1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 26
Текст из файла (страница 26)
преобразованная форма (137) будет иметь матрицу, определяемую через матрицу A формы в прежних переменных и матрицу Bпреобразования (136) следующим образом:C = B (∗) AB.(138)Если преобразование (136) ортогонально, то для ортогональнойматрицы B транспонированная B (∗) совпадает с обратной B −1 , имы имеем в этом случае, вместо формулы (138), формулуC = B −1 AB.(139)150Гл.
II. Линейные преобразования и квадратичные формы[32Таким образом, наша задача о построении ортогонального преобразования (136), приводящего квадратичную форму (134) к сумме квадратов, равносильна задаче построения такой ортогональнойматрицы B, чтобы матрица (139) была просто диагональной матрицей [λ1 , . . .
, λn ], ибо матрица такой формы, которая приводится ксумме квадратов, и есть диагональная матрица, причем ее элементы λk и суть коэффициенты при квадратах x2k . Итак, мы должныиметь, как и выше:B −1 AB = [λ1 , . . . , λn ]илиAB = B[λ1 , . . . , λn ].(140)Заметим, что в данном случае матрица A не какая угодно матрица, а вещественная симметричная матрица и B должна быть ортогональной матрицей. Будем поступать совершенно так же, какэто мы делали выше в [27] при рассмотрении общего случая. Перепишем уравнение (140) в видеnais bsk = λk bik .(141)s=1Отсюда для элементов k-го столбца матрицы B имеем n уравнений.
Вводя вектор x(k) с составляющими (b1k , . . . , bnk ), можемпереписать последнее уравнение так:Ax(k) = λk x(k) .(142)Перенеся все члены (141) в одну сторону, будем иметь для определения b1k , . . . , bnk систему n однородных уравнений⎫(a11 − λk )b1k + a12 b2k + . . . + a1n bnk = 0,⎪⎪⎪a b + (a − λ )b + .
. . + a b = 0,⎬21 1k22k2k2n nk.......................................... ⎪⎪⎪⎭an1 b1k + an2 b2k + . . . + (ann − λk )bnk = 0.(143)32]§ 4. Квадратичные формы151Определитель этой системы должен равняться нулю, и для чисел λk мы получаем алгебраическое уравнение степени n:a11 − λa12...a1n a21a22 − λ . . .a2n (144).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 0. an1an2. . . ann − λЭто, как мы знаем, и есть характеристическое уравнение матрицы A.Докажем прежде всего, что для вещественной симметричнойматрицы A уравнение (144) имеет все корни вещественные. Предварительно дадим новую форму записи для квадратичной формы.Пусть x — вектор с составляющими (x1 , .
. . , xn ) — вещественнымиили комплексными и A — матрица с любыми элементами aik . Составим скалярное произведение:(Ax, x) =nxi (ai1 x1 + . . . + ain xn ).i=1Мы видим, что оно может быть записано в виде(Ax, x) =naik xi xk .(145)i,k=1Если выполнено условиеaki = aik(akk — вещественны),(146)то это есть форма Эрмита, значения которой обязательно вещественны.
Тот случай, когда A есть вещественная симметричнаяматрица, есть частный случай условий (146). Если при этом ещесоставляющие вектора x вещественны, то формула (145) и дает намквадратичную форму (134).Перейдем теперь к доказательству вещественности корней уравнения (144). Пусть λk — некоторый корень этого уравнения. Система (143) дает нам при этом составляющие вектора x(k) (вещественного или комплексного), удовлетворяющего уравнению (142).152Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[32Умножим обе части этого уравнения справа скалярно на x(k) . Мыполучим:|x(k) |2 λk = (Ax(k) , x(k) ).Выражение, стоящее справа, как мы видели, есть число вещественное, и, следовательно, λk есть также число вещественное.
Мыдоказали таким образом вещественность корней уравнения (144) нетолько для вещественных симметричных матриц, но и для матриц,элементы которых удовлетворяют условию (146). Такие матрицыназываются обычно эрмитовскими матрицами.В рассматриваемом случае коэффициенты системы (143) сутьвещественные числа, и мы можем считать, что и составляющиеx(k) — вещественны. Покажем теперь, что если λp и λq — два различных корня уравнения (144), то соответствующие векторы x(p) иx(q) , удовлетворяющие уравнению (142), — взаимно ортогональны.Мы имеем по условию:Axp = λp x(p) ;Ax(q) = λq x(q) .Умножая первое из этих уравнений скалярно на x(q) , а второе —на x(p) и вычитая, получим:(Ax(p) , x(q) ) − (x(p) , Ax(q) ) = (λp − λq )(x(p) , x(q) ).(147)Покажем теперь, что для любых двух векторов x и y (вещественных и комплексных) имеет место формула(Ax, y) = (x, Ay),(148)если только элементы матрицы A удовлетворяют условиям (146).Действительно, левая часть формулы (148) дает:(Ax, y) =n(ak1 x1 + .
. . + akn xn )y k =k=1ni,k=1или в силу (146):(Ax, y) =ni,k=1aik xi y k .aki xi yk ,33]§ 4. Квадратичные формы153Такой же результат даст нам и правая часть формулы (148). Этаформула справедлива, таким образом, и для вещественных симметричных матриц, которые являются частным случаем эрмитовских.В силу (148) левая часть (147) равна нулю, и в силу λp = λq мыимеем (x(p) , x(q) ) = 0, т. е. векторы x(p) и x(q) действительно ортогональны. В данном случае это вещественные векторы, и условиеих ортогональности сводится к тому, что сумма произведений ихсоставляющих равна нулю.Если уравнение (144) имеет различные корни, то мы будемиметь, таким образом, n взаимно ортогональных вещественныхвекторов x(k) .
Уравнение (142) линейное, однородное относительно x(k) , и мы можем умножить решение этого уравнения на любуюпостоянную, так что можно считать, что упомянутые выше векторы x(k) имеют длину, равную единице.Составляющие этих векторов образуют столбцы матрицы B.Иначе говоря, эта матрица удовлетворяет условию ортонормированности по столбцам и является ортогональной матрицей. Такимобразом, наша задача приведения квадратичной формы ортогональным преобразованием к сумме квадратов или — что то же —приведения матрицы A к диагональной форме окончена в предположении, что уравнение (144) имеет различные корни. Числа λkназывают иногда собственными значениями матрицы A, а векторы x(k) — собственными векторами этой матрицы.33.
Случай кратных корней характеристического уравнения. Перейдем теперь к рассмотрению общего случая, когдауравнение (144) может иметь и одинаковые корни. Возьмем некоторый корень λ = λ1 уравнения (144) и построим соответствующееему решение уравнения (142). Это будет некоторый вещественныйвектор x(1) длины единица. Присоединим к нему еще (n − 1) вещественных единичных векторов, которые бы вместе с ним образовывали полную ортонормированную систему [31]. Переход от основных ортов к этим новым ортам будет, как мы знаем, выражатьсянекоторым ортогональным преобразованием над составляющимивектора, и матрица A перейдет в подобную матрицу A1 = B1−1 AB1 .Соответствующее этой новой матрице уравнениеA1 x = λx(149)154Гл. II.
Линейные преобразования и квадратичные формы[33будет иметь в качестве решения, соответствующего собственномузначению λ = λ1 (собственные значения не меняются при преобразовании подобия), вектор x(1) , который мы приняли за первыйорт и который имеет, следовательно, составляющие (1, 0, . . . , 0).Подставляя это решение в уравнение (149), будем иметь:A1 (1, 0, . . . , 0) = (λ1 , 0, . . .
, 0),откуда непосредственно следует для элементов первого столбца{A1 }11 = λ;{A1 }21 = {A1 }31 = . . . = {A1 }n1 = 0.(150)Покажем теперь, что вещественная матрица A1 будет такжесимметрична, т. е. будет совпадать со своей транспонированной.Действительно:(∗)(∗)(∗)−1A1 = (B1−1 AB1 )(∗) = B1 A(∗) B1.Но в силу ортогональности матрицы B1 :(∗)B1откуда следует= B1−1(∗)−1и B1= B1 ,(∗)A1 = A1 .Принимая во внимание формулы (150) и симметричность матрицы A1 , мы можем написать:{A1 }11 = λ1 ;{A1 }21 = {A1 }12 = . . .
= {A1 }n1 = {A1 }1n = 0,т. е. у матрицы A1 все элементы первой строки и первого столбцаобращаются в нуль, кроме, может быть, элемента {A1 }11 = λ1 , т. е.эта матрица A1 имеет форму:λ10...0 (1)(1)0 a. . . a2n 22A1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 0 a(1) . . . a(1) nnn2(1)где через aik мы обозначили элементы A1 .33]§ 4.
Квадратичные формы155Квадратичная форма ϕ в новых переменных будет иметь видϕ=λ1 y12+n(1)aik yi yk .i,k=2Таким образом мы выделили один квадрат и пришли к рассмотрению квадратичной формы (n − 1) переменнымиn(1)aik yi yki,k=2или, что аналогично, к рассмотрению соответствующей ей матрицы C1 порядка (n − 1), являющейся частью матрицы A1 . Здесь мыможем рассуждать совершенно так же, как и выше, и в подпространстве (n − 1)-го измерения, образованном последними (n − 1)ортами, можем выделить некоторый единичный вектор x(2) , являющийся решением уравненияC1 x(2) = λ2 x(2) .Этот вектор будет, очевидно, ортогонален вектору x(1) .
В результате этого второго преобразования орт x(1) сохранится, аостальные орты перейдут в другие, взаимно ортогональные единичные орты, первым из которых будет x(2) . В этих новых переменныхквадратичная форма ϕ будет иметь видϕ = λ1 y12 + λ2 y22 +n(2)aik yi yk .i,k=3Продолжая так и дальше, мы приведем, наконец, квадратичную форму к сумме квадратов, т. е. соответствующую ей матрицук диагональной форме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
