1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Оно будет иметь вид произведения шести множителей:(x1 − x2 )(x1 − x3 )(x1 − x4 )(x2 − x3 )(x2 − x4 ).D4 =(x3 − x4 )Точно так же при любом n получим следующее выражениедля определителя Dn , который обычно называется определителем5]§ 1. Определитель и его свойства33Вандермонда:(x1 − x2 )(x1 − x3 ) . .
. (x1 − xn )(x2 − x3 ) . . . (x2 − xn ).Dn =...............................(xn−1 − xn )(29)Написанное выражение имеет интересную связь с основнымопределением определителя. Любой определитель порядка n можетбыть записан в виде x1n x1 n−1 . . . x11 x2n x2 n−1 . .
. x21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xnn xn n−1 . . . xn1 (30)Заменим в нем чисто формально каждый элемент xik на xk−1. Поiсле такой замены определитель (30) перейдет, очевидно, в определитель Вандермонда (28). Отсюда вытекает непосредственно следующее правило образования суммы, дающей величину определителя(30): в выражении (29) открываем скобки и в каждом из полученных после этого членов заменяем xs−1на xks , причем если такойkчлен не содержит степени некоторого числа xk , то в соответствующем произведении надо добавить множитель x0k , который послеупомянутой замены перейдет в xk1 .
Заметим, что это последнееправило может быть принято за определение определителя.IV. Рассмотрим выражение, с которым нам придется иметь делов последующем:a11 + xa12a13...a1n a21a22 + xa23...a2n Δ(x) = a31a32a33 + x . . .a3n , . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1an2an3. . . ann + x(31)и разложим его по степеням буквы x. Для этого перепишем его34Гл. I. Определители и решение систем уравненийпредварительно в следующем виде:a11 + x a12 + 0 a13 + 0 . . . a1n + 0 a21 + 0 a22 + x a23 + 0 . . . a2n + 0 Δ(x) = a31 + 0 a32 + 0 a33 + x . . . a3n + 0 .. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1 + 0 an2 + 0 an3 + 0 . . . ann + x[5(32)Каждый из столбцов этого определителя есть сумма двух слагаемых, и, применяя несколько раз свойства IV определителя, мыпредставим его в виде суммы 2n определителей, столбцы которыхуже не содержат сумм. Если во всех столбцах выражения (32) вычеркнуть вторые слагаемые, то мы получим член, не содержащийбуквы x, т. е. свободный член в разложении Δ(x): a11 a12 . .
. a1n aa22 . . . a2n (33)Δ = 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1 an2 . . . ann Наоборот, если вычеркнуть во всех столбцах первые слагаемые,то получится старший член полинома Δ(x), равныйx 0 0 . . . 0 0 x 0 . . . 0 0 0 x . . . 0 = xn .. . . . . . . . .
. . . . . . . . 0 0 0 . . . xРассмотрим теперь средние члены полинома. Положим, что встолбцах с номерами p1 , p2 , . . . , ps мы удерживаем вторые слагаемые, а в остальных столбцах — первые слагаемые. При этом каждый столбец с номером pk (k = 1, 2, . . . , s) будет состоять сплошьиз нулей, кроме одного элемента, равного x и стоящего на главной диагонали, т. е. на пересечении строки и столбца с одинаковым номером.
Разлагая полученный определитель последовательно по элементам столбцов p1 , p2 , . . . , ps , мы от этих столбцов получим множитель xs и должны будем вычеркнуть строки с номерами5]§ 1. Определитель и его свойства35p1 , p2 , . . . , ps и столбцы с такими же номерами. После каждого такого вычеркивания алгебраические дополнения соответствующегоэлемента будут равны в точности минорам ввиду совпадения номера вычеркиваемой строки и столбца. Итак, при любом выборе номеров столбцов pk (k = 1, 2, .
. . , s) наш определитель будет содержатьxs с коэффициентом, равным определителю порядка (n − s), получаемому из основного определителя (33) вычеркиванием тех строки столбцов, на пересечении которых стоят элементы главной диагонали ap1 p1 , ap2 p2 , . . . , aps ps .
Обозначим этот определитель порядка(n − s) символом Δp1 p2 ...ps . Он называется обычно главным миноp1 p2 ...psром определителя Δ, порядка (n − s). Выбирая числа p1 , p2 , . . . , psразличным образом, получим в общем окончательный коэффициент при xs в выражении Δ(x), в виде суммы всевозможных главныхминоров порядка (n − s), т. е.Δ(x) = xn + S1 xn−1 + S2 xn−2 + . . . + Sn−1 x + Sn ,где Sk есть сумма всех главных миноров определителя Δ порядка k и, в частности, Sn равно Δ.
Напишем явное выражение длякоэффициента(1,2,...,n)Sk =p1 <p2 <...<pn−kΔp1 p2 ...pn−k =p1 p2 ...pn−kaq1 q1 aq1 q2 . . . aq1 qk aq2 q1 aq2 q2 . . . aq2 qk =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (34)q1 <q2 <...<qkaqk q1 aqk q2 . . . aqk qk Здесь суммирование распространяется на всевозможные комбинации из k чисел q1 , q2 , qk , идущих в возрастающем порядке ивзятых среди чисел 1, 2, . . . , n. Если бы мы стали суммировать ввыражении (34) по каждому значку qj просто по всем значениямот 1 до n, то в перестановке q1 , q2 , . . . , qk целые числа шли бы нетолько в возрастающем порядке, но и во всех других возможныхпорядках. Точнее говоря, всякая возрастающая последовательностьпри суммировании по всем qj от 1 до n дала бы всего k! перестановок. Заметим теперь, что при перестановке каких-нибудь двух36Гл.
I. Определители и решение систем уравнений[5чисел qi и qj величина определителя, стоящего в формуле (34), неизменится. Действительно, если мы переставим, например, q1 и q2 ,то тем самым в упомянутом определителе переставятся первая ивторая строки и первый и второй столбцы, что не повлияет на величину определителя. Таким образом, из предыдущего следует, чтоесли мы в выражении (34) будем суммировать по каждому из чиселqj просто от 1 до n, то каждое слагаемое суммы (34) повторится k!раз, и, следовательно, мы можем написать выражение коэффициента Sk в виде,Sk =nnn1 q...A 1q1k! q =1 q =1q =112kq2q2. . . qk..
. . qk(35)6. Теорема об умножении определителей. В этом номеремы выведем формулу для произведения двух определителей одногои того же порядка.Пусть имеются два определителя порядка n:Δ = |aik |n1(361 )Δ1 = |bik |n1 .(362 )иСоставим новый определитель, элементы которого выражаютсяформуламиncik =ais bsk (i, k = 1, 2, . . . , n),(37)s=1и докажем, что этот определитель равен произведению определителей (361 ) и (362 ). Начнем со случая n = 2. Принимая во внимание формулы (37) и разлагая определитель на слагаемые, согласносвойству IV из [3], получим: c11 c12 a11 b11 + a12 b21 a11 b12 + a12 b22 a11 b11 a11 b12 ==c21 c22 a21 b11 + a22 b21 a21 b12 + a22 b22 a21 b11 a21 b12 + a11 b11 a12 b22 a12 b21 a11 b12 a12 b21 a12 b22 .+++a21 b11 a22 b22 a22 b21 a21 b12 a22 b21 a22 b22 6]§ 1.
Определитель и его свойства37Вынося одинаковые множители из элементов одного и того жестолбца, мы получим в первом и четвертом слагаемом определители с одинаковыми столбцами, равные нулю. Переставляя еще водном из определителей столбцы, будем иметь:c11 c12 = b11 b22 a11 a12 + b12 b21 a12 a11 =c21 c22 a21 a22 a22 a21 a a a a a a = b11 b22 11 12 − b12 b21 11 12 = 11 12 (b11 b22 − b12 b21 ) =a21 a22a21 a22a21 a22 a11 a12 b̃11 b̃12 ,·=a21 a22 b̃21 b̃22 что и требовалось доказать.В общем случае порядка n после применения свойства IV из [3]будем иметь: a1s1 bs1 1 a1s2 bs2 2 . .
. a1sn bsn n a2s1 bs1 1 a2s2 bs2 2 . . . a2sn bsn n n(38)|cik |1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,(s1 ,s2 ,...,sn ) ans1 bs1 1 ans2 bs2 2 . . . ansn bsn n где переменные суммирования s1 , s2 , . . . , sn принимают целые значения 1, 2, . . . , n.
Слагаемые этой суммы могут быть записаны ввиде a1s1 a1s2 . . . a1sn a2s1 a2s2 . . . a2sn .(39)bs1 1 bs2 2 . . . bsn n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ans1 ans2 . . . ansn Если среди чисел s1 , s2 , . . . , sn есть одинаковые, то написанныйопределитель имеет одинаковые столбцы, и соответствующее слагаемое равно нулю. Таким образом, мы можем ограничиться рассмотрением таких слагаемых, у которых среди чисел sk нет одинаковых, и таким образом эта последовательность чисел s1 , s2 , .
. . , snпредставляет собой некоторую перестановку из чисел 1, 2, . . . , n.Умножим выражение (39) дважды на (−1)[s1 ,s2 ,...,sn ] , в результате38Гл. I. Определители и решение систем уравнений[6чего оно, очевидно, не изменится, и это выражение можно переписать в виде произведения двух множителей: a1s1 a1s2 . . . a1sn aa2s2 . . .
a2sn [s1 ,s2 ,...,sn ](−1)[s1 ,s2 ,...,sn ] 2s1bs1 1 bs2 2 . . . bsn n . ·(−1)......................ans1 ans2 . . . ansn В первом множителе путем нескольких транспозиций перестановкуs1 , s2 , . . . , sn приведем к виду 1, 2, . . . , n. При каждой транспозиции величина (−1)[s1 ,s2 ,...,sn ] и написанный определитель будутлишь менять знак, а весь первый множитель останется без изменения. Таким образом выражение (39) может быть переписано ввиде a11 a12 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
