1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Определитель и его свойства152. Перестановки. Пусть имеется n каких-нибудь элементов,расставленных в определенном порядке. Назовем это перестановкой, образованной из наших элементов. Докажем прежде всего, чтотаких различных перестановок будет n!. При n = 2 это очевидно,ибо два элемента могут образовывать две различные перестановки. При n = 3 это непосредственно следует из подсчета перестановок (5), где роль элементов играют числа 1, 2, 3. Без труда можноубедиться, что (5) дают всевозможные перестановки из этих трехэлементов.
Докажем наше утверждение при любом целом n по закону индукции. Предполагая, что наше утверждение справедливопри некотором n, докажем, что оно справедливо и для числа элементов (n + 1). Положим, что n элементов дают n! перестановок, ирассмотрим какие-нибудь (n + 1) элементов, которые обозначимC1 , C2 , . . . , Cn+1 .Обратим сначала внимание на те перестановки, у которых первым элементом будет C1 . Чтобы получить всевозможные такие перестановки, надо поставить на первое место C1 , а затем писатьвсевозможные перестановки из оставшихся n элементов, и числотаких перестановок будет по предположению равно n!.
Таким образом, число перестановок из элементов Ck , начинающихся с элемента C1 , будет равно n!. Совершенно так же число перестановокиз элементов Ck , начинающихся с элемента C2 , будет равно такжеn!. В общем, число различных перестановок из элементов Ck будет:n! · (n + 1) = 1 · 2 · . . . n · (n + 1) = (n + 1)!,что и требовалось доказать.Мы можем, конечно, считать, что за элементы взяты целые числа, начиная с единицы, чего мы и будем придерживаться в дальнейшем. Назовем транспозицией операцию, которая состоит в том,что в некоторой перестановке мы меняем местами два элемента.Непосредственно очевидно, что из всякой перестановки мы можемполучить всякую другую перестановку, совершая несколько транспозиций. Например, возьмем две перестановки из четырех элементов1, 3, 4, 2, 2, 4, 1, 3.16Гл.
I. Определители и решение систем уравнений[2Можно перейти от первой из этих перестановок ко второй припомощи транспозиций путем следующего перехода:1, 3, 4, 2 → 2, 3, 4, 1 → 2, 4, 3, 1 → 2, 4, 1, 3.Здесь нам понадобились три транспозиции, чтобы перейти отпервой перестановки ко второй. Если бы мы совершали транспозиции иным образом, то мы могли бы и другим путем перейти от первой перестановки ко второй при помощи транспозиций, т.
е., иначеговоря, число транспозиций, необходимых для перехода от однойперестановки к другой, не есть строго определенное число. Можнопереходить от одной перестановки к другой при помощи различного числа транспозиций. Но для нас будет существенным доказать,что эти различные числа для двух заданных перестановок будутвсегда или все четные или все нечетные. Иначе это выражают, говоря, что эти числа всегда одинаковой четности. Чтобы выяснитьэто, введем понятие о беспорядке, которым мы уже пользовались впредыдущем номере.
Пусть имеются перестановки из n элементов1, 2, . . . , n. Назовем основной перестановкой ту перестановку1, 2, . . . , n,(12)в которой числа идут возрастающим порядком. Назовем беспорядком в некоторой перестановке тот факт, когда два элемента этойперестановки следуют не в том порядке, в каком они стоят в основной перестановке (12), т. е., иначе говоря, когда большее число стоит левее меньшего. Назовем перестановками первого классате перестановки, в которых число беспорядков есть число четное,и перестановками второго класса — те, где это число есть числонечетное. Основным для дальнейшего будет следующая теорема:Транспозиция меняет число беспорядков на число нечетное.Возьмем некоторую перестановкуa, b, .
. . , k, . . . , p, . . . , s(13)и положим, что мы применяем к этой перестановке транспозициипо отношению к элементам k и p, т. е. меняем эти два элементавзаимно местами. После такой транспозиции взаимное расположение элементов k и p относительно элементов, стоящих левее k или2]§ 1. Определитель и его свойства17правее p, останется прежним. Изменится лишь взаимное расположение элементов k и p относительно тех элементов, которые стоятв перестановке между k и p, а также изменится, конечно, взаимноерасположение элементов k и p одного относительно другого. Подсчитаем общее изменение числа беспорядков. Положим, что междуэлементами k и p в перестановке (13) стоит всего m элементов, ипусть эти средние элементы по сравнению с элементом k дают αпорядков и β беспорядков, относительно же элемента p дают α1порядков и β1 беспорядков.
Имеем, очевидно:α + β = α1 + β1 = m.(14)В результате транспозиции порядок перейдет в беспорядок, инаоборот, т. е., точнее говоря, если элемент k с некоторым среднимэлементом до транспозиции был в порядке, то после транспозициион окажется в беспорядке, и наоборот, и то же самое для элементаp. Таким образом, общее число беспорядков у элементов k и p относительно средних элементов до транспозиции было β + β1 и послетранспозиции α + α1 , т. е. изменение числа беспорядков будет:γ = (α + α1 ) − (β + β1 ).Пользуясь (14), мы можем переписать это число в видеγ = (α + α1 ) − (m − α + m − α1 ) = 2(α + α1 − m),откуда непосредственно следует, что это число γ будет четным.Остается обратить внимание на взаимное расположение самих элементов k и p.
Если до транспозиции они образовывали порядок,то после они образуют беспорядок, и наоборот, т. е. здесь изменение числа беспорядков равно единице, и таким образом общее изменение числа беспорядков, происшедших от транспозиции, будетчислом нечетным.Выясним некоторые следствия, вытекающие из доказанной теоремы.С л е д с т в и е I. Если выписать все n! перестановок и в каждойиз них произвести транспозицию двух определенных элементов, например элементов 1 и 3, то все перестановки первого класса станут18Гл. I. Определители и решение систем уравнений[2перестановками второго класса, и наоборот; а в общем получитсяопять вся совокупность n! перестановок. Отсюда непосредственноследует, что число перестановок первого и второго классов одинаково.С л е д с т в и е II.
Всякая перестановка может быть получена изосновной путем транспозиций. Из доказанной теоремы непосредственно следует, что первый класс образуют те перестановки, которые получаются из основной путем четного числа транспозиций, а второй класс — те перестановки, которые получаются изосновной путем нечетного числа транспозиций.С л е д с т в и е III. Выбор основной перестановки совершеннопроизволен. Мы могли бы вместо перестановки (12) выбрать за основную какую-нибудь другую перестановку, при этом, конечно, приопределении беспорядков надо сравнивать перестановку с основной, т. е. исходить из того порядка элементов, в котором они стоят восновной перестановке. Нетрудно видеть, что если мы возьмем вместо перестановки (12) за основную перестановку какую-нибудь изперестановок первого класса, то перестановки первого класса останутся по-прежнему перестановками первого класса, а перестановки второго класса останутся перестановками второго класса.
Наоборот, если мы за основную перестановку возьмем какую-нибудьперестановку второго класса, то перестановки второго класса станут перестановками первого класса, и перестановки первого классастанут перестановками второго класса.Например, если в шести перестановках из элементов 1, 2, 3 мыпримем за основную перестановку 2, 1, 3, то перестановками первого класса будут перестановки:2, 1, 3;1, 3, 2;3, 2, 1.Во второй из этих перестановок мы имеем два беспорядка: 1 стоитперед 2 и 3 перед 2, а в основной 2 стоит перед 1 и 2 перед 3.Перестановками второго класса будут перестановки:1, 2, 3;2, 3, 1;3, 1, 2.В первой из этих перестановок мы имеем один беспорядок по сравнению с основной 2, 1, 3, а именно 1 стоит перед 2.2]§ 1.
Определитель и его свойства19Принимая во внимание сказанное выше, мы можем формулировать правило знаков в выражении (8) следующим образом: мы пишем перед произведением знак плюс, если перестановка из вторыхзначков принадлежит первому классу, и знак минус, если перестановка из вторых значков принадлежит второму классу, причем за основную перестановку принята перестановка 1, 2, . . . , n.Выясним теперь одно из основных свойств определителя. Переставим в таблице, дающей определитель, первый и второй столбцы.Числа, которые мы раньше обозначали через aik , мы по-прежнемубудем обозначать этими же буквами с теми же самыми значками.Вместо таблицы (6) будем иметь таблицу: a12 a11 a13 .
. . a1n a22 a21 a23 . . . a2n (15) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an2 an1 an3 . . . ann Мы можем теперь, пользуясь определением, выражаемым формулой (8), составить определитель, соответствующий таблице (15).В этой таблице столбцы пронумерованы в следующем порядке: 2, 1,3, . . . , n, и эту перестановку мы должны считать за основную.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
