1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Для сумм оно встречалось у Коши.30. Свойства скалярного произведения и нормы. Отметим теперь некоторые свойства скалярного произведения и нормы. Применяя неравенство (1261 ) и принимая во внимание, что|y k | = |yk |, можем написать:2 nn n|(x, y)| = xk y k |xk |2 ·|yk |2 ,2k=1k=1k=1т. е.|(x, y)| ||x|| · ||y||.(128)Докажем теперь так называемое правило треугольника||x + y|| ||x|| + ||y||.(129)Мы имеем:||x + y||2 = (x + y, x + y) = (x, x) + (y, y) + (x, y) + (y + x),144Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[30или, принимая во внимание (128), получим:||x + y||2 ||x||2 + ||y||2 + 2||x|| · ||y|| = (||x|| + ||y||)2 ,откуда и следует (129).В заключение настоящего номера рассмотрим, какое влияниеоказывает выбор системы координат на метрику пространства, т. е.на выражение квадрата длины вектора.
Положим, что вместо основной декартовой мы берем новую систему координат, причем заосновные орты принимаем некоторые независимые векторы:z(1) , z(2) , . . . , z(n) .Для любого вектора будем иметь:x = z1 z(1) + . . . + zn z(n) ,где zk — его составляющие в новой координатной системе.Квадрат длины этого вектора будет выражаться скалярнымпроизведением вектора на самого себя, т. е.|x|2 = (z1 z(1) + . . . + zn z(n) , z1 z(1) + .
. . + zn z(n) ).Раскрывая это, согласно вышеуказанным формулам, будем иметьследующее выражение для квадрата длины вектора:2|x| =nαik zi z k ,(130)i,k=1где коэффициенты αik определяются по формуламαik = (z(i) , z(k) ).При перестановке значков они, очевидно, переходят в сопряженные,т. е.αki = αik .(131)Сумма вида (130) с коэффициентами, удовлетворяющими условию (131), называется обычно формой Эрмита. Непосредственно31]§ 3. Линейные преобразования145очевидно, что всякое выражение вида (130) при условии (131) будет иметь при всевозможных комплексных zk лишь вещественныезначения, так как при i = k два члена суммы (130) будут сопряженными, а в членах вида αkk |zk |2 , в силу условия (131), коэффициенты αkk будут вещественными. Кроме того, по самому построению формы Эрмита (130), в данном случае мы можем утверждать,что сумма (130) будет неотрицательной и будет обращаться в нультолько тогда, когда все zk равны нулю.
Формула (130) и определяетметрику пространства в новой координатной системе.Метрика (130) будет совпадать с метрикой (110) в соответствующей декартовой системе, если αik = 0 при i = k и αkk = 1, или(z (i) , z(k) ) = 0 при i = k и (z (k) , z(k) ) = 1, т. е., иначе говоря, есливекторы z(k) , принятые нами за орты, будут взаимно ортогональными единичными векторами (длины единица).В дальнейшем всякую систему взаимно ортогональных и единичных векторов z(k) (k = 1, 2, .
. . , l) мы будем называть ортонормированной системой.Заметим еще, что если формула (113) определяет унитарное преобразование для составляющих вектора, то соответствующее преобразование для перехода от прежних ортов к новым будет даватьсятаблицейU (∗)−1 ,контраградиентной U . В данном случае, в силу (123), эта таблицабудет совпадать с таблицей U , а для вещественных ортогональныхпреобразований она будет просто совпадать с U .31. Процесс ортогонализации векторов.
Положим, что намданы m каких-нибудь линейно независимых векторов x(1) , . . . , x(m) .Совокупность векторов видаC1 x(1) + . . . + Cm x(m) ,где Ck — произвольные коэффициенты, определяет все наше пространство, если m = n, и некоторое подпространство Rm измерения m, если m < n. Покажем, что мы всегда можем построить ортонормированную систему векторов z(k) (k = 1, 2, . . . , m), котораяобразует то же подпространство Rm , что и векторы x(k) . Иначе говоря, z(k) должны выражаться линейно через x(k) , и наоборот, x(k)146Гл. II.
Линейные преобразования и квадратичные формы[31должны выражаться через z(k) . Эти векторы мы можем построитьпо следующей схеме:⎫y(1) = x(1) ,⎪⎪⎪⎪⎬(2)(2)(2)(1) (1)y = x − (x , z )z ,,(132)⎪y(3) = x(3) − (x(3) , z(1) )z(1) − (x(3) , z(2) )z(2) . ⎪⎪⎪⎭.............................................гдеz(1) =y(1);|y(1) |z(2) =y(2);|y(2) |...;z(m) =y(m).|y(m) |(133)Вектор z(1) получается из y(1) простым делением на длину y(1)и, следовательно, длина z(1) равна единице. Затем строится вектор y(2) по указанной выше формуле. Из самого его определениянепосредственно вытекает, что он ортогонален с z(1) :(y(2) , z(1) ) = (x(2) , z(1) ) − (x(2) , z(1) )(z(1) , z(1) ) = 0.Деля вектор y(2) на его длину, получаем вектор z(2) .
Затем дальше строим вектор y(3) по указанной выше формуле. Из нее непосредственно вытекает, что он ортогонален с z(1) и z(2) .Действительно, в силу ортогональности z(1) и z(2) получим например:(y(3) , z(2) ) = (x(3) , z(2) ) − (x(3) , z(2) )(z(2) , z(2) ) = 0.Деля вектор y(3) на его длину, получаем вектор z(3) и т. д.Все вновь построенные векторы выражаются линейно через x(k) .Нетрудно видеть и наоборот, что x(k) выражаются через z(k) . Дляэтого достаточно только постепенно решать предыдущие равенстваотносительно x(1) , x(2) и т.
д.Заметим также, что ни один из вновь построенных векторовy(k) не может обратиться в нуль. Действительно, если бы мы нанекотором шаге вычислений получили вектор y(k) , равный нулю,то, так как он выражается линейно через x(s) , причем коэффициентпри x(k) в этом линейном выражении равен единице, мы получили32]§ 4. Квадратичные формы147бы линейную зависимость между векторами x(s) , что противоречиттому условию, что эти векторы линейно независимы.Напомним, что если имеется некоторая совокупность попарноортогональных векторов, отличных от нулевого вектора, то эти векторы линейно независимы.Если m = n, то z(k) дают полную ортонормированную систему.
Если же m < n, то для получения полной системы декартовыхкоординат мы должны в дополнение к построенным векторам z(k)достроить еще (n − m) векторов, которые были бы ортогональныи между собой и к векторам z(k) . Эти новые единичные векторыдолжны, таким образом, образовывать подпространство Rn−mизмерения (n − m), ортогональное подпространству Rm [12].
Новыеискомые векторы u должны удовлетворять системе уравнений(u, x(1) ) = 0, . . . , (u, x(m) ) = 0.Здесь мы имеем систему m однородных уравнений с n неизвестными, причем ранг этой системы равен m, поскольку векторыx(k) — линейно независимы [12]. Эта система имеет (n − m) линейнонезависимых решений, т. е. мы получаем (n − m) линейно независимых векторов. Применяя к ним указанный выше процесс ортогонализации и приводя их длину к единице, мы и получим совместнос z(1) , . . . , z(m) полную ортонормированную систему. Сделаем ещеодно замечание. Подпространство Rm , образованное ортонормированной системой векторов z(k) , может быть образовано и другой такой же системой.
Действительно, достаточно для этого применить ксистеме векторов z(k) унитарное преобразование. Мы видим, такимобразом, что процесс ортогонализации системы векторов может совершаться различным образом, и указанный выше прием дает лишьодну из таких возможностей.§ 4. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ32. Преобразование квадратичной формы к сумме квадратов. Рассмотрим в пространстве некоторую поверхность второгопорядка, имеющую центр в начале координат:Ax2 + By 2 + Cz 2 + 2Dxy + 2Exz + 2F yz + G = 0.148Гл. II.
Линейные преобразования и квадратичные формы[32Всегда можно выбрать так новые координатные оси (x , y , z ),чтобы в преобразованном уравнении остались лишь члены, содержащие квадраты координат, т. е. так, чтобы преобразованное уравнение имело видλ1 x2 + λ2 y 2 + λ3 z 2 + G = 0.Задача сводится к отысканию такого ортогонального преобразования, связывающего переменные (x , y , z ) и (x, y, z), чтобы совокупность членов второго измерения относительно координат в левой части уравнения привелась к сумме квадратов.
Поставим аналогичную задачу для случая вещественного пространства n измерений. Пусть у нас имеется вещественная квадратичная форма отn переменных:ϕ(x1 , . . . , xn ) =n(134)aik xi xk ,i,k=1причем aik — вещественные коэффициенты,условиюaki = aik .удовлетворяющие(135)В предыдущем примере мы можем считать x = x1 , y = x2 ,z = x3 и a11 = A; a22 = B; a33 = C; a12 = a21 = D; a13 = a31 = E;a23 = a32 = F .Назовем матрицей квадратичной формы (134) матрицу, составленную из элементов aik . Эта матрица будет симметрична, т. е.
будет совпадать со своей транспонированной.Положим, что мы преобразуем форму (134) к новым переменным, вводя вместо xk переменные xk , причем преобразование этозаписано в виде(x1 , . . . , xn ) = B(x1 , . . . , xn ),(136)где B есть матрица с элементами bik . Внося выражения (136) вформулу (134), будем иметь:ϕ=ni,k=1aik (bi1 x1 + . . . + bin xn )(bk1 x1 + .
. . + bkn xn ).32]§ 4. Квадратичные формы149Раскрывая скобки, получим коэффициент при xp xq (p = q):naik (bip bkq + biq bkp ).i,k=1Пользуясь (135), легко видеть, что половина написанного выражения будет равна просто сумме:nbipi=1naik bkq .k=1Таким образом, разбирая аналогично и случай p = q, мы увидим, что в новых переменных квадратичная форма будет иметьвидnϕ=cik xi xk ,(137)i,k=1гдеcik = cki =nt=1btinats bsk .s=1Суммирование по s дает {AB}tk . Если в множителе bti будемсчитать t — номером столбца и i — номером строки, то bti будет элементом транспонированной матрицы {B (∗) }it , откудаcik = cki =n{B (∗) }it {AB}tk ,t=1т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
