1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 30
Текст из файла (страница 30)
. . b1n − λ2 a1n 22 b21 − λ2 a21b22 − λ a22 . . . b2n − λ a2n (171). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 0.bn1 − λ2 an1 bn2 − λ2 an2 . . . bnn − λ2 ann Взяв некоторый корень этого уравнения и подставив в коэффициенты системы (170), мы получим для Ak решения — одно или несколько, которые мызатем можем умножить на произвольную постоянную.
Кроме того, формула(169) содержит еще произвольную постоянную ϕ.Мы получаем более отчетливое решение задачи, применяя теорию квадратичных форм. Заметим прежде всего, что по самому существу дела квадратичная форма (165) переменных qk , выражающая кинетическую энергию придвижении, будет определенно положительной формой.
Кроме того, в данном172Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[39случае по условию задачи и форма (167) будет определенно положительной.Как мы видели, можно ввести вместо переменных qk такие новые переменныеpk , связанные с прежним линейным преобразованием с постоянными коэффициентами, чтобы в новых переменных квадратичные формы T и (−U ) одновременно привелись к сумме квадратов, причем для формы T это должно бытьчистой суммой квадратов с коэффициентами, равными единице. Заметим приэтом, что линейная зависимость для pk и qk приводит к такой же зависимостидля pk и qk .
Мы будем, таким образом, иметь:T =np2s ;−U =s=1nλ2s p2s ,(172)s=1где все коэффициенты при p2s положительны, так что мы имели возможностьобозначить их через квадраты. Вместо системы (168) мы можем написать уравнения Лагранжа (164) для новых переменныхd ∂T∂U=.dt ∂pk∂pkПодставляя (172), будем иметь чрезвычайно простую систему2pk + λk pk = 0(k = 1, 2, . . . , n).Решения этой системы будут:pk = Ck cos(λk t + ψk )(k = 1, 2, . . . , n),(173)где Ck и ψk — произвольные постоянные. Обобщенные координаты pk называются главными координатами нашей механической системы.Основные координаты qk выражаются через них линейным образом с постоянными коэффициентами. Из результатов предыдущего номера непосредственно следует, что числа λk должны быть корнями уравнения (170). Заметим, чтосреди них могут оказаться и одинаковые, но и в этом случае формулы (169)дают общее решение задачи малых колебаний в рассматриваемом случае.39.
Экстремальные свойства собственных значений квадратичнойформы. Рассмотрим задачу приведения вещественной квадратичной формык сумме квадратов с новой точки зрения. Для простоты ограничимся случаемтрех переменных33ϕ=aik xi xk =λk x2(174)k ,i,k=1гдеxkk=1связаны с xk некоторым ортогональным преобразованием⎫x1 = b11 x1 + b12 x2 + b13 x3 ,⎪⎬x2 = b21 x1 + b22 x2 + b23 x3 ,⎪⎭x3 = b31 x1 + b32 x2 + b33 x3 .(175)39]§ 4. Квадратичные формы173Для определенности будем считать, что числа λk идут в убывающем порядке, т. е.λ1 > λ2 > λ3 .(176)Нашей задачей будет определение чисел λk и коэффициентов bik по значениям формы ϕ на единичной сфере K, т. е.
на сфере с центром в началекоординат и радиусом единица:x21 + x22 + x23 = 1или22x21 + x2 + x3 = 1.(177)Каждая точка такой сферы характеризует некоторое направление в пространстве, определяемое единичным вектором, идущим из начала в упомянутую точку. Мы можем написать формулу (174) в виде2222ϕ = λ1 (x21 + x2 + x3 ) + (λ2 − λ1 )x2 + (λ3 − λ1 )x3 ,откуда видно, что на упомянутой единичной сфере K будем иметь:2ϕ = λ1 + (λ2 − λ1 )x22 + (λ3 − λ1 )x3 .Отсюда непосредственно следует, что λ1 есть максимум ϕ на K.
Этот максимум достигается, очевидно, в точкеx1 = 1;x2 = x3 = 0,или, в силу (175), в прежних координатах это будет точка сферы K с координатами:x1 = b11 ; x2 = b21 ; x3 = b31 .Эта точка определяет вектор, соответствующий первому столбцу ортогонального преобразования (175), т. е. вектор, являющийся решением уравненияAx = λx(178)при λ = λ1 . Итак, первое по величине собственное значение квадратичной формы (174) равно максимуму значения этой формы на единичной сфере, а соответствующий собственный вектор x(1) , являющийся решением уравнения (178),есть вектор, идущий из начала в ту точку единичной сферы, где упомянутыймаксимум достигается.Перейдем теперь к определению второго собственного значения и соответствующего собственного вектора. Положим в формуле x1 = 0. Этому уравнению соответствует плоскость, проходящая через начало и перпендикулярная квектору x(1) . Сечение этой плоскости с единичной сферой даст окружность2x22 + x3 = 1.На этой окружности мы имеем:2ϕ = λ2 x22 + λ3 x3 ,откуда непосредственно видно, что λ2 есть максимум значений ϕ на единичнойсфере при условии перпендикулярности соответствующих векторов уже найденному вектору x(1) .
Точно так же, как и выше, докажем, что собственный174Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[39вектор x(2) , т. е. решение уравнения (178) при λ = λ2 , есть вектор, идущий вту точку, где этот максимум достигается.Имея два вектора, мы получим и третий x(3) , как перпендикулярный кним обоим, а собственное значение λ3 будет значением формы ϕ в той точкеединичной сферы, в которой она пересекается с вектором x(3) .Если бы, например, мы имели λ1 = λ2 , то при отыскании первого максимума формы ϕ на единичной сфере мы получили бы не точку, а целую окружность, где этот максимум достигается.Предыдущее рассуждение легко переносится и на случай любого числа измерений. Мы приведем для этого общего случая лишь результат, вполне аналогичный предыдущему.
Пусть имеется вещественная квадратичная форма nпеременных:nϕ=aik xi xk .(179)i,k=1Единичный вектор в вещественном n-мерном пространстве будет изображаться совокупностью вещественных чисел, сумма квадратов которых равнаединице. Мы будем говорить, что концы таких векторов лежат на единичнойсфере, и уравнение этой единичной сферы будет, очевидно:x21 + x22 + . .
. + x2n = 1.(180)Наибольшее характеристическое число формы ϕ будет равно максимумуэтой формы на единичной сфере (180), и соответственный собственный векторбудет определяться вектором x(1) , идущим из начала в ту точку сферы, где ϕдостигает максимума. Для получения второго по величине характеристического числа будем рассматривать единичные векторы, перпендикулярные к уженайденному вектору x(1) . Среди них найдется такой x(2) , который даст наибольшее значение формы ϕ. Этот второй максимум λ2 и будет равен второмусобственному значению формы, а упомянутый вектор x(2) будет соответствующим собственным вектором.
Рассмотрим теперь единичные векторы, перпендикулярные к x(1) и x(2) , что равносильно присоединению к условию (180) ещедвух условий:(x(1) , x) = 0 и (x(2) , x) = 0.Среди них найдется такой, который опять даст форме ϕ наибольшее значение. Это значение и будет третьим по величине собственным значением формыλ3 , а упомянутый вектор будет соответствующим собственным вектором и т. д.Мы могли бы расположить собственные значения квадратичной формы нев убывающем, а в возрастающем порядке, так что первое собственное значениебыло бы наименьшим, следующее — вторым в порядке возрастания и т. д.
Приэтом мы получили бы задачи, совершенно аналогичные предыдущим, но тольковезде, где говорилось о наибольшем значении, нам пришлось бы говорить онаименьшем значении.Все предыдущие рассуждения обобщаются также и на случай одновременного приведения двух квадратичных форм к сумме квадратов. Пусть две квад-40]§ 4. Квадратичные формы175ратичные формы:ϕ=naik xi xk ;ψ=i,k=1nbik xi xki,k=1приводятся к сумме квадратовϕ=nx2k;ψ=k=1nλk x2ki,k=1при помощи линейного преобразования(x1 , .
. . , xn ) = B(x1 , . . . , xn ),причем мы считаем, что числа λk идут в убывающем порядке.При этом λ1 будет наибольшим значением ψ при условии, что ϕ = 1, причемэто наибольшее значение будет достигаться как раз приx1 = b11 ; x2 = b21 ; . . . ; xn = bn1 .Аналогично определяются и следующие собственные значения.40. Эрмитовские матрицы и формы Эрмита. В предыдущих параграфах мы рассматривали вещественные симметричныематрицы и отметили, что они являются частным случаем эрмитовских матриц, элементы которых суть комплексные числа, удовлетворяющие соотношениюaki = aik .(181)При i = k это соотношение показывает, что диагональные элементы akk должны быть вещественными.Иначе можно формулировать определение эрмитовской матрицы так: эрмитовская матрица не меняется, если в ней строки заменить столбцами и все элементы — сопряженными, т. е.
в обозначениях из [26]:(∗) = A.A = A или A(182) как мы знаем, называется эрмитовски сопряженнойМатрица A,с A. Поэтому эрмитовские матрицы иначе называются самосопряженными.Выше мы показали [32], что эрмитовская матрица A удовлетворяет при любых векторах x и y соотношению(Ax, y) = (x, Ay).(183)176Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[40Это соотношение, как и два предыдущих, может служить определением эрмитовской матрицы.Отметим еще одно свойство эрмитовских матриц.Пусть A — эрмитовская матрица и U — любая унитарная матрица.
Нетрудно показать, что U −1 AU будет, как и A, эрмитовской(∗)матрицей. По условию A = A. Надо доказать, что таким же свойством обладает и U −1 AU . Мы имеем [26]:(∗)(U −1 AU )=U(∗)A(∗) U(∗)−1или, принимая во внимание условие для A и унитарный характер(∗)U , откуда следует U = U −1 , получим:(U −1 AU )(∗)= U −1 AU,что и требовалось доказать.Можно сказать, что при унитарном преобразовании координат,которое осуществляется для составляющих вектора формулой(x1 , . . .
, xn ) = U (x1 , . . . , xn ),эрмитовская матрица A, как оператор линейного преобразованияпространства, будет выглядеть в новых координатах в виде U −1 AU ,и, следовательно, доказанное предложение можно еще формулировать так: унитарные преобразования пространства не меняют эрмитовского характера матрицы как оператора.Поставим теперь задачу о приведении эрмитовской матрицы кдиагональной форме при помощи унитарного преобразованияU −1 AU = [λ1 , .
. . , λn ].(184)Как и выше для вещественных симметричных матриц, наша задача равносильна задаче решения уравнения видаAx = λx,(185)где λ есть одно из чисел λk и составляющие вектора x дают элементы соответствующего столбца матрицы U .40]§ 4. Квадратичные формы177Эти числа λk и соответствующие им векторы x(k) называютсясобственными значениями и собственными векторами матрицы A.Собственные значения, как мы знаем, должны быть обязательнокорнями уравненияa11 − λ a12 .
. . a1n a21 a22 − λ . . . a2n (186). . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 0.an1 an2 . . . ann − λПусть λ = λ1 — некоторый корень этого уравнения и x(1) — некоторое решение уравнения (185) при λ = λ1 .Это уравнение будет линейным и однородным, так что его решение можно умножать на любую постоянную, и мы можем поэтомусчитать длину вектора x(1) равной единице. Возьмем этот вектор запервый орт новой координатной системы и достроим каким-нибудьобразом еще (n − 1) единичных векторов так, чтобы в общем получить ортонормированную систему векторов. Примем эти векторыза новые орты, и пусть U1 — то унитарное преобразование, котороесоответствует переходу к этим новым ортам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
