1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 31
Текст из файла (страница 31)
В новой координатнойсистеме наша эрмитовская матрица A перейдет в новую эрмитовскую матрицу A1 = U1−1 AU1 , причем соответствующее уравнениеA1 x = λxдолжно при λ = λ1 иметь в качестве решения вектор с составляющими (1, 0, . . . , 0). Как и в [33], это обстоятельство покажет нам,что у матрицы A1 все элементы первой строки и первого столбцаобратятся в нуль, кроме элемента, стоящего на пересечении первойстроки и первого столбца и равного λ1 .Из эрмитовского характера матрицы A1 непосредственно следует, что этот элемент λ1 должен быть числом вещественным, и отсюда, между прочим, непосредственно следует, что все корни уравнения (186) должны быть вещественными, что мы видели и раньше.Итак, матрица A1 будет иметь вид178Гл.
II. Линейные преобразования и квадратичные формы[40λ10...0 0 a(1) . . . a(1) 222n , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 a(1) . . . a(1) nnn2т. е. это будет квазидиагональная матрица вида[λ1 , C1 ],где через C1 мы обозначили эрмитовскую матрицу порядка (n − 1)(1)с элементами aik .
Повторяя предыдущее рассуждение, мы сможемпри помощи некоторого унитарного преобразования U2 , произведенного над ортами, кроме первого орта, привести матрицу C1 ктакому виду, при котором все элементы ее первой строки и первогостолбца будут нули, кроме элемента, стоящего на их пересечении.Упомянутое унитарное преобразование мы можем рассматривать как унитарное преобразование по всем нашем n-мерном пространстве. Это будет квазидиагональная унитарная матрица вида[1, U2 ].В результате этого преобразования наша эрмитовская матрицаперейдет в эрмитовскую матрицу вида[1, U2 ]−1 [λ1 , C1 ][1, U2 ] = [λ1 , U2−1 C1 U2 ],и в раскрытом виде эта матрица будет:λ1 00...0 0 λ20...0 (2)(2) 00 a33 . .
. a3n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(2)(2)00 an3 . . . ann Продолжая рассуждать так и дальше, мы окончательно приведем нашу эрмитовскую матрицу к диагональной форме, причем тообщее унитарное преобразование U , которое входит в форму (184),будет произведением тех унитарных преобразований, которые нам40]§ 4. Квадратичные формы179придется совершать при указанном выше процессе последовательного приведения матрицы к диагональной форме.Обратимся теперь к уравнению (185). В [33] мы показали, чтоего решения, соответствующие различным значениям λ, обязательно взаимно ортогональны.Совершенно так же, как и в [33], мы можем показать, что векторы, представляемые столбцами матрицы U , вместе с соответствующими значениями λ дают все решения уравнения (185).
Необходимотолько при этом иметь в виду одно важное обстоятельство, касающееся кратных корней уравнения (186). Если, например, уравнение(186) имеет корень λ = λ1 кратности m, то при λ = λ1 уравнение (185) будет иметь m линейно независимых решений x(1) , . . . ,x(m) . Всякая их линейная комбинация с произвольными коэффициентами будет, очевидно, также решением уравнения (185), т. е.уравнениеAx = λ1 xбудет иметь совокупность решений, представляемую подпространством, образованным векторами x(1) , .
. . , x(m) , т. е. определяемуюсуммойx = C1 x(1) + . . . + Cm x(m)с произвольными коэффициентами C1 , . . . , Cm . Мы можем выбирать в этом подпространстве любым образом ортонормированную систему m векторов, составляющие которых и дадут нам тестолбцы матрицы U , которые соответствуют собственному значению λ = λ1 . Здесь мы имеем, следовательно, такой же произволв выборе матрицы U , какой мы имели и в [33] для B.
Кроме того, очевидно, мы можем составляющие всякого вектора x(S) , который у нас получился в результате решения уравнения (185), умножить на численный множитель, по модулю равный единице, т. е.на численный множитель вида eiϕ (фазовый множитель). При этомдлина вектора останется равной единице и сохранится условие ортогональности этого вектора к остальным векторам, входящим вполную систему решений уравнения (185). Наконец, мы можем вматрице U произвольным образом менять порядок столбцов.
Этонесущественное преобразование сводится, очевидно, к перемене нумерации ортов в новой координатной системе, и оно влечет за со-180Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[40бой лишь перестановку чисел λk в диагональной форме матрицы.В дальнейшем всегда будем считать, что эти числа идут в возрастающем порядке.Перейдем теперь к рассмотрению форм Эрмита.
Мы будем говорить, что эрмитовской матрице A соответствует форма Эрмитавидаn(Ax, x) =aik xi xk ,(187)i,k=1где x1 , . . . , xn суть составляющие вектора x. Число (Ax, x) вещественно [32].Положим теперь, что мы совершили над нашим пространствомнекоторое унитарное преобразование, причем старые составляющиевектора выражаются через новые по формуле x = U x . В новыхкоординатах форма Эрмита (187) будет иметь вид(AU x , U x ).Пользуясь свойством (1251 ) унитарных преобразований, мы можем оба вектора, образующих скалярное произведение, помножитьслева на унитарную матрицу U −1 и, таким образом, получим в новых координатах следующее выражение для формы Эрмита (187):(U −1 AU x , x ).(188)В частности, если унитарное преобразование U преобразует матрицу A к диагональной форме, т. е.
имеет место (184), то в новыхпеременных в нашей форме Эрмита останутся лишь члены, содержащие произведения xi · xi , и мы будем иметь приведение формыЭрмита к сумме квадратов модулей:(U −1 AU x , x ) = λ1 x1 x1 + λ2 x2 x2 + . . . + λn xn xn .Таким образом, здесь, как и в [32], задача преобразования матрицы A к диагональной форме равносильна задаче приведения соответствующей формы Эрмита к сумме квадратов модулей.40]§ 4. Квадратичные формы181Вместо формы Эрмита рассматривают иногда так называемуюбилинейную форму, определяемую следующим образом:(Ay, x) =naik xi yk .i,k=1Если применить опять к пространству унитарное преобразование так, что новые составляющие будут выражаться через старыепо прежним формулам, то в новых координатах мы получим:(Ay, x) = (AU y , U x )или, в силу свойства унитарного преобразования:(U −1 AU y , x ).Наконец, если U приводит A к диагональной форме, то в соответствующих координатах билинейная форма приведется к следующему простейшему виду:nλk xk yk .k=1Заметим, что всякая диагональная матрица с вещественными элементами есть эрмитовская матрица, а потому и матрицаU −1 [λ1 , .
. . , λn ]U , где U — любая унитарная матрица, будет такжеэрмитовской. Выше мы видели, что и, наоборот, всякую эрмитовскую матрицу мы можем написать в таком виде.Формы Эрмита делятся, как и вещественные квадратичныеформы [35], по знаку характеристических чисел λk . Если, например, все λk положительны, то форма Эрмита называется определенно положительной. Характерным ее свойством является то свойство, что ее значения положительны при всяких xk , и она можетобратиться в нуль лишь при x1 = .
. . = xn = 0. Аналогично определяются знакопостоянные и знакопеременные формы Эрмита. Исследование совершенно аналогично случаю вещественных квадратичных форм и основано на формуле(Ax, x) = λ1 x1 x1 + . . . + λn xn xn .182Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[41Формула (183) справедлива для эрмитовских матриц. Если A — = A(∗) — сопряженная с ней матрица, то вместолюбая матрица и A(183) будем иметь:(Ax, y) = (x, Ay).(1831 ) элементы буЕсли aik — элементы матрицы A, то у матрицы Aдут {A}ik = aki , и формула (1831 ) проверяется непосредственнойподстановкой, как и формула (183).41. Коммутирующие эрмитовские матрицы. Пусть A иB — две эрмитовские матрицы. Посмотрим, при каких условиях иих произведение BA будет эрмитовской матрицей.
Составим матрицу, эрмитовски сопряженную с произведением BA:(∗)(BA)(∗) = AB(∗)или, в силу эрмитовского характера A и B:(BA)(∗) = AB.Для того чтобы BA было эрмитовской матрицей, необходимо идостаточно, чтобы AB совпадало с BA, т. е. чтобы матрицы коммутировали. Положим, что эрмитовские матрицы A и B приводятсяк диагональной форме при помощи одного унитарного преобразования U :A = U −1 [λ1 , . . . , λn ]U ;B = U −1 [μ1 , . . . , μn ]U.Нетрудно видеть, что в этом случае они будут коммутироватьAB = BA = U −1 [λ1 μ1 , . .
. , λn μn ]U.Покажем теперь, что и наоборот: если эрмитовские матрицыкоммутируют, то их можно при помощи одного и того же унитарного преобразования одновременно привести к диагональнойформе, т. е. переместительность эрмитовских матриц является нетолько необходимым, но и достаточным условием возможности иходновременного приведения при помощи унитарного преобразования к диагональной форме. Итак, положим, что AB = BA. Заметим41]§ 4. Квадратичные формы183при этом, что и подобные им матрицы будут также коммутировать.Действительно:(C −1 AC)(C −1 BC) = C −1 ABC = C −1 BAC,и точно такое же выражение получится для произведения(C −1 BC)(C −1 AC).Положим, что за C мы выбрали унитарное преобразование, приводящее A к диагональной форме, и подвергли такому же преобразованию и матрицу B.
Новые матрицы будут также коммутировать, и мы можем, таким образом, при доказательстве нашегопредложения считать просто, что матрица A уже имеет диагональную форму, т. е. что элементы aik удовлетворяют условиюaik = 0при i = k.(189)Обозначим через bik элементы матрицы B и запишем условие,что наши матрицы коммутируют:ns=1ais bsk =nbis ask(i, k = 1, 2, .
. . , n).s=1В силу (189) условия эти будут иметь вид(aii − akk )bik = 0 (i, k = 1, 2, . . . , n).(190)Если все числа aii различны, то из последних равенств непосредственно следует, что bik = 0 при i = k, т. е. что матрица Bтакже имеет диагональную форму, и предложение доказано.Перейдем теперь к рассмотрению общего случая, когда средичисел aii имеются одинаковые. Для определенности предположим,что числа эти распадаются на две группы одинаковых между собойчисел:a11 = .
. . = amm ; am+1, m+1 = . . . = ann .Из формулы (190) непосредственно следует. что в этом случаеэлементы bik могут быть отличны от нуля только тогда, когда или184Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[41оба значка i и k больше m, или оба они не больше m. Таким образом,в данном случае матрица B имеет квазидиагональную форму:B = [B1 , B2 ],где B1 — некоторая эрмитовская матрица порядка m и B2 — эрмитовская матрица порядка (n − m). В раскрытой форме мы можемнаписать матрицу B в виде b11 .
. . bmm0...0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .bm1 . . . bmm0...0 . 0...0bm+1, m+1 . . . bm+1,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0...0bn,m+1...bnn Мы можем, не меняя диагональной формы A, подвергать подпространство, образованное первыми m ортами, любому унитарному преобразованию, и то же самое относится к подпространству,образованному последними (n − m) ортами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
