1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Случай n-мерного комплексного пространства. Обратимся сейчас к общему случаю n-мерного пространства. Векторомв таком пространстве мы раньше уже назвали последовательностьn чисел, вещественных или комплексных [12]:x (x1 , x2 , . . . , xn ),причем эти числа называются составляющими вектора x. Мы считаем при этом, что пространство отнесено к определенным ортам:a(1) (1, 0, . . . , 0);a(2) (0, 1, . . . , 0);a(n) (0, 0, . . . , 1),25]§ 3.
Линейные преобразования117так чтоx = x1 a(1) + x2 a(21) + . . . + xn a(n) .(60)Условие равенства векторов и простейшие действия над ними былиопределены в [12].Линейным преобразованием n-мерного пространства назовемпереход от вектора x (x1 , x2 , . . . , xn ) к вектору y (y1 , y2 , . . . , yn ) поформуламyi = ai1 x1 + ai2 x2 + .
. . + ain xn(i = 1, 2, . . . , n),(61)или иначеy = Ax,(62)где A есть таблица или матрица ||aik ||n1 преобразования. Если ееопределитель D(A) отличен от нуля, то преобразование (62) называется неособым преобразованием, а матрица A — неособой матрицей (таблицей). В этом случае, решая уравнение (61) относительноxi , получим преобразование, обратное (61) или (62):x = A−1 y,(63)где таблица A−1 имеет элементы{A−1 }ik =Aki,D(A)(64)причем через D(A) мы обозначаем определитель таблицы A и черезAik — алгебраические дополнения его относительно элементов aik .Дальше, аналогично предыдущему [21], определяется произведение двух преобразований, а именно последовательное применениедвух преобразованийy = Ax;z = Byравносильно одному линейному преобразованиюz = BAx,118Гл.
II. Линейные преобразования и квадратичные формы[25которое называется произведением преобразований A и B и таблица которого определяется по формуле{BA}ik =3{B}is {A}sk .(65)s=1Это произведение зависит, вообще говоря, от порядка сомножителей, т. е., кроме исключительных случаев, мы имеемBA = AB.Нетрудно распространить определение произведения на случайлюбого числа сомножителей, причем имеет место сочетательныйзакон, т. е. сомножители можно соединять в группы:(CB)A = C(BA).(66)Обратное преобразование удовлетворяет соотношениямAA−1 = A−1 A = I;(A−1 )−1 = A,(67)где символом I мы обозначили так называемую единичную матрицу, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равныединице, а остальные элементы — нулю. Этой матрице соответствует тождественное преобразование yi = xi (i = 1, 2, .
. . , n).Так же, как и выше, определим диагональную матрицу порядкаn:k1 0 0 . . . 0 0 k2 0 . . . 0 (68)[k1 , k2 , . . . , kn ] = 0 0 k3 . . . 0 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . kn Ей соответствует преобразование: yi = ki x (i = 1, 2, . . . , n).Произведение диагональных матриц не зависит от порядка сомножителей и определяется по формуле[k1 , k2 , . . .
, kn ] [l1 , l2 , . . . , ln ] = [l1 , l2 , . . . , ln ] [k1 , k2 , . . . , kn ] == [k1 l1 , k2 l2 , . . . , kn ln ].25]§ 3. Линейные преобразования119В частном случае k1 = k2 = . . . = kn = k мы получим матрицуk 0 0 . . . 0 0 k 0 . . . 0(69)[k, k, . . .
, k] = 0 0 k . . . 0 , . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . kкоторой будет соответствовать умножение всех составляющих вектора на число k. В соответствии со сказанным в начале настоящегопараграфа мы будем считать, что матрица (69) является просточислом k, т. е. будем считать число k частным случаем матрицы.Нетрудно видеть, пользуясь формулой (65), что произведение числаk, трактуемого как матрица (69), на любую матрицу A не зависитот порядка сомножителей и сводится к умножению всех элементовматрицы A на число k:{[k, k, .
. . , k]A}ik = {kA}ik = k{A}ik .(70)Положим теперь, что мы взяли за основные орты не векторыa (k) , а новые векторы b (k) , которые выражаются через a (k) по формулам⎫b (1) = t11 a (1) + t12 a (2) + . . . + t1n a (n) , ⎪⎪⎪(2)(1)(2)(n) ⎪b = t21 a + t22 a + . . . + t2n a , ⎬(71)....................................... ⎪⎪⎪⎪⎭b (n) = tn1 a (1) + tn2 a (2) + . . . + tnn a (n) ,причем определитель, составленный из элементов tik , не равен нулю.
При этом векторы a(k) , наоборот, выражаются линейно черезвекторы b(k) , и всякая линейная комбинация векторов a(k) есть вто же самое время линейная комбинация векторов b(k) , и наоборот. Иначе говоря, векторы b(k) , как орты, образуют то же пространство, что и векторы a(k) . Если некоторый вектор x в системе координат, определяемой ортами a(k) , имеет составляющие(x1 , . . . , xn ), то в системе координат, определяемой ортами bk , онбудет иметь другие составляющие (x1 , . .
. , xn ), которые выражаются через прежние при помощи линейного преобразования, контра-120Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[25градиентного преобразованию (71), что можно записать так:(x1 , . . . , xn ) = T (∗)−1 (x1 , . . . , xn ),(72)где таблица T (∗) есть транспонированная таблица по отношению ктаблице T , соответствующей преобразованию (71).Если мы имели некоторое преобразование пространства, которое в первоначальной координатной системе выражалось формулой(62), то в новой координатной системе это же преобразование будетвыражаться формулойy = U AU −1 x ,где(73)U = T (∗)−1 .МатрицаU AU −1называется подобной матрице A.Основными понятиями в предыдущем изложении являлись понятия вектора и матрицы.
Заметим, что иногда рассматривают вектор x (x1 , . . . , xn ) тоже как матрицу, один из столбцов которой, безразлично какой, заполнен числами (x1 , . . . , xn ), а остальные элементы матрицы равны нулю. Положим, например, что мы ставимсоставляющие вектора в первый столбец. Таким образом, мы будемиметь представление нашего вектора в виде матрицы: x1 0 .
. . 0 x2 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . .xn 0 . . . 0Иногда такую матрицу, у которой только один столбец содержитэлементы, отличные от нуля, обозначают символом⎛ ⎞ x1 x1 0 . . . 0⎜ x2 ⎟ x2 0 . . . 0⎜ ⎟ .(74)⎜ .. ⎟ = ⎝ . ⎠ . . . . . . . . . . . . . .xn 0 . . . 0xn26]§ 3. Линейные преобразования121Покажем теперь, что линейное преобразование (62) может бытьзаписано в виде произведения матрицы (74) на матрицу преобразования A. Действительно, перемножая матрицу (74) на матрицу Aпо правилу (65) и принимая во внимание, что у матрицы (74) толькоэлементы первого столбца отличны от нуля, мы получим произведение в виде матрицы, у которой тоже только элементы первогостолбца будут отличными от нуля, и эти элементы, как нетрудновидеть, будут:yi = ai1 x1 + ai2 x2 + ain xn ,т.
е. они дают как раз линейное преобразование (62). Мы можем,таким образом, записать это преобразование в виде⎛ ⎞⎛ ⎞x1y1⎜ x2 ⎟⎜ y2 ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟(75)⎜ .. ⎟ = A ⎜ .. ⎟ ,⎝ . ⎠⎝.⎠ynxnгде справа стоит произведение двух матриц.В заключение настоящего номера отметим еще раз общие законы, которым подчиняются действия с векторами в n-мерном пространстве:x + y = y + x;(x + y) + z = x + (y + z).Если x и y — какие-нибудь два вектора, то вектор z = y − x ссоставляющими (yk −xk ) является единственным вектором, удовлетворяющим условию x + z = y.Пусть a и b — какие-нибудь числа.
Мы имеем:(a + b)x = ax + bx;a(bx) = (ab)x;a(x + y) = ax + ay.Для числа единица мы имеем 1x = x и 0x = 0, где нуль, стоящий справа, обозначает вектор, у которого все составляющие равнынулю.26. Основы матричного исчисления. В формулах, приведенных в предыдущем номере, матрица входила в качестве нового символа, над которым мы могли производить и некоторые действия, аналогичные действиям над обычными числами.
Это приводит нас к естественной мысли построить новую алгебру, которая122Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[26годилась бы для символов, под которыми мы подразумеваем матрицы. Иначе говоря, мы будем толковать матрицу как новый видчисла, как некоторое гиперкомплексное число. Совершенно так же,как с помощью двух вещественных чисел мы пришли выше к построению чисел новой природы, а именно комплексных чисел видаa + ib, так и теперь мы с помощью n2 комплексных чисел aik , расставленных в виде квадратной таблицы, приходим к понятию нового числа — матрицы. Но только надо отметить их существеннуюразницу.
А именно: мы видели, что над буквами, изображающимикомплексные числа, можно производить все формальные операцииалгебры, известные для вещественных чисел. Для матриц мы получим алгебру, существенно отличную от известной нам алгебрыкомплексных чисел. Существенным моментом, который вызываетэто отличие, является некоммутативность умножения, т.
е. зависимость результата умножения от порядка сомножителей. Мыпереходим сейчас к установлению основных правил алгебры матриц, причем во многих отношениях руководящим путем для насбудут служить те результаты, которые мы получили выше, толкуяматрицу как таблицу линейного преобразования.Везде в дальнейшем, если не будет оговорено особо, мы будемрассматривать квадратные матрицы одного и того же порядка n.Если A — такая матрица, то, как и выше, ее элементы будем обозначать через {A}ik .Две матрицы A и B считаются равными тогда и только тогда,когда{A}ik = {B}ik (i, k = 1, 2, . . . , n),(76)т.
е. когда все их соответствующие элементы одинаковы.Сложение матриц определяется по формуле{A + B}ik = {A}ik + {B}ik ,(77)т. е. сводится к сложению соответствующих элементов.Произведение определяется по формуле{BA}ik =n{B}is {A}sk .s=1(78)26]§ 3. Линейные преобразования123Как мы выше видели, вообще говоря, BA = AB, но имеет местосочетательный закон [21]:(CB)A = C(BA).(79)Определитель произведения равен произведению определителейперемножаемых матриц:D(BA) = D(B) · D(A).(80)Имеет место, очевидно, и распределительный закон:(A + B)C = AC + BCи C(A + B) = CA + CB.(81)Отметим еще одну особенность умножения, а именно произведение матриц может обращаться в нуль, т.
е. в матрицу, у которой всеэлементы равны нулю, хотя все сомножители и отличны от нуля. Вкачестве примера приведем произведение двух одинаковых матрицвторого порядка 0 0 0 0 0 0=·1 0 1 0 0 0 .Совершенно так, как было указано в предыдущем номере, вводитсяпонятие обратной матрицы A−1 , если A — неособая матрица, т. е.если D(A) = 0. Если C = BA и RA , RB и RC — ранги матриц A,B, C, то, как мы видели, RC RA [7]. Если B — неособая матрица,то A = B −1 C, и, как и выше, можно утверждать, что RA RCи, следовательно, RC = RA , т.
е. при умножении матрицы A нанеособую матрицу B (справа или слева) ее ранг не меняется. Дляединичной матрицы I имеет место соотношениеBI = IB = B,(82)где B — любая матрица.Нетрудно видеть, что матрица A−1 является единственным решением уравненийAX = Iи XA = I,(83)124Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[26где I — единичная матрица.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
