1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Скалярным произведением двух векторовx (x1 , x2 , . . . , xn )иy (y1 , y2 , . . . , yn )называется число, равное следующей сумме:nxs y s .s=1Мы будем обозначать скалярное произведение символом (x, y).Имеем:nnxs y s ; (y, x) =ys x s ,(x, y) =s=1s=1откуда следует(y, x) = (x, y).Назовем два вектора взаимно перпендикулярными или взаимно ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.Поскольку число, сопряженное с нулем, есть также нуль, в условии ортогональности порядок векторов в скалярном произведениироли не играет. Нетрудно видеть, что нулевой вектор (0, 0, .
. . , 0)ортогонален к любому вектору x.Из определения скалярного произведения непосредственно вытекают следующие его свойства:(αx, y) = α(x, y);(x, αy) = α(x, y),где α — численный множитель. Кроме того:(x + y, z) = (x, z) + (y, z);(x, y + z) = (x, y) + (x, z),и этот распределительный закон имеет место для любого числа слагаемых. Из него следует, между прочим:(x + y, u + v) = (x, u) + (x, v) + (y, u) + (y, v).13]§ 2.
Решение систем уравнений67Составим скалярное произведение вектора x (x1 , x2 , . . . , xn ) наэтот же вектор:(x, x) =ns=1xs xs =n|xs |2 .s=1Мы получаем таким образом вещественное число, которое будетположительным для вектора x, отличного от нулевого вектора(0, 0, . . . , 0), и равным нулю для нулевого вектора. Корень квадратный (арифметическое значение) из вещественного числа (x, x)называется нормой или длиной вектора x.
Обозначая эту нормусимволом ||x||, можем написать: nn||x||2 = (x, x) =|xs |2 ; ||x|| = (x , x) = |xs |2 .s=1s=1Равенство ||x|| = 0 равносильно тому, что x есть нулевой вектор.Положим, что имеются три взаимно перпендикулярных вектора x,y и z, т. е.(x, y) = 0; (x, z) = 0; (y, z) = 0.Применяя распределительный закон для скалярного произведения и принимая во внимание написанные равенства, получим:(x + y + z, x + y + z) = (x, x) + (y, y) + (z, z))или||x + y + z||2 = ||x||2 + ||y||2 + ||z||2 .Эта формула выражает теорему Пифагора.
Она справедлива длялюбого числа слагаемых. Существенно лишь, что эти слагаемые векторы попарно ортогональны. Покажем, что если векторыx(1) , x(2) , . . . , x(l) попарно ортогональны и среди них нет нулевоговектора, то они линейно независимы. Действительно, положимls=1Cs x(s) = 068Гл. I. Определители и решение систем уравнений[14и покажем, что все числа Cs должны равняться нулю. Умножимобе части этого равенства скалярно на x(k) , где k — одно из чисел1, 2, . .
. , l:lCs (x(s) , x(k) ) = 0.s=1В силу того, что векторы x(s) попарно ортогональны, (x(s) , x(k) ) = 0при s = k, так что последняя формула дает: Ck (x(k) , x(k) ) = 0, т. е.Ck ||x(k) ||2 = 0, откуда, в силу ||x(k) ||2 > 0, следует Ck = 0, и этопри любом выборе k.14. Геометрическая интерпретация однородных систем.Рассмотрим однородную систему⎫a11 x1 + a12 x2 + .
. . + a1n xn = 0, ⎪⎪⎪a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = 0, ⎬(25). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⎪⎪⎪⎭an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = 0.Введем векторы:a(1) (a11 , a12 , . . . , a1n );...;a(n) (an1 , an2 , . .
. , ann ).(26)При этом система (25) может быть записана в следующем сжатом виде:(x, a(1) ) = 0; . . . ; (x, a(n) ) = 0,(27)т. е. дело сводится к нахождению вектора x, перпендикулярногоко всем векторам a(j) . Если определитель |aik | отличен от нуля,то, очевидно, и определитель |aik |, с ним сопряженный по величине, также отличен от нуля. В этом случае векторы a(j) линейнонезависимы, и система (27) имеет только нулевое решение, т. е. несуществует вектора (кроме нуля), который был бы одновременноперпендикулярен к n линейно независимым векторам (в n-мерномпространстве).Рассмотрим теперь другой случай, когда определитель системы (25) равен нулю.
Положим, что ранг системы будет k. Если14]§ 2. Решение систем уравнений69составить таблицу из сопряженных элементов, то входящие в нееопределители будут по величине сопряженными с определителями, входящими в таблицу aik , и ранг сопряженной таблицы будеттакже, очевидно, k. Таким образом, по доказанному выше, средивекторов a(j) будет k линейно независимых, а остальные векторыбудут их линейными комбинациями. Не ограничивая общности, можем считать, что эти линейно независимые векторы сутьa(1) , . . .
, a(k) ,(28)а для остальных будем иметь выражения вида(k+s) (1)a(k+s) = β1a(k+s) (k)+ . . . + βka(k + s = k + 1, k + 2, . . . , n),(q)где βp — численные коэффициенты. Из последнего непосредственно следует, что если x перпендикулярен векторам (28), то тем самым он будет перпендикулярен и ко всем векторам a(j) . Действительно:k(k+s) (i)(x, a(k+s) ) =(x, βia )i=1и вся сумма равна нулю, так как каждое из отдельных слагаемыхпо условию обращается в нуль.
Итак, достаточно решить первые kуравнений системы. Считая, как всегда, что определитель порядкаk, отличный от нуля, стоит в левом верхнем углу, для искомого вектора x мы получим (n − k) линейно независимых решений x(1) , . . . ,x(n−k) тем способом, который был указан в [12], и всякое решениебудет представлять собою линейную комбинацию этих (n − k) векторов.
Можно сказать, что в данном случае векторы, определяемыеформулойy = C1 a(1) + . . . + Ck a(k) ,где Ci — произвольные постоянные, образуют пространство Lk измерения k, которое является подпространством для всего пространства n измерений. Совершенно так же найденные векторы x(1) , x(2) ,. . . , x(n−k) образуют некоторое подпространство Mn−k измерения(n − k). Подпространство Mn−k ортогонально подпространствуLk в том смысле, что всякий вектор из Mn−k ортогонален всякому вектору из Lk (и, очевидно, наоборот).
Подпространство Mn−k70Гл. I. Определители и решение систем уравнений[14состоит из векторов, которые удовлетворяют системе (27), т. е. ортогональны a1 , a(2) , . . . , ak . Нетрудно видеть, что n векторов a(1) ,. . . , a(k) , x(1) , . . . , x(n−k) — линейно независимы. Действительно, положим, что между ними существует соотношение:(c1 a(1) + . . . + ck a(k) ) + (d1 x(1) + .
. . + dn−k x(n−k) ) = 0.(29)Первая скобка дает некоторый вектор a из Lk , а вторая — некоторый вектор x из Mn−k , и мы имеем a + x = 0 или a = −x. Новекторы a и x взаимно ортогональны, т. е. оказывается, что векторa ортогонален сам себе, иначе говоря, (a, a) = 0 или ||a|| = 0, откуда следует, что вектор a есть нулевой вектор; то же можно сказатьи о векторе x. Итак:c1 a(1) + . . . + ck a(k) = 0 и d1 x(1) + . . . + dn−k x(n−k) = 0.Но векторы a(1) , . . . , a(k) , по условию, линейно независимы, и, следовательно, все постоянные cs должны быть равны нулю; то жеможно утверждать и относительно ds . Итак, в соотношении (29)все коэффициенты должны быть равны нулю, т. е.
векторы a(1) ,. . . , a(k) , x(1) , . . . , x(n−k) действительно линейно независимы.Всякий вектор x единственным образом может быть представлен в видеx = (γ1 a(1) + . . . + γk a(k) ) + (δ1 x(1) + . . . + δn−k x(n−k) ),причем первая скобка дает вектор, принадлежащий Lk , а вторая —вектор, принадлежащий Mn−k . Векторы, входящие в состав Mn−k ,суть, как мы уже упоминали, всевозможные решения системы (27),и, таким образом, при любом выборе полной системы линейно независимых решений число таких решений будет равно (n − k), т. е.числу измерений Mn−k .
Приведенное выше исследование однородной системы приводит нас к следующему важному результату:Если имеется подпространство Lk измерения k(k < n), то векторы, ортогональные к этому подпространству, образуют подпространство Mn−k измерения (n − k), и всякий вектор x из Rnможет быть представлен в виде суммы x = y + z, где y принадлежит Lk и z принадлежит Mn−k .14]§ 2. Решение систем уравнений71Покажем, что такое представление единственно. Пусть, кромеуказанного представления, имеется еще одно: x = u + v, где u изLk и v — из Mn−k . Надо доказать, что u = y и v = z. Мы имеем:y+z = u+v, откуда y−u = v−z.
Разность y−u принадлежит Lk , аразность v − z принадлежит Mn−k , откуда следует, что вектор y − uортогонален сам себе, т. е. (y − u, y − u) = 0 или ||y − u|| = 0, откудаy − u = 0 и y = u. При этом из y − u = v − z следует, что v = z.Вектор y, входящий в представление x = y+z, называется проекцией x в подпространство Lk .
В указанном представлении векторыy и z ортогональны, и теорема Пифагора дает: ||x||2 = ||y||2 + ||z||2 ,откуда следует, что ||y || ||x||, причем знак равенства имеет местов том и только в том случае, когда z есть нулевой вектор, т. е. когдаx принадлежит Lk , так что y = x. Аналогично ||z|| ||x||, и знакравенства имеет место только в том случае, когда x ортогонально Lk , т. е. z = x.
Подпространства Lk и Mn−k называются обычно дополнительными ортогональными подпространствами. Еслиk = n, то Ln есть все Rn , а M0 сводится к одному нулевому вектору.Положим, что мы имеем вещественное трехмерное пространство, о котором мы говорили выше, и пусть k = 2, так что n − k =3 − 2 = 1. Подпространство L2 есть некоторая плоскость P , проходящая через точку O, а M1 есть прямая, проходящая через Oи перпендикулярная P . Всякий вектор может быть единственнымобразом представлен как сумма двух векторов, из которых одинлежит в плоскости P , а другой — на прямой K.
Мы провели геометрическую интерпретацию решения однородной системы в томслучае, когда число уравнений равно числу неизвестных. Совершенно так же можно провести рассуждения и в общем случае, когда число векторов a(s) не обязательно равно числу n. Аналогичноезамечание относится и к следующему номеру.15. Случай неоднородной системы. Рассмотрим неоднородную систему:⎫a11 x1 + a12 x2 + . . .
+ a1n xn = b1 , ⎪⎪⎪a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 , ⎬(30)................................. ⎪⎪⎪⎭an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn .72Гл. I. Определители и решение систем уравнений[15Ее можно толковать как задачу нахождения вектора x (x1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
