контравариантного вектора.Точно так же для этих преобразований координат будем, очевидно, иметь одно только понятие тензора второго ранга.
Обозначая таблицу коэффициентовортогонального преобразования координат, как и выше, через {A}ik , получимдля формулы преобразования тензора второго ранга следующую формулу:bik =3bpq {A}ip {A}kq ,(53)p,q=1которая непосредственно вытекает из формул предыдущего параграфа. Будемтолковать элементы каждого столбца таблицы ||bik || как составляющие некоторого вектора.
Мы имели, таким образом, три вектора:b(1) (b11 , b21 , b31 );b(2) (b12 , b22 , b32 );b(3) (b13 , b23 , b33 ).114Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[24Будем говорить, что первый из них соответствует оси x1 , второй — оси x2и третий — оси x3 . Сопоставим теперь любому направлению n вектор b(n) согласно формулеb(n) = cos(n, x1 )b(1) + cos(n, x2 )b(2) + cos(n, x3 )b(3) .(x1 ,x2 ,(54)x3 )Возьмем теперь какие-нибудь декартовы осивместо прежних(x1 , x2 , x3 ) и составим векторы согласно формуле (54), соответствующие направлениям новых координатных осей:b(k) = cos(xk , x1 )b(1) + cos(xk , x2 )b(2) + cos(xk , x3 )b(3) .(55)Рассматривая проекции этих векторов на новые координатные осиx1 , x2 , x3 , будем иметь таблицу девяти чисел ||bik ||, аналогичную таблице||bik ||.
Покажем, что элементы новой таблицы выражаются через элементы таблицы bik как раз по формулам преобразования составляющих тензоров второгоранга. Действительно, рассмотрим, например, элемент b12 . Согласно определению, это есть составляющая вектора b(2) на новую ось x1 . Формула (55) дает:b(2) = cos(x2 , x1 )b(1) + cos(x2 , x2 )b(2) + cos(x2 , x3 )b(3) ,(56)откуда видно, что b(2) есть линейная функция векторов b(i) , и, чтобы получить b12 , достаточно в правой части формулы (56) заменить векторы b(i) ихпроекциями на ось x1 , т. е. заменить эти векторы следующими выражениями:b(i) — на b1i cos(x1 , x1 ) + b2i cos(x1 , x2 ) + b3i cos(x1 , x3 ) (i = 1, 2, 3). Заметим,кроме того, что согласно таблице (2): cos(xi , xk ) = aik = {A}ik .Подставляя эти выражения вместо упомянутых векторов в правую частьформулы (56), будем иметь:b12 =3bpq {A}1p {A}2 q,p,q=1что как раз и совпадает с формулой (53).
Таким образом, мы можем утверждать, что если для трех взаимно перпендикулярных направлений определены три вектора b (1) , b (2) , b (3) и по формуле (54) определен вектор для любого направления (n), то таблица девяти чисел. дающих проекции векторовb(k) (k = 1, 2, 3) на оси x(k) в любой декартовой координатной системе,определяет афинный ортогональный тензор второго ранга, т.
е. тензор второгоранга, определенный для всевозможных ортогональных преобразований.Заметим, что когда мы говорим, что b (1) соответствует направлению некоторой оси x1 , то это не значит, что b (1) должен иметь направление оси x1 .Существенным является лишь формула (54), которая сопоставляет всякому направлению (n) вектор b (n) , направление которого, вообще говоря, не совпадаетс (n).Приведем теперь два примера афинного ортогонального тензора второгоранга. Первый из этих примеров есть известный из теории упругости тензорнапряжения. Рассмотрим деформированное упругое тело и проведем в некоторой фиксированной его точке M бесконечно малую площадку dσ с нормалью24]§ 3.
Линейные преобразования115(n). В теории упругости принимают, что воздействие на упомянутую площадкутой части упругой среды, которая находится со стороны определяемой направлением нормали, будет равносильно произведению некоторого вектора b (n) ,зависящего от направления нормали (n), на величину площадки dσ. Из рассмотрения условий равновесия бесконечно малого тетраэдра, выделенного изупругого тела, получается равенство (54), из которого непосредственно вытекает, что напряжение есть тензор второго ранга. В любой декартовой координатной системе этот тензор будет характеризоваться таблицей девяти чисел||bik ||, причем, как доказывается в теории упругости, этот тензор будет симметричным, т.
е. bik = bki . Иначе говоря, проекция на ось xi напряжения,действующего на площадку, перпендикулярную к оси xk , равна проекции наось xk напряжения, действующего на площадку, перпендикулярную к оси xi .Перейдем теперь к другому примеру тензора. Рассмотрим некоторое векторное поле C(M ). Если выбрать некоторую декартову координатную систему(x1 , x2 , x3 ) и взять производные от составляющих поля (c1 , c2 , c3 ) по координатам, то мы получим следующую таблицу девяти величин:∂c1∂c1 ∂c1 ∂x1∂x2∂x3 ∂c∂c2∂c2 2(57).
∂x1∂x∂x23 ∂c3∂c∂c33∂x1∂x2∂x3Для любого направления (n) определим вектор, соответствующий этому∂cнаправлению, как производную ∂n, так что элементы таблицы (57), находящиеся в k-м столбце, будут давать составляющие вектора, соответствующегонаправлению оси xk . Для любого направления (n) будем иметь формулу [II,120]:∂ci∂ci∂ci∂ci= cos(n, x1 )+ cos(n, x2 )+ cos(n, x3 )∂n∂x1∂x2∂x3(i = 1, 2, 3),т. е. определенная нами таблица представляет собою тензор второго ранга. Этоттензор не будет, вообще говоря, ни симметричным, ни антисимметричным. Нонетрудно его представить в виде суммы симметричного и антисимметричноготензора, понимая под суммой двух таблиц сумму соответствующих элементовэтих таблиц.Предварительно сделаем некоторые общие замечания.
Из линейного характера формул (53) вытекает, что если ||bik || и ||cik || будут два тензора, то сумма||bik + cik || также будет тензором. Кроме того, эта же формула сохраняется приперестановке значков, т. е.bki =3bqp {A}ip {A}kq,p,q=1так что если некоторые таблицы, определенные для всех осей, дают тензор, тои транспонированные таблицы дают тензор. Положим теперь, что мы имеем116Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[25некоторый тензор ||bik ||.
Мы можем представить его в виде суммы bik + bki bik − bki + .||bik || = 22Первое слагаемое представляет собою, очевидно, симметричный тензор, а второе — антисимметричный тензор.Применяя это разбиение к тензору, определяемому таблицей (57), получимего симметричную часть в виде∂c11 ∂c11 ∂c1∂c2∂c3 ,,++2 ∂x2∂x12 ∂x3∂x1 ∂x1 1 ∂c∂c2∂c21 ∂c2∂c3 1(58),+,+.
2 ∂x2∂x1∂x22 ∂x3∂x2 1 ∂c11 ∂c2∂c3∂c3∂c3,,++2 ∂x3∂x12 ∂x3∂x2∂x3Если имеется деформация сплошной среды и M C есть вектор смещения, т. е.тот вектор, на который сместилась точка M среды, то таблица (58) определяет так называемый тензор деформации. Антисимметрическая часть тензорабудет:1 ∂c11 ∂c1∂c2∂c3 0,,−−2 ∂x2∂x12 ∂x3∂x1 1 ∂c1 ∂c2∂c1∂c3 2(59)0,−−. 2 ∂x1∂x2∂x∂x232 1 ∂c31 ∂c3∂c1∂c2,,0−−2 ∂x1∂x32 ∂x2∂x3Мы уже раньше производили разбиение тензора на две части для частногослучая линейной однородной деформации [II, 125] и видели, что в этом случаеантисимметрической части соответствовало вращение пространства, как целого(без деформации), вокруг некоторой оси.25.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
