1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 45
Текст из файла (страница 45)
, Ha Gm−1 .(42)Иначе говоря, в этом случае сопряженные совокупности справасовпадают с сопряженными совокупностями слева.Если Ha0 есть некоторый элемент нормального делителя, то прилюбом G0 из G элемент G0 Ha0 G−1также принадлежит нормаль0ному делителю, т. е. если некоторый элемент принадлежит нормальному делителю, то и весь класс, в который этот элемент входит в основной группе, также принадлежит нормальному делителю. Нетрудно показать и наоборот, что если некоторая подгруппа обладает тем свойством, что, содержа некоторый элемент, онасодержит и весь класс, к которому этот элемент принадлежит восновной группе, то такая подгруппа есть нормальный делитель.Обратимся теперь к рассмотрению сопряженных совокупностейв схеме (41) или (42), где элементы Ha образуют нормальный делитель H. Рассмотрим произведения Gl Ha Gk Ha элементов некоторой сопряженной совокупности Gl Ha на элементы сопряженнойсовокупности Gk Ha .Мы можем совокупность этих произведений написать в видеGl (Ha Gk )Ha ,Gl Gk Ha Ha .264Гл.
III. Основы теории групп и линейные представления групп [59Элементы Ha и Ha содержатся в нормальном делителе H, ито же самое можно сказать и об их произведении. Таким образом,предыдущие произведения мы можем написать в видеGl Gk Ha .Все элементы этого вида заключаются в одной и той же сопряженной совокупности (41), а именно в той сопряженной совокупности, к которой принадлежит элемент Gl Gk . Нетрудно такжепоказать, что мы получим таким образом все элементы этой сопряженной совокупности. Короче говоря, если подгруппа есть нормальный делитель, то перемножение одной сопряженной совокупности на другую дает также некоторую сопряженную совокупность.Будем рассматривать каждую из сопряженных совокупностей какнекий новый элемент, причем первую из сопряженных совокупностей в схеме (41), (38) будем считать единичным элементом. Предыдущий результат об умножении сопряженных совокупностей дастнам правила умножения этих новых, введенных нами элементов,причем, как нетрудно проверить, что мы предоставляем сделатьчитателю, это правило умножения удовлетворяет всем условиям,которые требуются для образования группы, т.
е. введенные нами новые элементы при указанном правиле перемножения самиобразуют группу, в которой первая из сопряженных совокупностей схемы играет роль единичного элемента. Эта новая группа,порядок которой равен индексу нормального делителя H, называется дополнительной к H группой, или фактор-группой относительно H.Всякая группа G имеет два тривиальных делителя: один состоитиз одного единичного элемента и другой совпадает со всей группой.В дальнейшем, говоря о нормальном делителе, мы будем считать, что он отличен от упомянутых двух тривиальных нормальных делителя.Такая группа называется простой.59. Примеры.
1. Рассмотрим группу G вещественных ортогональных преобразований в трехмерном пространстве. Пусть H — подгруппа движения, т. е.совокупность ортогональных преобразований с определителем (+1). Пусть, далее, S есть симметрия относительно начала, определяемая формулой (37). Если59]§ 5. Основы общей теории групп265Ha есть переменный элемент из H, то полная группа G может быть представлена по схеме:Ha , SHa или Ha , Ha S.(43)Если G1 есть любое преобразование из G, то G1 Ha G−1имеетопредели1тель (+1), т. е. принадлежит H, и H есть нормальный делитель индекса два.Рассмотрим группу, дополнительную к H. Первой из совокупностей (43) соответствует единичный элемент E этой группы.
Произведение двух элементов извторой совокупности, т. е. двух ортогональных преобразований с определителем (−1), дает ортогональное преобразование с определителем (+1), котороепринадлежит первой совокупности. Если K — элемент, соответствующий второй совокупности, то из сказанного следует, что K 2 = E. Итак, дополнительнаяк H группа состоит из двух элементов E и K, и K 2 = E, т.
е. это есть циклическая группа порядка два. Это будет вообще иметь место при нормальныхделителях индекса два.2. Для симметрической группы перестановок знакопеременная группа будет нормальным делителем индекса два.Выпишем элементы симметрической группы с тремя элементами и обозначим каждый из них одной буквой, пользуясь обозначениями из [55]:E; A = (2, 3); B = (1, 2); C = (1, 3); D = (1, 3, 2); F = (1, 2, 3).Знакопеременная группа, состоящая из перестановок E, D и F , будет циклической группой третьего порядка (F = D 2 и D = F 2 ), причем D 3 = F 3 = E.
Всясимметрическая группа состоит из трех классов: I E; II A, B и C; III D и F .Знакопеременная группа также состоит из трех классов: I E; II D; III F .Нетрудно проверить, что закон умножения для элементов рассматриваемойсимметрической группы совпадает с тем законом, который определяется таблицей (34) из [56].Знакопеременная группа при n = 4 содержит 12 элементов, которые распределяются на четыре класса:I E; II A1 = (1, 2) (3, 4); A2 = (1, 3) (2, 4); A3 = (1, 4) (2, 3);III B1 = (1, 2, 3); B2 = (2, 1, 4);B3 = (3, 4, 1); B4 = (4, 3, 2);IV C1 = (1, 2, 4);C2 = (2, 1, 3) :C3 = (3, 4, 2);C4 = (4, 3, 1).Второй класс содержит три элемента второго порядка, а третий и четвертый классы — по четыре элемента третьего порядка.
Произведение двух элементов второго класса дает, как нетрудно проверить, опять элемент второго класса, и, поскольку все элементы второго порядка попали во второй класс, можноутверждать, что эти три элемента совместно с единичным элементом образуютнормальный делитель рассматриваемой знакопеременной группы. Порядок егоравен четырем, а индекс — трем. Легко проверить, что элементы Bi третьегокласса попадут в одну из сопряженных совокупностей элементов по указанномунормальному делителю, а элементы Ci — в другую сопряженную совокупность.Далее нетрудно проверить, что произведение двух элементов третьего классадает некоторый элемент четвертого класса, а произведение двух элементов четвертого класса дает элемент третьего класса.
В дополнительной группе указанному нормальному делителю соответствует единичный элемент E. Пусть A и266Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [59B — два других элемента дополнительной группы. Из сказанного выше непосредственно следует, что A2 = B и B 2 = A, и непосредственно очевидно, чтодополнительная группа, состоящая из элементов E, A и A2 , причем A3 = E,есть циклическая группа третьего порядка.Отметим, что элементы E (1, 2, 3) и (2, 1, 3) нашей основной знакопеременной группы образуют циклическую подгруппу третьего порядка, но этаподгруппа не является элементарным делителем.Если мы пронумеруем вершины тетраэдра в каком-либо порядке, то легконепосредственно проверить, что указанная выше знакопеременная группа приn = 4 соответствует тем вращениям, при которых тетраэдр переходит в себя.Всякая перестановка определяет переход одних вершин в другие.
Перестановкам третьего класса соответствует вращение вокруг одной из осей тетраэдрана угол 2π, а перестановкам четвертого класса — вращения в противоположном3направлении вокруг тех же осей и на тот же угол. Так, например, перестановкам (1, 2, 3) и (2, 1, 3) соответствуют вращения вокруг оси, проходящей черезвершину с номером 4. Перестановкам второго класса соответствуют такие вращения тетраэдра, при которых ни одна из вершин не остается неизменной.Можно доказать, что знакопеременная группа при n > 4 является простой.3. Если имеется абелева группа G и ее какая-либо подгруппа H, то прилюбом выборе элементов Ha из H и G1 из G мы имеем G1 Ha = Ha G1 , т. е.G1 Ha G−11 = Ha , откуда непосредственно видно, что H есть нормальный делитель, т.
е. всякая подгруппа абелевой группы есть ее нормальный делитель. Вкачестве примера рассмотрим группу G сложения векторов в Rn , о которой мыговорили в [49].В качестве подгруппы H возьмем векторы, принадлежащие некоторомуподпространству Lk из Rn (0 < k < n). Сопряженные совокупности получаютсяпутем добавления к какому-либо вектору x из Rn всех векторов подпространства Lk .Если x принадлежит Lk , то сопряженная совокупность совпадает с подгруппой H.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
