1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 24
Текст из файла (страница 24)
. + xn yn .Из (111) вытекает, что при перестановке порядка векторов величина скалярного произведения переходит в сопряженную, т. е.(x, y ) = (x, y ).(112)Два вектора мы назвали перпендикулярными или ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.В дальнейшем всегда будем считать, если не оговорено особопротивоположное, что мы имеем дело с декартовой системой координат. В связи с этим приобретают особое значение те линейныепреобразования, которые соответствуют переходу одной декартовой системы в другую.
Мы знаем, что всякому переходу от однихортов к другим соответствует линейное преобразование составляющих. Пусть имеется такое преобразование(y1 , . . . , yn ) = U (x1 , . . . , xn ),(113)причем первоначальная система координат была декартовой. Длятого чтобы и новая система была декартовой, необходимо и достаточно, чтобы длина вектора и в новой системе выражалась суммойквадратов модулей составляющих, т. е.|y1 |2 + . .
. + |yn |2 = |x1 |2 + . . . + |xn |2 .(114)28]§ 3. Линейные преобразования137Покажем, что при этом величина скалярного произведения и в новой системе координат выразится формулой, аналогичной (111).Действительно, положим, мы имели в первоначальной системе координат два вектораx (x1 , . .
. , xn ) и x (x1 , . . . , xn ),причем в новой системе им соответствуют векторыy (y1 , . . . , yn ) и y (y1 , . . . , yn ).Составим два новых вектора z = x + x и u = x + ix, которыеимеют составляющие (xk + xk ) и (xk + ixk ). Считая условие (114)выполненным, будем иметьn(yk + yk )(y k + y k ) =k=1n(xk + xk )(xk + xk ),k=1откуда, опять-таки в силу (114), получаем окончательноn(yk y k + yk y k ) =k=1ибоn(xk xk + xk xk ),(1151 )k=1|yk |2 =k=1nn|xk |2иk=1n|yk |2 =k=1n|xk |2 .k=1Точно так же:n(yk + iyk )(y k − iy k ) =k=1и отсюдаn(xk + ixk )(xk − ixk )k=1n(yk y k−yk y k )=k=1n(xk xk − xk xk ).(1152 )k=1Равенства (1151 ) и (1152 ) даютnk=1yk y k =nk=1xk xk ,(116)138Гл.
II. Линейные преобразования и квадратичные формы[28т. е. скалярное произведение действительно выражается прежнейформулой. Таким образом, если преобразование (113) удовлетворяет условию (114), то оно удовлетворяет и условию (116), т. е. оставляет неизменным величину скалярного произведения. Наоборот, изусловия (116) вытекает (114), если положить в (116) xk = xk , таккак скалярное произведение двух одинаковых векторов сводится,очевидно, к квадрату длины вектора. Линейные преобразования,удовлетворяющие условию (114) или условию (116), называютсяобычно унитарными преобразованиями.Если рассматривать вещественное пространство и вещественныематрицы линейных преобразований, то условие (114) сведется просто к условиюy12 + y22 + .
. . + yn2 = x21 + x22 + . . . + x2n ,(117)и соответственные вещественные преобразования называются ортогональными. Они являются, очевидно, частным случаем унитарных.Переходим теперь к выяснению основных свойств унитарныхпреобразований. Напишем для преобразования (113) условие (114)в явной форме, обозначая через uik элементы матрицы U :n|uk1 x1 + . . . + ukn xn |2 =k=1илиnn|xk |2k=1(uk1 x1 + .
. . + ukn xn )(uk1 x1 + . . . + ukn xn ) =k=1nxk xk .(118)k=1Раскрывая скобки в левой части формулы и приравнивая коэффициенты при xp xp единице, а при xp xq (p = q) нулю, будем иметьнеобходимое и достаточное условие для элементов унитарного преобразования в следующей форме:⎫n⎪2⎪|ukp | = 1 (p = 1, 2, . . . , n),⎪⎪⎬k=1(119)n⎪⎪⎪⎪ukp ukq = 0 (p = q),⎭k=128]§ 3. Линейные преобразования139т. е. сумма квадратов модулей элементов каждого столбца должна равняться единице и сумма произведений элементов некоторогостолбца на величины, сопряженные с соответствующими элементами другого столбца, должна равняться нулю. Иногда эти условияеще записывают так:nukp ukq = δpq ,(120)k=1где δpq суть элементы единичной матрицы, т. е. 0 (p = q)δpq =1 (p = q).(121)Выше мы применили к тождеству (118) метод неопределенныхкоэффициентов.
Это является, конечно, достаточным для выполнения тождества. Нетрудно показать, придавая xk частные значения,что тождественность коэффициентов при подобных членах является и необходимым условием.Возьмем определитель D(A) и другой определитель D(A), составленный из сопряженных элементов. Умножая их по схеме столбец на столбец [6], мы получим, в силу (119), определитель единичной матрицы, т. е.
единицу. С другой стороны, очевидно, что обаупомянутых определителя будут выражаться комплексными сопряженными числами, и из сказанного непосредственно следует|D(A)|2 = 1,т. е. квадрат модуля определителя унитарной матрицы равен единице. Иначе говоря, определитель унитарной матрицы по модулюравен единице, т. е. выражается комплексным числом вида eiϕ , гдеϕ — вещественно.Введем в рассмотрение матрицы U (∗) , транспонированную с U .Условия (119), которые называются обычно условиями ортогональности по столбцам, могут быть записаны в виде следующего матричного равенства:(∗)U U = I,(122)140Гл. II.
Линейные преобразования и квадратичные формы[28что равносильноU −1 = U(∗),=U(123)т. е. если матрица унитарна, то обратная ей матрица совпадает сэрмитовски сопряженной матрицей.Преобразование U −1 , обратное U , выражает переход от вектораy к вектору x. Оно также, очевидно, удовлетворяет условию унитарности (114), т. е. если U — унитарная матрица, то и обратная U −1 будетбудет унитарной. Иными словами, в силу (123) матрица Uунитарной, и ее столбцы удовлетворяют условию ортогональности. суть строки U . Мы можем таким образом утверНо столбцы Uждать, что в унитарной матрице не только столбцы, но и строкиудовлетворяют условиям ортогональности, т.
е. наряду с формулами (120) будем иметь также формулыnupk uqk = δpq .(124)k=1Аналогично предыдущему, если матрицы U1 и U2 удовлетворяют условию (114), то и их произведение U2 U1 также, очевидно,будет удовлетворять этому условию, т. е. произведение двух унитарных матриц есть также унитарная матрица.Укажем две различные формы, в которых можно представитьопределение унитарной матрицы:|U x|2 = |x|2или(U x, U x ) = (x, x ),(1251 )причем в последнем равенстве x и x — любые векторы.Отметим теперь те обстоятельства, которые будут иметь место,если унитарная матрица имеет вещественные элементы.
В этом случае, как мы уже говорили, она называется ортогональной и соответствующее ей преобразование — ортогональным преобразованием. Вданном случае вместо формул (120) и (124) мы будем иметь формулыnnukp ukq = δpq ;upk uqk = δpq .(1252 )k=1k=129]§ 3. Линейные преобразования141Кроме того, определитель преобразования должен быть, очевидно, вещественным числом, а потому его величина может равняться лишь ±1. Эти вещественные ортогональные преобразованияв n-мерном пространстве являются полным аналогом тех преобразований трехмерного пространства, которые мы рассматривали в совпадает с U (∗) ,[20].
В этом вещественном случае, кроме того, U−1т. е. обратное преобразование Uполучается из U заменой строкстолбцами.Отметим еще, что всякое комплексное число eiϕ , где ϕ — вещественно, рассматриваемое как матрица [eiϕ , eiϕ , . . . , eiϕ ], представляет собою унитарную матрицу, и если U есть унитарная матрица,то и произведение eiϕ U есть унитарная матрица. Смысл произведения числа на матрицу указан нами в [25].29. Неравенство Коши — Буняковского.
Установим в настоящем параграфе одно неравенство, которым нам придется пользоваться в дальнейшем. Оно состоит в следующем: каковы бы нибыли вещественные числа α1 , α2 , . . . , αm и β1 , β2 , . . . , βm , имеем:m2αk βkk=1mk=1α2k ·mβk2 ,(126)k=1причем знак равенства будет иметь место тогда и только тогда,когда αk и βk пропорциональны:β1β2βm== ... =.α1α2αm(127)Пусть ξ — любое вещественное число. Составим сумму:S=m(ξαk − βk )2 ,k=1которая, очевидно, неотрицательна.
Знак равенства будет иметь место тогда и только тогда, когдаβ1β2βm== ... == ξ,α1α2αm142Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[29и в этом случае, очевидно:m2αk βkk=1=mα2k ·k=1mβk2 .k=1Вообще же говоря, раскрывая в выражении S скобки, получимтрехчлен второй степениS = Aξ 2 − 2Bξ + C,гдеA=mα2k ;k=1B=mαk βk ;C=k=1mβk2 .k=1Написанный трехчлен при всех вещественных ξ остается неотрицательным, откуда следует: AC − B 2 0, т. е.
B 2 AC, что иприводит к неравенству (126).Если AC − B 2 = 0, то трехчлен при некотором вещественном ξдолжен обращаться в нуль, а при этом, как мы видели, должно выполняться условие (127). Наоборот, при выполнении этого условияв формуле (126) имеет место знак равенства. Положим теперь, чтоαk и βk — комплексные числа.
Принимая во внимание, что mm αβ|αk ||βk |,kkk=1k=1получим, применяя к последней сумме, состоящей из положительных слагаемых, неравенство (126):2 mm m2αβ|α|·|βk |2 .k kkk=1k=1(1261 )k=1Нетрудно показать, что в данном случае, при комплексных αk и βk ,знак равенства будет иметь место тогда и только тогда, когда |αk | и|bk | пропорциональны и все произведения αk βk имеют одинаковыйаргумент. Неравенство (126) применимо не только к суммам, но и кинтегралам, как мы об этом уже упоминали раньше [II, 161].
Если30]§ 3. Линейные преобразования143f1 (x) и f2 (x) — две вещественные функции в промежутке a x b,то неравенство для интегралов имеет вид b2 bb2f1 (x)f2 (x)dx f1 (x)dx · f22 (x)dx.aa(1262 )aДействительно, составим выражениеb2[ξf1 (x)−f2 (x)] dx = ξa2baf12 (x)dx−2ξbbf1 (x)f2 (x)dx+af22 (x)dx,a(127)где ξ — любое вещественное число. Из вида левой части следует, чтоэто выражение ни при каких вещественных ξ не может быть отрицательным.
Но если трехчлен Aξ 2 − 2ξB + C при всех вещественных ξ не отрицателен, то, как известно из элементарной алгебры,AC − B 2 0. В применении к предыдущему трехчлену это и даетнеравенство (1262 ). Это неравенство для интегралов впервые былодоказано В. Л. Буняковским.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
