1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 49
Текст из файла (страница 49)
В данном случае a = l, d = 1l и b = c = 0. Подставляяэто в формулы (72), мы получим как раз преобразование (76), еслиl удовлетворяет условиямl21+ 2 = u;22l1l2− 2 = −vu.22l√2Это дает непосредственно l = u ± u2 − 1. Второе из условийпоказывает, что при v > 0 надо брать корень для l2 , меньший единицы, а при v < 0 — больший единицы, и при этом второе условиебудет выполняться.
Извлекая корень, получаем для l два значения, отличающихся лишь знаком. Мы можем, таким образом, окончательно утверждать, что группа линейных преобразований (70) сопределителем единица гомоморфна группе положительных преобразований Лоренца, причем этот гомоморфизм осуществляетсяформулами (72). Как и в предыдущем номере, этот гомоморфизмне будет изоморфизмом, т. е. различные преобразования (70) могут приводить к одному и тому же преобразованию Лоренца. Из65]§ 6.
Линейные представления групп285формул (72) непосредственно вытекает, что тождественное преобразование в группе Лоренца получается от двух линейных преобразований с матрицами−11 00 = −E,; S=E=0 −10 1и совершенно так же, как и в предыдущем номере, можно показать,что всякое преобразование из группы Лоренца может быть получено лишь из двух линейных преобразований (70), коэффициентыкоторых отличаются только знаком.Совершенно так же, как и в [63], элементы E и (−E) образуют нормальный делитель H группы линейных преобразований сопределителем единица, и группа положительных преобразованийЛоренца изоморфна дополнительной к H группе.Линейные преобразования (70) содержат четыре комплексныхкоэффициента, связанных условием (75).
Таким образом, формулы (72) содержат три произвольных комплексных параметра, или,иначе говоря, шесть произвольных вещественных параметров.§ 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП65. Представление группы линейными преобразованиями. Пусть G — некоторая группа с элементами Gα , и положим,что каждому элементу Gα соответствует определенная матрица Aα ,причем все матрицы Aα имеют один и тот же порядок и их определители отличны от нуля.
Положим далее, что это соответствиетаково, что всякому произведению Gα2 Gα1 соответствует матрицаAα2 Aα1 , которая является произведением Aα2 и Aα1 . В этом случае говорят, что матрицы Aα или соответствующие им линейныепреобразования дают линейное представление группы G. ПустьG0 — единичный элемент группы и A0 — соответствующая матрица. Поскольку G0 Gα = Gα , мы должны иметь A0 Aα = Aα , откуда,умножая справа на A−1α , имеем A0 = I, т. е.
единичному элементудолжна соответствовать единичная матрица. Пусть Gα1 и Gα2 —обратные элементы и Aα1 и Aα2 — соответствующие матрицы. Из286Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [65равенства Gα2 · Gα1 = G0 следует Aα2 Aα1 = I, т. е. обратным элементам соответствуют и обратные матрицы. Из предыдущего непосредственно следует, что матрицы Aα (или соответствующие линейные преобразования) образуют группу A, гомоморфную группе G.Если различным элементам G соответствуют и различные матрицы, то A будет не только гомоморфна, но и изоморфна G. В этомслучае говорят, что она дает биоднозначное линейное представление группы G.Если это не так, то совокупность элементов G, которым соответствует единичная матрица в A, образует нормальный делительгруппы G, и группа A будет изоморфна дополнительной к этомунормальному делителю группе [57].Если основная группа G сама есть группа линейных преобразований, то, очевидно, она сама и дает одно из возможных своихлинейных представлений.Сделаем одно замечание по поводу данного определения линейного представления.Пусть нам известно, что всякому элементу Gα соответствуетопределенная матрица Aα , причем произведению элементов соответствует произведение матриц, но неизвестно, будут ли определители матриц Aα отличны от нуля.
Покажем, что если один определитель D(Aα0 ) равен нулю, то и все D(Aα ) равны нулю. Действительно, совокупность матриц Aα0 Aα при переменном α содержит все матрицы, соответствующие элементам группы [56]. НоD(Aα0 Aα ) = D(Aα0 )D(Aα ), и произведение равно нулю, так какпервый множитель по условию равен нулю. Таким образом, имеязакон соответствия, при котором произведению соответствует произведение, нам достаточно проверить, что один из определителейD(Aα ) отличен от нуля; например, достаточно проверить, что единичному элементу из G соответствует единичная матрица из A.Пусть X — некоторая матрица того же порядка, что и матрицыAα , с определителем, отличным от нуля. Мы имеем:(XAα2 X −1 )(XAα1 X −1 ) = XAα2 Aα1 X −1 ,и, следовательно, матрицы XAα X −1 также дают линейное представление нашей группы G.
Такие два подобных представления называются обычно эквивалентными представлениями. Положим,65]§ 6. Линейные представления групп287что порядок матриц Aα равен n и что (x1 , . . . , xn ) суть составляющие вектора в n-мерном пространстве, над которым совершаютсяпреобразования Aα , так что группа A будет:x = Aα x.(77)Эквивалентное линейное представлениеy = XAα X −1 y,(78)как мы знаем [25], имеет тот смысл, что в упомянутом пространстве вводятся новые оси, причем новые составляющие выражаютсячерез прежние по формулам(y1 , . .
. , yn ) = X(x1 , . . . , xn ).(79)При этих новых осях линейные преобразования пространствабудут уже выражаться по формулам (78), т. е. эквивалентные линейные представления могут быть получены в результате простойзамены координатных осей согласно формулам (79). Назовем переменные (x1 , . . . , xn ), входящие в формулы (77), объектами линейного представления. Переход к эквивалентному линейному представлению равносилен, таким образом, замене объектов линейныхпредставлений другими при помощи некоторого линейного преобразования (79) с определителем, отличным от нуля.Пусть имеется линейное представление группы G при помощиматриц Aα порядка n и другое линейное представление той жегруппы при помощи матриц Bα порядка m.
Составим квазидиагональные матрицы порядка (n + m):Aα 0 (80)[Aα , Bα ] = 0 Bα .Согласно правилу перемножения квазидиагональных матриц,мы имеем:[Aα2 , Bα2 ][Aα1 , Bα1 ] = [Aα2 Aα1 , Bα2 Bα1 ].Таким образом, матрицы (80) также дают некоторое линейноепредставление группы G.
Вообще, имея несколько представлений288Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [65группы G при помощи матриц Aα , Bα , Cα , мы можем составить иновое представление, пользуясь квазидиагональной матрицейAα 00(81)Dα = [Aα , Bα , Cα ] = 0 Bα 0 . 00 Cα Заметим теперь, что если мы перейдем к эквивалентному представлению при помощи матриц XDα X −1 , то квазидиагональныйхарактер матриц, вообще говоря, нарушится, и по виду этого нового представления нельзя уже будет сразу сказать, что оно с точностью до эквивалентного представления составлено из других представлений с меньшим числом измерений по закону (81). Если нашелинейное представление Dα имеет чисто квазидиагональный вид(80), то оно распадается на несколько линейных представлений Aαи Bα с меньшим числом измерений, т.
е. с матрицами меньшегопорядка. В этом случае линейное представление называется приведенным. Если некоторое линейное представление Eα не имеет квазидиагонального вида, но некоторое эквивалентное ему представление XEα X −1 имеет такой вид, то представление Eα называетсяприводимым. Наконец, если не только само представление, но ивсе эквивалентные ему представления не имеют квазидиагонального вида, т. е. не являются приведенными, то такое представлениеназывается неприводимым представлением.Отметим некоторые условия, при наличии которых можноутверждать, что представление будет приводимым.
Пусть линейное представление состоит из матриц Aα порядка n, которые даютлинейные преобразования с переменными (x1 , x2 , . . . , xn ). Предположим, что все матрицы Aα — унитарные и что подпространствоR , образованное первыми k ортами, переходит само в себя в результате преобразования Aα , т. е. если xk+1 = xk+2 = .
. . = xn = 0,то и xk+1 = xk+2 = . . . = xn = 0. Иначе говоря, все матрицы Aαимеют вид Aα Nα (82) 0 Aα ,где Aα — некоторая матрица порядка k, Aα — некоторая матрицапорядка (n − k), и в левом нижнем углу, имеющем (n − k) строк и k65]§ 6. Линейные представления групп289столбцов, стоят везде нули. Рассмотрим пространство R , образованное последними (n − k) ортами. Оно будет состоять из векторов,ортогональных ко всем векторам подпространства R , указанноговыше. Так как каждое преобразование Aα переводит подпространство R в себя и в силу унитарности сохраняет свойство ортогональности векторов, то всякий вектор подпространства R должен в результате преобразования Aα перейти в вектор, также принадлежащий этому подпространству.
Иначе говоря, если x1 = . . . = xk = 0,то и x1 = . . . = xk = 0. Отсюда непосредственно следует, что в матрицах (82) и все элементы, стоящие в правом верхнем углу, имеющем k строк и (n−k) столбцов, также должны быть все равны нулю,т.
е. матрицы рассматриваемого линейного представления будут: Aα 0 0 Aα = [Aα , Aα ],и, следовательно, представление будет приведенное. Положим теперь, что все унитарные преобразования Aα оставляют вообще инвариантным некоторое подпространство R1 , измерения k (k < n),где n — порядок матриц Aα . Преобразуем координатные оси так,чтобы подпространство R1 было образовано первыми k ортами, чторавносильно переходу к эквивалентному линейному представлениюи может быть осуществлено при помощи унитарного преобразования.
После такого преобразования в силу предыдущего представление окажется приведенным. Мы имеем, таким образом, следующуютеорему:Т е о р е м а. Если линейное представление группы состоит изунитарных матриц, и эти матрицы оставляют неизменнымнекоторое подпространство, то такое представление есть приводимое представление.Вопрос о приводимости или неприводимости представления тесно связан с вопросом о переходе от матриц Aα к подобным матрицам XAα X −1 . Отметим некоторые частные случаи перехода к эквивалентным представлениям, которые получаются при специальном выборе матрицы X. Построим матрицу X, у которой в первойстроке на втором месте стоит единица, а на других местах нули; вовторой строке стоит на первом месте единица, а на остальных местах нули, и, начиная с третьей строки, стоят на главной диагонали290Гл.
III. Основы теории групп и линейные представления групп [65единицы, а на остальных местах нули, т. е.0 1 0 0 . . . 01 0 0 0 . . . 00 0 1 0 . . . 0X =0 0 0 1 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 0 . . . 1 Непосредственно разлагая, начиная с последней строки, увидим, что D(X) = −1. Применяя обычные правила умножения матриц, нетрудно проверить, что если Y есть некоторая матрица, топодобная матрица XY X −1 будет получаться из Y взаимной перестановкой первой и второй строки, а также первого и второгостолбца.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
