1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Пусть, как и выше, имеется квадратная таблица чисел (6) и пусть l — целое положительное число, не большее,26Гл. I. Определители и решение систем уравнений[3чем n. Введем следующее обозначение определителя порядка l, составленного из строк таблицы (6) с номерами p1 , p2 , . . . , pl и столбцов с номерами q1 , q2 , . . . , ql :ap1 q1 ap1 q2 . . . ap1 ql ap2 q1 ap2 q2 . .
. ap2 ql p1 p2 . . . pl.(22)A=q1 q2 . . . ql . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . apl q1 apl q2 . . . apl ql При этом обычно определителем первого порядка, соответствующим какому-либо числу a, называют само это число, т. е. A(pq ) =apq . Последовательности целых положительных чисел p1 , p2 , . . . , plи q1 , q2 , . . . , ql могут быть расположены и не в порядке возрастаниячисел ps и qs . Если в обеих этих последовательностях числа идут ввозрастающем порядке, то определитель (22) называется миноромпорядка l определителя (8).
Этот определитель (22) получается из(8) вычеркиванием (n − l) строк и (n − l) столбцов. Пусть номераэтих вычеркнутых строк и столбцов в возрастающем порядке суть:r1 , r2 , . . . , rn−l и s1 , s2 , . . . , sn−l . Минорr r2 . . . rn−lA 1s1 s2 . . . sn−lназывается минором, дополнительным к минору (22), а выражениеr1 r2 . . . rn−lp1 +p2 +...+pl +q1 +q2 +...+ql(−1)(221 )As1 s2 .
. . sn−lназывается алгебраическим дополнением минора (22). Для отдельного элемента aik это определение алгебраического дополнения совпадает с прежним определением (17).Алгебраическое дополнение (221 ) обозначим черезp p2 . .
. pl.A 1q1 q2 . . . qlОно вполне определяется заданием определителя (22), т. е. заданием последовательностей номеров его строк p1 , p2 , . . . , pl и столбцовq1 , q2 , . . . , ql .4]§ 1. Определитель и его свойства27Фиксируем номера строк. Величина определителя Δ является, очевидно,однородным полиномом степени l элементов этих строк, и она выражается,как можно доказать, формулой (теорема Лапласа):p2 . .
. plp1 p2 . . . plpΔ=A,(23)A 1q1 q2 . . . qlq1 q2 . . . qlq1 <q2 <...<qlгде суммирование проводится по всевозможным возрастающим последовательностям чисел q1 , q2 , . . . , ql , взятых из последовательности 1, 2, . . . ,n. Число слагаемых в сумме (23) равно числу сочетаний из n элементовпо l:n(n − 1) . . . (n − l + 1),l!поскольку порядок чисел qs не играет роли, ибо они берутся при составлениисуммы (23) только в возрастающем порядке.
При l = 1 мы имеем A(pq11 ) = ap1 q1 ,и формула (23) переходит в формулу (18) при i = p1 . Легко построить формулу,аналогичную (23) и соответствующую разложению Δ по элементам каких-либовыбранных столбцов. Мы не будем в дальнейшем пользоваться формулой (23)и не приводим ее доказательства.lCn=4. Вычисление определителя. Вычисление определителявторого порядка очень просто. Согласно формуле (11) достаточнонаписать таблицу a11 Ea12 EE y EEyy EEE ya21a22и взять произведение элементов, стоящих на диагонали, отмеченной сплошной чертой, с собственным знаком, и отмеченной пунктиром — с обратным знаком.Перейдем к определителю третьего порядка.
В раскрытом видеон записан нами в формуле (3). Нетрудно проверить, что его можнообразовать следующим путем: выписываем таблицу, дающую определитель, и подписываем под ней еще раз первую и вторую строки.Будем иметь таблицу, содержащую шесть диагоналей, по три элемента в каждой.Берем произведение элементов, стоящих на диагоналях, отмеченных сплошной чертой, без изменения и на диагоналях, отмеченных пунктиром, — со знаком минус. Сумма этих шести произведений и дает определитель (правило Сарруса).28Гл.
I. Определители и решение систем уравнений[5a13 yyya21 Ea22 Ea23 EE yEE y EEyEEyy EEE y EEEyya31 Ea32 Ea33 EE yEE y EEyEEyy EEE y EEEyya11a12 Ea13 EEyEEyEEyE ya21a22a23 a11 Ea12EEEEEEEyПравило это не обобщается на определители более высокого порядка, и тамприходится поступать иначе для сокращения вычислений. Полезно, например,пользоваться указанным в предыдущем номере свойством VI определителя.Выясним это на примере. Возьмем определитель четвертого порядка 3 5 1 0 2 1 4 5.Δ = 1 7 4 2−3 5 1 1Умножаем третью строчку на (−2) и складываем со второй; кроме того, умножаем эту же строчку на 3 и складываем с четвертой и вычитаем из первой.Таким образом, в силу упомянутого свойства придем к определителю, равному вышенаписанному, причем этот определитель будет иметь в первом столбцетри нуля:0 −16 −11 −6 0 −13−41.Δ = 7421026137Отсюда, разлагая по элементам первого столбца, согласно формуле (19),получим:−16 −11 −6−41 .Δ = −13 26137Умножаем третий столбец на 4 и складываем со вторым и затем умножаем егона 13 и складываем с первым.
Получаем таким образом:−94 −35 −6−94 −35 = 94 · 41 − 35 · 117 = −241.01 = − Δ = 011741 1174175]§ 1. Определитель и его свойства295. Примеры. I. Пусть требуется вычислить объем параллелепипеда, три ребра которого, выходящих из одной вершины, сутьвекторы А, B и C. Как известно [II, 117], искомый объем выражается скалярным произведением вектора А на векторное произведение(B × C):V = A(B × C).(24)При этом объем получается со знаком плюс, если векторы А,B, C дают ту же ориентировку, что координатные оси, и со знакомминус, если упомянутые ориентировки различны.
Составляющиевекторного произведения равныBy Cz − Bz Cy ,Bz Cx − Bx Cz ,Bx Cy − By Cx ,и таким образом скалярное произведение, входящее в формулу (24),будет:Ax (By Cz − Bz Cy ) + Ay (Bz Cx − Bx Cz ) + Az (Bx Cy − By Cx ).Нетрудно видеть, что эта последняяопределитель третьего порядка, т. е.Ax BxV = Ay ByAz Bzсумма представляет собоюCx Cy .Cz (25)Равенство нулю этого определителя будет нам показывать, что объем равен нулю, иначе говоря, что наши три вектора компланарны,т. е.
находятся в одной плоскости. Если мы в определителе переставим две строки (столбца), например первую и вторую, то этимсамым порядок векторов А, B, C заменится другим порядком B,A, C, и если векторы в прежней последовательности давали ту жеориентировку, что координатные оси, то теперь они будут даватьуже иную ориентировку, и наоборот. В соответствии с этим величина определителя изменит знак.Если аналогичным образом в плоскости XY рассмотрим двавектора с составляющими (Ax , Ay ) и (Bx , By ), то площадь параллелограмма, построенного на этих двух векторах, будет равна определителю второго порядка:Ax Bx .P =Ay By 30Гл. I.
Определители и решение систем уравнений[5Рассмотрим теперь треугольник, координаты вершин которогосутьM1 (x1 , y1 ), M2 (x2 , y2 ), M3 (x3 , y3 ).Берем векторы A = M1 M2 и B = M1 M3 с составляющими:M1 M2 (x2 − x1 , y2 − y1 ),M1 M3 (x3 − x1 , y3 − y1 ),и площадь нашего треугольника может быть выражена в виде1 x2 − x1 x3 − x1 .P = 2 y2 − y1 y3 − y1 Нетрудно показать, что написанный определитель второго порядка можно заменить определителем третьего порядка и написатьформулу в следующем видеx x2 x3 1 1P = y1 y2 y3 .2111Равенство нулю этого определителя дает условие того, что точки M1 , M2 , M3 находятся на одной прямой. Иначе говоря, уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (x1 , y1 ) и(x2 , y2 ), может быть написано в видеx x1 x2 y y1 y2 = 0.1 11II.
Нетрудно составить, пользуясь определителями, уравнениянекоторых геометрических мест. Пусть, например, ищется уравнение окружности, проходящей через три заданные точки: (x1 , y1 ),(x2 , y2 ) и (x3 , y3 ). Легко видеть, что это уравнение запишется, припомощи определителя четвертого порядка, следующим образом: 2x + y 2 x21 + y12 x22 + y22 x23 + y32 xx1x2x3 = 0.(26) yy1y2y3 1111 5]§ 1. Определитель и его свойства31Действительно, разлагая по элементам первого столбца, убеждаемся, что написанное уравнение есть уравнение второй степени,в котором коэффициенты при x2 и y 2 одинаковы, и член с произведением xy отсутствует, т.
е. уравнению (26) соответствует окружность. Наконец, если мы в этом уравнении подставим x = xk иy = yk (k = 1, 2, 3), то первый столбец определителя будет совпадать с одним из следующих, и уравнение будет удовлетворено, т. е.окружность действительно проходит через три заданные точки.
Заметим, что если три заданные точки находятся на одной прямой,то в уравнении (26) коэффициент при (x2 + y 2 ) окажется равнымнулю, и уравнению будет соответствовать не окружность, а прямая.Совершенно так же уравнение плоскости в пространстве с осями OX, OY, OZ, проходящей через три заданные точки (x1 , y1 , z1 ),(x2 , y2 , z2 ) и (x3 , y3 , z3 ), может быть написано в виде определителячетвертого порядка:x x1 x2 x3 y y1 y2 y3 (27)z z1 z2 z3 = 0.1 111Если три заданные точки лежат на одной прямой, то уравнение(27) превратится в тождество 0 = 0.III.
Рассмотрим определитель Dn порядка n, каждая строчкакоторого состоит из степеней некоторого числа, начиная с (n − 1)-йстепени и до нулевой включительно: n−1n−2x 1n−1 x1n−2 . . . x1 1xx...x122.Dn = 2.........................xn−1 xn−2 . . . xn 1n(28)nПри n = 1 и 2 будем иметь:D1 = 1; D2 = x1 − x2 .Для раскрытия определителя D3 мы заменим в первой строчке это-32Гл. I. Определители и решение систем уравненийго определителя число x1 буквой x. 2xD3 (x) = x22x23[5Получим определитель видаx 1x2 1 .x3 1Разлагая его по элементам первой строки, видим, что D3 (x)есть полином второй степени от x. Если подставить в определительx = x2 или x = x3 , то первая строка станет одинаковой со второйили третьей, и величина определителя будет нуль, т.
е. квадратныйтрехчлен D3 (x) имеет корни x2 и x3 и может быть представлен ввидеD3 (x) = A3 (x − x2 )(x − x3 ),где A3 есть коэффициент при x2 , т. е. алгебраическое дополнениеэлемента x2 определителя D3 (x), стоящего в левом верхнем углу.Отсюда следуетx 1 ,A3 = 2x3 1т. е. A3 есть определитель D2 , составленный из чисел x1 и x3 . Окончательно:D3 (x) = (x2 − x3 )(x − x2 )(x − x3 ).Подставляя x = x1 , получим для D3 выражение в виде произведения трех множителей:D3 =(x1 − x2 )(x1 − x3 )(x2 − x3 ).Совершенно аналогично, имея выражение D3 , можно получитьвыражение для D4 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
