Главная » Просмотр файлов » 1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143

1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 47

Файл №824740 1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (Курс высшей математики. В 5-ти т. Т. 3 Ч1 Смирнов В. И. 2010) 47 страница1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740) страница 472021-01-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

Закончив основы общейтеории групп, мы переходим теперь к рассмотрению некоторогочастного примера соответствия между группами, играющего важную роль в физике. Предварительно выясним понятие о стереографической проекции, дающей определенный закон соответствиямежду точками сферы и плоскости.Рассмотрим трехмерное пространство с координатными осями XY Z и сферу C с центромв начале и радиусом единица.Пусть S — точка сферы, имеющая координаты (0, 0, −1), иM — переменная точка на сфере(рис. 3).

Прямая SM пересечетплоскость XY в некоторой точке P , и мы имеем таким образомвполне определенный закон соответствия между точками сферыC и точками плоскости XY , приРис. 3.чем точке сферы S с координатами (0, 0, −1) соответствует бесконечно далекая точка плоскости.Установленное соответствие точек и дает нам стереографическуюпроекцию сферы на плоскость.272Гл.

III. Основы теории групп и линейные представления групп [62Обратимся теперь к выводу формул, дающих стереографическую проекцию. Пусть M N — перпендикуляр из точки M на ось Z.Мы имеем из подобия треугольников, принимая во внимание, чтоSO = 1:N M = (1 + ON ) OP.(46)Обозначая через (x, y, z) координаты точки M и через (α, β)координаты P , сможем написать:N M = (1 + z) OP,или, проектируя параллельные отрезки OP и N M на оси X и Y :x = (1 + z)α;y = (1 + z)β.(47)Уравнение x2 + y 2 + z 2 = 1 дает нам квадратное уравнениедля z:(α2 + β 2 )(1 + z)2 + z 2 = 1,и, решая его, получим:z=±1 − (α2 + β 2 ).1 + (α2 + β 2 )Но для всех точек (α, β) на конечном расстоянии мы должныиметь z > −1, и, следовательно, в предыдущей формуле мы должны брать (+1).

Пользуясь еще формулами (47), получим окончательные выражения (x, y, z) через (α, β):x=2α;1 + α2 + β 2y=2β;1 + α2 + β 2z=1 − (α2 + β 2 ).1 + α2 + β 2(48)Вместо двух вещественных координат α и β на плоскости введемодну комплексную координату ζ = α + iβ. Обозначая, как всегда,через ζ комплексное число, сопряженное с ζ, мы можем переписатьпредыдущие формулы в следующем виде:x + iy =2ζ;1 + ζζx − iy =2ζ;1 + ζζz=1 − ζζ.1 + ζζ(49)63]§ 5.

Основы общей теории групп273Представим комплексное переменное ζ в виде отношения двухдругих комплексных ξ и η:ζ=η.ξ(50)Пары значений ξ и η, отличающиеся общим множителем, т. е.пары вида kξ, kη и ξ, η, будут давать одно и то же ζ, т. е. одну иту же точку плоскости, и пара значений η = 0, ξ = 0 будет даватьбесконечно далекую точку плоскости. Комплексные числа ξ и η называются однородными комплексными координатами на плоскости.Формулы (49) мы можем, пользуясь (50) и отделяя вещественнуюи мнимую части, переписать в видеx=ξη + ξη;ξξ + ηηy=1 ξη − ξη;i ξξ + ηηz=ξξ − ηη.ξξ + ηη(51)Для любых комплексных значений ξ и η последние формулыдают вещественные (x, y, z), удовлетворяющие соотношениюx2 + y 2 + z 2 − 1 = 0,(511 )как это и следовало ожидать, ибо точка (x, y, z) находится наединичной сфере.63.

Унитарная группа и группа движения. Рассмотрим теперь некоторое унитарное преобразование над переменными (ξ, η):ξ = aξ + bη, η = cξ + dη,(52)причем в силу унитарности должно быть:ξ ξ + η η = ξξ + ηη.(53)Новые значения переменных (ξ , η ) дадут нам и новую точку насфере:x =ξ η + ξ η ξ ξ + η η ;1 ξ η − ξ ηy =;i ξ ξ + η ηz =ξ ξ − η ηξ ξ + η η.(54)274Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [63Определитель унитарного преобразования (52), равный, как известно, по модулю единице, будет выражаться некоторым числомϕвида eiϕ .

Умножая все коэффициенты преобразования (52) на e−i 2 ,получим унитарное преобразование с определителем единица. Ноϕпри этом ξ и η умножатся также на e−i 2 . Этот дополнительныймножитель совершенно не повлияет на величину ζ. Мы можем, таким образом, ограничиться рассмотрением унитарных преобразований (52) при условии, что определитель преобразования равенединице, т. е.ad − bc = 1.(55)Даже при этом ограничительном условии два преобразования,коэффициенты которых отличаются знаком, дадут нам значения ξ и η , отличающиеся знаком, и мы придем при обоих этих преобразованиях к одной и той же точке ζ .Если мы подставим в формулы (54) вместо ξ и η их выражения(52) и примем во внимание условие (53), то увидим, пользуясь (51),что переменные (x , y , z ) выразятся в виде линейных однородныхполиномов через (x, y, z).

В силу (53) знаменатель в выражениях(51) и (54) оказывается одинаковым, и переменные (x, y, z) испытывают то же самое линейное преобразование, какое испытываютвыраженияu = ξη + ξη;v=1(ξη − ξη);iw = ξξ − ηη(56)при унитарном преобразовании (52). Дальше мы установим точновид этого линейного преобразования.Установим прежде всего общий вид унитарных преобразований(52) с определителем единица.

Обычные условия унитарности даютнам [28]:ac + bd = 0; cc + dd = 1.Умножая условие (55) на c и пользуясь первым из написанныхусловий, получим:−bdd − bcc = c,откуда в силу второго условия будем иметь c = −b или c = −b,и совершенно аналогично можно показать, что d = a. Мы можем,63]§ 5. Основы общей теории групп275таким образом, написать все унитарные преобразования с определителем, равным единице, в следующем видеξ = aξ + bη,(57)η = −bξ + aη,где a и b — любые комплексные числа, удовлетворяющие условиюaa + bb = 1.(58)Составим теперь выражения (56) с новыми переменнымиu + iv = 2ξ η ;u − iv = 2ξ η ;w = ξ ξ − η η ,или, пользуясь (57):u + iv = a2 2ξη − b2 2ξη − 2ab(ξξ − ηη),u − iv = −b2 2ξη + a2 2ξη − 2ab(ξξ − ηη),w = ab2ξη + ab2ξη + (aa − bb)(ξξ − ηη).Производя замену2ξη = u + iv;2ξη = u − iv;ξξ − ηη = wи складывая и вычитая первые два уравнения, получим выражения(u , v , w ) через (u, v, w), или, что то же, выражения (x , y z )через (x, y, z):⎫1⎪⎪x = (a2 + a2 − b2 − b2 )x+⎪⎪2⎪⎪⎪⎪i 222⎪+ (a + b2 − a − b )y − (ab + ab)z, ⎪⎪⎪2⎬i 2(59)222y = (a + b − a − b )x+⎪⎪2⎪⎪⎪⎪1 2222⎪+ (a + a + b + b )y + i(ab − ab)z, ⎪⎪⎪2⎪⎪⎭z = (ab + ab)x + i(ab − ab)y + (aa − bb)z.276Гл.

III. Основы теории групп и линейные представления групп [63Всякому унитарному преобразованию (57) соответствует некоторое преобразование плоскости XY , а это, в свою очередь, в силусоответствия, устанавливаемого стереографической проекцией, дает некоторое преобразование сферы.В соответствии с этим (59) есть вещественное преобразование,в силу которого уравнениеx2 + y 2 + z 2 = 1переходит в уравнениеx2 + y 2 + z 2 = 1.Но линейное однородное преобразование (59) не меняет свободного члена 1, и, следовательно, оно должно оставлять неизменнойи левую часть уравнения, т.

е.x2 + y 2 + z 2 = x2 + y 2 + z 2 .Все эти обстоятельства можно непосредственно получить и изсамого вида преобразования (59). Итак, формулы (59) дают вещественные ортогональные преобразования с тремя переменными.Покажем теперь, что определитель преобразования (59) всегда равен (+1). Этот определитель есть непрерывная функция вещественных и мнимых частей комплексных переменных a и b, которыедолжны удовлетворять соотношению (58).

Но величина определителя может быть только (+1) или (−1), и в силу упомянутой вышенепрерывности эта величина должна быть все время (+1) или всевремя (−1). Но при a = 1 и b = 0 формулы (59) дают нам тождественное преобразование с определителем (+1), т. е. действительноопределитель преобразования (59) всегда равен (+1). Итак, линейные преобразования (59) представляют собою вращение пространства вокруг начала.Докажем теперь, что всякое вращение пространства может бытьпредставлено в виде (59).

Если мы положим:ia = e− 2 ϕ ;ia = e 2 ϕ;b = b = 0,63]§ 5. Основы общей теории групп277т. е. возьмем матрицу унитарного преобразования −iϕe 20 ,Aϕ = i0e 2 ϕ(60)то формулы (59) дадут нам:⎫x = x cos ϕ − y sin ϕ,⎪⎬y = x sin ϕ + y cos ϕ,⎪⎭z = z,(61)т.

е. мы получим вращение вокруг оси Z на угол ϕ.Если теперь возьмем:a = a = cosψ;2b = −i sinψ;2b = i sinψ,2т. е. матрицу унитарного преобразования определим следующимобразом: cos ψ−i sin ψ2 2,Bψ = (62)−i sin ψcos ψ 22то формулы (59) дадут нам:⎫x = x,⎪⎬y = y cos ψ − z sin ψ,⎪⎭z = y sin ψ + z cos ψ.(63)Это будет вращение вокруг оси X на угол ψ.Но, как мы знаем [20], всякое вращение с углами Эйлера{α, β, γ} может быть получено в результате поворота вокруг Zна угол α, последующего поворота вокруг новой оси X на угол β ипоследующего затем поворота вокруг новой оси Z на угол γ.Обозначим через Zϕ матрицу третьего порядка, соответствующую преобразованию (61), и через Xψ — матрицу преобразования(63). Поворот вокруг оси Z на угол α будет осуществляться матрицей Zα .

При этом новая ось X получится из прежней оси X припомощи этой же матрицы, и поворот вокруг новой оси X на угол β278Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [63будет осуществляться, как нетрудно видеть, матрицей Zα Xβ Zα−1 , ипервые два поворота осуществляются матрицейZα Xβ Zα−1 Zα = Zα Xβ .Как и выше, поворот вокруг новой оси Z на угол γ будет осуществляться матрицей(Zα Xβ ) Zγ (Zα Xβ )−1 ,и окончательно вращение {α, β, γ} будет осуществляться матрицей(Zα Xβ )Zγ (Zα Xβ )−1 (Zα Xβ )илиZα Xβ Zγ .(64)В предыдущих рассуждениях мы пользовались тем очевиднымфактом, что если Zϕ есть матрица, дающая вращение вокруг некоторой оси l, проходящей через начало, на угол ϕ, и матрица Mпереводит l в ось l1 , то вращение вокруг l1 на угол ϕ будет определяться подобной матрицей:M Zϕ M −1 .Заметим теперь, что если A1 и A2 — два унитарных преобразования (57), которым соответствуют ортогональные преобразования(59) U1 и U2 , то произведению A2 A1 будет, очевидно, соответствовать также произведение U2 U1 .

Таким образом, вращение пространства {α, β, γ} будет получаться в силу (64) от унитарной матрицы,являющейся произведением трех унитарных матриц: α −i γe−i 2 0 e 2 0 cos β2 −i sin β2 .γ··(65)α β0ei 2 cos β2 0ei 2 −i sin 2Итак, всякому унитарному преобразованию соответствует определенное вращение трехмерного пространства, и таким образом получаются все вращения. Произведению двух унитарных преобразований будет соответствовать произведение соответствующих вращений. Мы можем сказать, что формулы (59) определяют гомоморфизм группы унитарных преобразований с определителем единицас группой вращения трехмерного пространства.63]§ 5. Основы общей теории групп279Посмотрим теперь, какие унитарные преобразования дают тождественное преобразование, т. е.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,98 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6432
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее