Главная » Просмотр файлов » 1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143

1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 50

Файл №824740 1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (Курс высшей математики. В 5-ти т. Т. 3 Ч1 Смирнов В. И. 2010) 50 страница1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740) страница 502021-01-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 50)

Точно так же всякая перестановка строк, сопровождаемаятакой же перестановкой столбцов, равносильна переходу к некоторой подобной матрице с помощью преобразования X, котороене зависит, очевидно, от матрицы Y . Таким образом, если мы вовсех матрицах Aα , дающих некоторое линейное представлениегруппы, совершим одну и ту же перестановку строк и столбцов,то это будет равносильно переходу к эквивалентному представлению.Если можно распределить целые числа 1, 2, . .

. , n на двакласса так, что на пересечении любой строки каждой матрицы Aα с номером из одного класса с любым столбцом с номером из другого класса стоит нуль, то такое представление будет приводимым. Действительно, чтобы совершить его приведение, т. е. сделать его приведенным, достаточно переставить строки и столбцы так, чтобы строки и столбцы одного класса стоялисплошь сверху и слева, а строки и столбцы другого класса — снизуи справа.В заключение настоящего номера отметим еще тот случай, когда линейное представление группы G будет первого порядка, т. е.когда все матрицы Aα будут матрицами первого порядка, иначеговоря, обыкновенными числами. В этом случае каждому элементу Gα нашей группы соответствует преобразование x = mα x, или,проще говоря, число mα , и произведению G2 G1 соответствует обычное произведение чисел m2 m1 .66]§ 6.

Линейные представления групп29166. Основные теоремы. Пусть имеется конечная группа G,содержащая m элементов G1 , . . . , Gm , и пусть A1 , . . . , Am — матрицы некоторого порядка n, которые дают линейное представление этой группы. Объекты этого представления обозначим черезx (x1 , . . . , xn ). Рассмотрим выражениеϕ(x1 , . . .

, xn ) =m|As x|2 .(83)s=1В раскрытом виде это будет выражениеϕ=m n(s)(s)(s)(s)(ai1 x1 + . . . + ain xn )(ai1 x1 + . . . + ain xn ),(84)s=1 i=1(s)где через aik мы обозначили элементы матрицы As . Нетрудно проверить, что выражение (84) будет формой Эрмита, т. е. в этом выражении коэффициенты при xp xq и xp xq суть комплексные сопряженные числа. Кроме того, из формулы (83) следует, что эта формаЭрмита представляет собою сумму квадратов длин некоторых векторов, т.

е. это будет определенно положительная форма Эрмита[40]. Иначе говоря, совершая некоторое унитарное преобразованиеy = U x,приводящее нашу форму к сумме квадратовϕ=nλj y j yj ,j=1мы будем иметь все коэффициентыλj положительными. Совершаяеще преобразование zj = λj yj , в новых переменных будем иметьдля нашей формы Эрмита ϕ выражение в виде суммы чистых квадратов:ϕ = z 1 z1 + .

. . + z n zn .(85)Совершим над переменными (x1 , . . . , xn ) некоторое преобразованиеx = Ak x,(86)292Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [66принадлежащее к линейному представлению нашей группы.Нетрудно видеть, что при этом форма Эрмита ϕ не изменится. Действительно:ϕ(x1 , . . . , xn ) =m|As Ak x|2 .s=1Но, как мы знаем [56], совокупность преобразований (матриц)A1 Ak , A2 Ak , . .

. , Am Akсовпадает с совокупностью матрицA1 , A2 , . . . , Am ;поэтому, если мы выразим преобразование (86) в новых переменных(z1 , . . . , zn ), которые связаны с прежними формулами вида(z1 , . . . , zn ) = B0 (x1 , . . . , xn ),где B0 — некоторая матрица, то вместо группы Ak получим подобную группу B0 Ak B0−1 , и все преобразования этой подобной группы не будут менять выражения (85), т. е. не будут менять суммыквадратов модулей, и, следовательно, будут все унитарными преобразованиями. Мы показали, таким образом, для случая конечныхгрупп, что всякое линейное представление эквивалентно некоторому унитарному представлению, т. е.

представлению, состоящему изунитарных преобразований. При некоторых дополнительных условиях это свойство сохраняется и при линейных представлениях бесконечных групп, зависящих от параметров, и в дальнейшем, когдабудем говорить о линейном представлении группы, мы будем подразумевать всегда унитарное представление. Мы имеем, таким образом, следующую теорему:Т е о р е м а I.

Всякое линейное представление группы (конечной) имеет эквивалентное унитарное представление.Выведем теперь необходимое и достаточное условие приводимости линейного представления. Введем предварительно один новыйтермин, а именно назовем диагональную матрицу [k, . . . , k], содержащую на диагонали одинаковые элементы, кратной единичной66]§ 6. Линейные представления групп293матрице. Такую матрицу можно обозначить в виде kI. Как мывидели выше, в отношении алгебраических операций она эквивалентна числу k.Положим теперь, что у нас имеется приводимое линейное представление некоторой группы. Такое представление осуществляется,например, матрицами видаDa = X[Aa , Ba , Ga ]X −1 ,где X — некоторая матрица и внутренняя матрица квазидиагональна.

Составим матрицуY = X[kI, lI, mI]X −1 ,где средний квазидиагональный член имеет ту же конструкцию,что и в матрицах Da . Нетрудно видеть, что матрица Y коммутируетсо всеми матрицами Da . Действительно:Da Y = X[Aa k, Ba l, Ca m]X −1и точно так жеY Da = X[kAa , lBa , mCa ]X −1 .Но при умножении любой матрицы на число порядок множителей не играет роли.

Кроме того, если числа k, l и m различны, чтомы и предполагаем, то матрица Y не кратна единичной матрице.Действительно, она имеет, очевидно, различные характеристические числа k, l и m. Таким образом мы приходим к следующейтеореме:Т е о р е м а II. Если линейное представление приводимо, то существует матрица, отличная от кратной единичной матрицы икоммутирующая со всеми матрицами, входящими в упомянутоеприводимое линейное представление.Покажем теперь, что имеет место и обратная теорема, т.

е.:Т е о р е м а III. Если существует матрица Y , отличная откратной единичной матрицы и коммутирующая со всеми матрицами Da линейного представления, то такое линейное представление будет приводимым.294Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [66Итак, по условию теоремы мы имеем для любого значка a:Da Y = Y Da .(87)Пусть Z — такая матрица, с определителем, отличным от нуля,что все матрицы ZDa Z −1 унитарны: ZDa Z −1 = Ua . Перепишемпредыдущее равенство в видеZ −1 Ua ZY = Y Z −1 Ua Z.Умножая слева на Z и справа на Z −1 , получим:Ua (ZY Z −1 ) = (ZY Z −1 )Ua ,т.

е. матрица ZY Z −1 коммутирует со всеми матрицами унитарногопредставления. Эта матрица, очевидно, не кратна единичной, ибоесли ZY Z −1 = kI, то и Y = kI. Нам достаточно доказать приводимость эквивалентного линейного представления Ua . Таким образом доказательство нашей теоремы свелось к тому случаю, когдалинейное представление унитарно. Мы будем для простоты письма считать, что само линейное представление, состоящее из матрицDa , унитарно.Пусть λ1 — некоторое характеристическое число матрицы Y .Матрица λ1 = λ1 I, как известно [25], коммутирует с любой матрицей и, следовательно, матрица Y − λ1 I так же, как и Y , удовлетворяет условиям (87), т. е.

коммутирует со всеми матрицами Da .Нетрудно видеть, что по крайней мере одно из характеристическихчисел матрицы Y1 = Y − λ1 I будет равно нулю. Действительно,характеристическое уравнение для матрицы Y1 будет:D(Y1 − λI) = D[Y − (λ + λ1 )I] = 0,т. е. оно получается из характеристического уравнения для Y заменой λ на (λ + λ1 ), и так как среди характеристических чиселматрицы Y было характеристическое число, равное λ1 , то средихарактеристических чисел Y1 будет хоть одно, равное нулю. Следовательно, определитель матрицы Y1 , равный произведению ее характеристических чисел, также будет равен нулю.

Мы можем, таким образом, при доказательстве нашей теоремы предполагать все66]§ 6. Линейные представления групп295матрицы Da унитарными, и определитель матрицы Y , входящей вформулы (87), равным нулю.Рассмотрим совокупность векторов, имеющих составляющие:⎫x1 = y11 u1 + y12 u2 + . .

. + y1n un , ⎪⎪⎪x2 = y21 u1 + y22 u2 + . . . + y2n un , ⎬(88)................................. ⎪⎪⎪⎭xn = yn1 u1 + yn2 u2 + . . . + ynn un ,где us принимают любые значения и где yik — элементы матрицыY . Поскольку определитель матрицы Y равен нулю, ранг таблицы||yjk || будет меньше n.

Пусть он равен некоторому числу r < n. Вэтом случае, как мы знаем [16], формулы (88) определяют некоторое подпространство R измерения r.Рассмотрим левую часть равенства:Da Y u = Y Da u.(89)Вектор Y u имеет как раз составляющие (88) и, следовательно,Da Y u есть результат применения преобразования Da к некоторому произвольному вектору из подпространства R .

В правой частиформулы (89) мы имеем результат применения преобразования Y квектору Da u, т. е. составляющие правой части выражаются тоже поформулам (88), где только вместо u1 , . . . , un поставлены составляющие векторы Da u, т. е. правая часть формулы (89) представляетсобою вектор, принадлежащий подпространству R . Таким образом, мы видим, сравнивая левую часть с правой, что применениепреобразования Da к любому вектору из подпространства R дает вектор, также принадлежащий этому подпространству.

Но, какмы знаем [65], если унитарные преобразования оставляют инвариантным некоторое подпространство, то они образуют приводимоепредставление, и таким образом теорема доказана.Теоремы II и III показывают, что необходимым и достаточным условием неприводимости линейного представления является тот факт, что не существует матрицы, отличной от матрицы вида kI, которая коммутировала бы со всеми матрицами,входящими в линейное представление.296Гл. III.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,98 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6552
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее