1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Выберем эти унитарные преобразования V1 и V2 так, чтобы матрицы B1 и B2 записались в диагональной форме. В общем мы будем иметь унитарноепреобразование всего n-мерного пространства, имеющее квазидиагональную форму[V1 , V2 ].В силу сказанного выше, в новых координатах матрица A сохранит диагональную форму, а матрица B примет вид:[V1 , V2 ]−1 [B1 , B2 ][V1 , V2 ] = [V1−1 B1 V1 , V2−1 B2 V2 ],т. е. будет также иметь диагональную форму, и наше предложениедоказано.Если мы теперь построим для наших коммутирующих матрицуравненияAx = λx; Bx = μx,(191)то из предыдущего непосредственно следует, что для обоих этихуравнений мы можем построить одну и ту же систему n линейно42]§ 4. Квадратичные формы185независимых решений.
Эти решения и будут давать столбцы тойунитарной матрицы U , которая приводит обе наши матрицы к диагональной форме. Иначе говоря, мы можем для двух коммутирующих эрмитовских матриц построить одну и ту же полную систему nлинейно независимых собственных векторов. Что же касается собственных значений, т. е. значений параметров λ и μ, то они будут,конечно, вообще говоря, различными. Заметим, что из предыдущего еще не следует, что всякий собственный вектор матрицы A будети собственным вектором матрицы B. Если все собственные значения A и B различны, так что каждому значению λk и μk соответствует с точностью до численного множителя только один вектор,то это будет, конечно, так. Но это уже не будет, вообще говоря,иметь места, если среди собственных значений есть одинаковые.Пусть x(k) есть полная система собственных векторов матриц A иB, а λk и μk — соответствующие собственные значения.
Положим,например, что λ1 = λ2 , но μ1 = μ2 . При этом векторы C1 x(1) +C2 x(2)при любом выборе постоянных C1 и C2 будут собственными векторами для A, но уже не будут собственными векторами для B.Все предыдущие рассуждения легко переносятся и на случайнескольких матриц, а именно: если имеется несколько эрмитовскихматриц A1 , . . .
, Al , то для того, чтобы их можно было одновременнопривести к диагональной форме при помощи унитарного преобразования, необходимо и достаточно, чтобы они попарно коммутировали, т. е. Ai Ak = Ak Ai при любых i и k от 1 до l.42. Приведение унитарных матриц к диагональной форме. Унитарные матрицы в отношении приведения к диагональнойформе обладают свойством, совершенно аналогичным эрмитовскимматрицам, а именно: если V есть некоторая унитарная матрица, товсегда можно найти такую унитарную матрицу U , что матрицаU −1 V Uбудет диагональной матрицей. Мы можем записать нашу задачу вследующем виде:V U = U [λ1 , .
. . , λk ],(192)где U — искомая унитарная матрица и λk — искомые числа.186Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[42Как и раньше для эрмитовской матрицы, столбцам матрицыU будут соответствовать некоторые векторы x(k) , и эти векторыдолжны быть решениями уравненияV x = λx,(193)где λ совпадают с числами λk . Отсюда, как и выше, непосредственно следует, что эти числа λ должны быть корнями характеристического уравненияv11 − λv12...v1n v21 v22 − λ .
. .v2n (194). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 0,vn1vn2. . . vnn − λгде vik — элементы матрицы V .Заметим, прежде всего, что если матрицы V1 и U1 унитарны,то и матрица U1−1 V1 U1 будет унитарной. Действительно, из унитарности U1 следует унитарность U1−1 , и произведение унитарныхматриц есть также унитарная матрица.Возьмем некоторый корень λ = λ1 уравнения (194) и, подставив его вместо λ в уравнение (193), определим единичный векторx(1) , удовлетворяющий этому уравнению, примем этот вектор зановый орт и присоединим к нему еще (n − 1) единичных векторовтак, чтобы получить n единичных взаимно ортогональных векторов.
Переход от прежних ортов к новым будет равносилен некоторому унитарному преобразованию U1 , и наша унитарная матрицаV перейдет в подобнуюV1 = U1−1 V U1 .Соответствующее уравнениеV1 x = λxбудет иметь, при λ = λ1 , в качестве решения вектор с составляющими (1, 0, . . . , 0), откуда будет, как и раньше, непосредственноследовать, что элементы первого столбца матрицы V1 равны всенулю, кроме первого элемента, который равен λ1 . Но, поскольку42]§ 4. Квадратичные формы187в унитарной матрице сумма квадратов модулей элементов каждогостолбца равна единице, мы можем утверждать, что число λ1 по модулю равно единице.
Напомним теперь, что в унитарной матрице V1и сумма квадратов модулей элементов каждой строки также равна единице. Но, как только что показано, первый элемент первойстроки λ1 равен по модулю единице, и, следовательно, остальныеэлементы этой строки должны равняться нулю. Итак, в результатепервого унитарного преобразования мы привели нашу унитарнуюматрицу к такому виду, что в ее первой строке и первом столбцевсе элементы равны нулю, кроме первого:λ10...0 0 v (1) . .
. v (1) 222n .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 v (1) . . . v (1) 222nСовершенно аналогичное обстоятельство мы имели выше для(1)эрмитовских матриц. Далее, элементы vik образуют унитарнуюматрицу порядка (n − 1). Применяя еще унитарное преобразование, мы сможем и в этой матрице получить нули в первой строке истолбце, кроме первого элемента, который по модулю будет равенединице. В окончательном счете, в результате произведенных двухунитарных преобразований, наша унитарная матрица приведется квидуλ1 00...0 0 λ20...0 (2)(2) 00 v33 . . .
v3n .. . . . . . . . . . . . . . . . .(2)(2) 00 vn3 . . . vnnПродолжая наше рассуждение так же и дальше, мы приведемнашу унитарную матрицу при помощи некоторого унитарного преобразования к диагональной форме. Отметим, что из предыдущихсоображений непосредственно следует, что все характеристические числа унитарной матрицы будут по модулю равны единице.Так же, как и в [41], можно показать, что если некоторые унитарные матрицы попарно коммутируют, то их можно при помощи188Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[42одного и того же унитарного преобразования привести к диагональной форме.Отметим еще следующий факт.
Пусть унитарная матрица Uприводит некоторую матрицу A к диагональной форме, т. е. пустьU −1 AU есть диагональная матрица. Как известно, модуль определителя U равен единице, и мы можем подобрать вещественное число ω так, чтобы определитель унитарной матрицы eiω U равнялсяединице. При этом унитарная матрица eiω U также будет приводитьA к диагональной форме, ибо(eiω U )−1 A(eiω U ) = eiω e−iω U −1 AU = U −1 AU.Таким образом, всегда можно считать, что определитель унитарной матрицы U , приводящей некоторую матрицу к диагональной форме, равен единице.П р и м е р. Рассмотрим в качестве примера приведение к диагональнойформе некоторой вещественной ортогональной матрицы третьего порядка: v11 v12 v13 (195)V = v21 v22 v23 . v31 v32 v33 Будем считать, что определитель этой матрицы равен (+1), так что этойматрице соответствует некоторое движение трехмерного пространства, как целого, вокруг начала.
Характеристическое уравнение для матрицы (195) будетпо условию иметь свободный член, равный единице, ибо этот свободный членсовпадает, очевидно, с определителем матрицы. С другой стороны, мы видели, что все корни нашего характеристического уравнения должны иметь модуль, равный единице. Старший член характеристического уравнения будет(−λ)3 = −λ3 , и, следовательно, свободный член уравнения — единица — будетравняться просто произведению корней этого уравнения.
Поскольку это уравнение имеет вещественные коэффициенты, возможны лишь два случая, а именно:или это уравнение имеет один корень, равный единице, а два других мнимые,сопряженные с модулем, равным единице, т. е. два других корня будут видаe±iϕ , или уравнение будет иметь корень единица, и оба других корня будутравняться (−1).
Второй случай является частным случаем первого при ϕ = π.Собственному значению λ = 1 соответствует вещественный вектор x(1) ,который должен являться решением уравненияV x(1) = x(1) .(196)Иначе говоря, этот вектор не должен меняться при том повороте пространства, который определяется матрицей V . Этот вектор, отвечающий вещественному значению λ = 1, будет вещественным вектором, и он будет определять,42]§ 4. Квадратичные формы189очевидно, ту ось, вокруг которой повернулось пространство (всякий поворотпространства вокруг начала равносилен вращению вокруг некоторой оси, проходящей через начало).
Для определения составляющих этого вектора x(1) через элементы V перепишем уравнение (196) в видеV −1 x(1) = x(1)или, поскольку матрица V вещественна и унитарна, мы можем написать:V (∗) x(1) = x(1) .Вычитая это из (196), будем иметь:(V − V (∗) )x(1) = 0.Напишем это равенство в раскрытом виде, причем составляющие вектора x(1)обозначим через (u11 , u21 , u31 ). Получим систему уравнений:(v12 − v21 )u21 + (v13 − v31 )u31 = 0,(v21 − v12 )u11 + (v23 − v32 )u31 = 0,(v31 − v13 )u11 + (v32 − v23 )u21 = 0,и из нее непосредственно следуют формулы, определяющие направление осивращения:u11 : u21 : u31 = (v23 − v32 ) : (v31 − v13 ) : (v12 − v21 ).Два других собственных вектора x(2) и x(3) должны, очевидно, удовлетворять уравнениямV x(2) = eiϕ x(2)V x(3) = e−iϕ x(3) ,и(197)и это будут уже векторы с комплексными составляющими. Мы сможем определить ϕ из того условия, что сумма корней характеристического уравненияравна, очевидно, сумме диагональных членов, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
