1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Закончив основы общейтеории групп, мы переходим теперь к рассмотрению некоторогочастного примера соответствия между группами, играющего важную роль в физике. Предварительно выясним понятие о стереографической проекции, дающей определенный закон соответствиямежду точками сферы и плоскости.Рассмотрим трехмерное пространство с координатными осями XY Z и сферу C с центромв начале и радиусом единица.Пусть S — точка сферы, имеющая координаты (0, 0, −1), иM — переменная точка на сфере(рис. 3).
Прямая SM пересечетплоскость XY в некоторой точке P , и мы имеем таким образомвполне определенный закон соответствия между точками сферыC и точками плоскости XY , приРис. 3.чем точке сферы S с координатами (0, 0, −1) соответствует бесконечно далекая точка плоскости.Установленное соответствие точек и дает нам стереографическуюпроекцию сферы на плоскость.272Гл.
III. Основы теории групп и линейные представления групп [62Обратимся теперь к выводу формул, дающих стереографическую проекцию. Пусть M N — перпендикуляр из точки M на ось Z.Мы имеем из подобия треугольников, принимая во внимание, чтоSO = 1:N M = (1 + ON ) OP.(46)Обозначая через (x, y, z) координаты точки M и через (α, β)координаты P , сможем написать:N M = (1 + z) OP,или, проектируя параллельные отрезки OP и N M на оси X и Y :x = (1 + z)α;y = (1 + z)β.(47)Уравнение x2 + y 2 + z 2 = 1 дает нам квадратное уравнениедля z:(α2 + β 2 )(1 + z)2 + z 2 = 1,и, решая его, получим:z=±1 − (α2 + β 2 ).1 + (α2 + β 2 )Но для всех точек (α, β) на конечном расстоянии мы должныиметь z > −1, и, следовательно, в предыдущей формуле мы должны брать (+1).
Пользуясь еще формулами (47), получим окончательные выражения (x, y, z) через (α, β):x=2α;1 + α2 + β 2y=2β;1 + α2 + β 2z=1 − (α2 + β 2 ).1 + α2 + β 2(48)Вместо двух вещественных координат α и β на плоскости введемодну комплексную координату ζ = α + iβ. Обозначая, как всегда,через ζ комплексное число, сопряженное с ζ, мы можем переписатьпредыдущие формулы в следующем виде:x + iy =2ζ;1 + ζζx − iy =2ζ;1 + ζζz=1 − ζζ.1 + ζζ(49)63]§ 5.
Основы общей теории групп273Представим комплексное переменное ζ в виде отношения двухдругих комплексных ξ и η:ζ=η.ξ(50)Пары значений ξ и η, отличающиеся общим множителем, т. е.пары вида kξ, kη и ξ, η, будут давать одно и то же ζ, т. е. одну иту же точку плоскости, и пара значений η = 0, ξ = 0 будет даватьбесконечно далекую точку плоскости. Комплексные числа ξ и η называются однородными комплексными координатами на плоскости.Формулы (49) мы можем, пользуясь (50) и отделяя вещественнуюи мнимую части, переписать в видеx=ξη + ξη;ξξ + ηηy=1 ξη − ξη;i ξξ + ηηz=ξξ − ηη.ξξ + ηη(51)Для любых комплексных значений ξ и η последние формулыдают вещественные (x, y, z), удовлетворяющие соотношениюx2 + y 2 + z 2 − 1 = 0,(511 )как это и следовало ожидать, ибо точка (x, y, z) находится наединичной сфере.63.
Унитарная группа и группа движения. Рассмотрим теперь некоторое унитарное преобразование над переменными (ξ, η):ξ = aξ + bη, η = cξ + dη,(52)причем в силу унитарности должно быть:ξ ξ + η η = ξξ + ηη.(53)Новые значения переменных (ξ , η ) дадут нам и новую точку насфере:x =ξ η + ξ η ξ ξ + η η ;1 ξ η − ξ ηy =;i ξ ξ + η ηz =ξ ξ − η ηξ ξ + η η.(54)274Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [63Определитель унитарного преобразования (52), равный, как известно, по модулю единице, будет выражаться некоторым числомϕвида eiϕ .
Умножая все коэффициенты преобразования (52) на e−i 2 ,получим унитарное преобразование с определителем единица. Ноϕпри этом ξ и η умножатся также на e−i 2 . Этот дополнительныймножитель совершенно не повлияет на величину ζ. Мы можем, таким образом, ограничиться рассмотрением унитарных преобразований (52) при условии, что определитель преобразования равенединице, т. е.ad − bc = 1.(55)Даже при этом ограничительном условии два преобразования,коэффициенты которых отличаются знаком, дадут нам значения ξ и η , отличающиеся знаком, и мы придем при обоих этих преобразованиях к одной и той же точке ζ .Если мы подставим в формулы (54) вместо ξ и η их выражения(52) и примем во внимание условие (53), то увидим, пользуясь (51),что переменные (x , y , z ) выразятся в виде линейных однородныхполиномов через (x, y, z).
В силу (53) знаменатель в выражениях(51) и (54) оказывается одинаковым, и переменные (x, y, z) испытывают то же самое линейное преобразование, какое испытываютвыраженияu = ξη + ξη;v=1(ξη − ξη);iw = ξξ − ηη(56)при унитарном преобразовании (52). Дальше мы установим точновид этого линейного преобразования.Установим прежде всего общий вид унитарных преобразований(52) с определителем единица.
Обычные условия унитарности даютнам [28]:ac + bd = 0; cc + dd = 1.Умножая условие (55) на c и пользуясь первым из написанныхусловий, получим:−bdd − bcc = c,откуда в силу второго условия будем иметь c = −b или c = −b,и совершенно аналогично можно показать, что d = a. Мы можем,63]§ 5. Основы общей теории групп275таким образом, написать все унитарные преобразования с определителем, равным единице, в следующем видеξ = aξ + bη,(57)η = −bξ + aη,где a и b — любые комплексные числа, удовлетворяющие условиюaa + bb = 1.(58)Составим теперь выражения (56) с новыми переменнымиu + iv = 2ξ η ;u − iv = 2ξ η ;w = ξ ξ − η η ,или, пользуясь (57):u + iv = a2 2ξη − b2 2ξη − 2ab(ξξ − ηη),u − iv = −b2 2ξη + a2 2ξη − 2ab(ξξ − ηη),w = ab2ξη + ab2ξη + (aa − bb)(ξξ − ηη).Производя замену2ξη = u + iv;2ξη = u − iv;ξξ − ηη = wи складывая и вычитая первые два уравнения, получим выражения(u , v , w ) через (u, v, w), или, что то же, выражения (x , y z )через (x, y, z):⎫1⎪⎪x = (a2 + a2 − b2 − b2 )x+⎪⎪2⎪⎪⎪⎪i 222⎪+ (a + b2 − a − b )y − (ab + ab)z, ⎪⎪⎪2⎬i 2(59)222y = (a + b − a − b )x+⎪⎪2⎪⎪⎪⎪1 2222⎪+ (a + a + b + b )y + i(ab − ab)z, ⎪⎪⎪2⎪⎪⎭z = (ab + ab)x + i(ab − ab)y + (aa − bb)z.276Гл.
III. Основы теории групп и линейные представления групп [63Всякому унитарному преобразованию (57) соответствует некоторое преобразование плоскости XY , а это, в свою очередь, в силусоответствия, устанавливаемого стереографической проекцией, дает некоторое преобразование сферы.В соответствии с этим (59) есть вещественное преобразование,в силу которого уравнениеx2 + y 2 + z 2 = 1переходит в уравнениеx2 + y 2 + z 2 = 1.Но линейное однородное преобразование (59) не меняет свободного члена 1, и, следовательно, оно должно оставлять неизменнойи левую часть уравнения, т.
е.x2 + y 2 + z 2 = x2 + y 2 + z 2 .Все эти обстоятельства можно непосредственно получить и изсамого вида преобразования (59). Итак, формулы (59) дают вещественные ортогональные преобразования с тремя переменными.Покажем теперь, что определитель преобразования (59) всегда равен (+1). Этот определитель есть непрерывная функция вещественных и мнимых частей комплексных переменных a и b, которыедолжны удовлетворять соотношению (58).
Но величина определителя может быть только (+1) или (−1), и в силу упомянутой вышенепрерывности эта величина должна быть все время (+1) или всевремя (−1). Но при a = 1 и b = 0 формулы (59) дают нам тождественное преобразование с определителем (+1), т. е. действительноопределитель преобразования (59) всегда равен (+1). Итак, линейные преобразования (59) представляют собою вращение пространства вокруг начала.Докажем теперь, что всякое вращение пространства может бытьпредставлено в виде (59).
Если мы положим:ia = e− 2 ϕ ;ia = e 2 ϕ;b = b = 0,63]§ 5. Основы общей теории групп277т. е. возьмем матрицу унитарного преобразования −iϕe 20 ,Aϕ = i0e 2 ϕ(60)то формулы (59) дадут нам:⎫x = x cos ϕ − y sin ϕ,⎪⎬y = x sin ϕ + y cos ϕ,⎪⎭z = z,(61)т.
е. мы получим вращение вокруг оси Z на угол ϕ.Если теперь возьмем:a = a = cosψ;2b = −i sinψ;2b = i sinψ,2т. е. матрицу унитарного преобразования определим следующимобразом: cos ψ−i sin ψ2 2,Bψ = (62)−i sin ψcos ψ 22то формулы (59) дадут нам:⎫x = x,⎪⎬y = y cos ψ − z sin ψ,⎪⎭z = y sin ψ + z cos ψ.(63)Это будет вращение вокруг оси X на угол ψ.Но, как мы знаем [20], всякое вращение с углами Эйлера{α, β, γ} может быть получено в результате поворота вокруг Zна угол α, последующего поворота вокруг новой оси X на угол β ипоследующего затем поворота вокруг новой оси Z на угол γ.Обозначим через Zϕ матрицу третьего порядка, соответствующую преобразованию (61), и через Xψ — матрицу преобразования(63). Поворот вокруг оси Z на угол α будет осуществляться матрицей Zα .
При этом новая ось X получится из прежней оси X припомощи этой же матрицы, и поворот вокруг новой оси X на угол β278Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [63будет осуществляться, как нетрудно видеть, матрицей Zα Xβ Zα−1 , ипервые два поворота осуществляются матрицейZα Xβ Zα−1 Zα = Zα Xβ .Как и выше, поворот вокруг новой оси Z на угол γ будет осуществляться матрицей(Zα Xβ ) Zγ (Zα Xβ )−1 ,и окончательно вращение {α, β, γ} будет осуществляться матрицей(Zα Xβ )Zγ (Zα Xβ )−1 (Zα Xβ )илиZα Xβ Zγ .(64)В предыдущих рассуждениях мы пользовались тем очевиднымфактом, что если Zϕ есть матрица, дающая вращение вокруг некоторой оси l, проходящей через начало, на угол ϕ, и матрица Mпереводит l в ось l1 , то вращение вокруг l1 на угол ϕ будет определяться подобной матрицей:M Zϕ M −1 .Заметим теперь, что если A1 и A2 — два унитарных преобразования (57), которым соответствуют ортогональные преобразования(59) U1 и U2 , то произведению A2 A1 будет, очевидно, соответствовать также произведение U2 U1 .
Таким образом, вращение пространства {α, β, γ} будет получаться в силу (64) от унитарной матрицы,являющейся произведением трех унитарных матриц: α −i γe−i 2 0 e 2 0 cos β2 −i sin β2 .γ··(65)α β0ei 2 cos β2 0ei 2 −i sin 2Итак, всякому унитарному преобразованию соответствует определенное вращение трехмерного пространства, и таким образом получаются все вращения. Произведению двух унитарных преобразований будет соответствовать произведение соответствующих вращений. Мы можем сказать, что формулы (59) определяют гомоморфизм группы унитарных преобразований с определителем единицас группой вращения трехмерного пространства.63]§ 5. Основы общей теории групп279Посмотрим теперь, какие унитарные преобразования дают тождественное преобразование, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
