1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 53

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 53)

. . . . . . . . . . . . . . ,0 1 . . . 0 01 0 . . . 0 0то дело сведется к перестановке строк и столбцов в обратном порядке, т. е. в данном случае к замене l и s на (−l) и (−s). Такимобразом, вместо формул (105) мы можем написать другие формулы:Dj {α,β, γ}ls = il−sk(j + l)!(j − l)!(j + s)!(j − s)!×(−1)k!(j − k + s)!(j − l − k)!(k − s + l)!k11× eilα+isγ cos2j−l−2k+s β sin2k−s+l β, (106)22причем, пользуясь теми же соображениями, что и в [68], мы можемотбросить множитель il−s .Отметим простейшие частные случаи.

При j = 0 мы имеем линейное представление первого порядкаη = η.Это есть тривиальное тождественное представление. При j = 12мы имеем 2j + 1 = 2, и величины η− 12 и η 12 будут просто равны x2и x1 , т. е. в данном случае унитарная группа (93) и является своимсобственным линейным представлением (с точностью до перестановки строк и столбцов).310Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [69Для группы движения получим двузначное представление второго порядка, определяемое матрицами − 1 i(γ+α)1e 2cos 12 β ie 2 i(γ−α) sin 12 β D1 {α, β, γ} = 11ie− 2 i(γ−α) sin 1 β e 2 i(γ+α) cos 1 β .222При j = 1 мы будем иметь линейное представление третьегопорядка: −i(γ+α) 1+cos βe2sin βD1 {α, β, γ} = e−iγ √2 −i(γ−α) 1−cos βe2√β−e−iα sin2cos β√βeiα sin2βei(γ−α) 1−cos2√β−eiγ sin.2i(γ+α) 1+cos β e2Линейные представления Dj {α, β, γ} при целом j дают биоднозначное представление группы вращения.

Это следует непосредственно из того, что каждому Dj {α, β, γ} соответствуютдве матрицы из группы (93), отличающиеся лишь знаками у aи b, а таким же матрицам, как мы упоминали выше, соответствует одно и то же вращение. Если j — половина нечетного числа, то каждому вращению соответствуют две матрицы из представления Dj {α, β, γ}, отличающиеся лишь знаком.

В частности, тождественному преобразованию из группы вращения соответствуют из Dj {α, β, γ} матрицы ±E, где E — единичная матрица порядка (2j + 1). Если ограничиться преобразованиями изDj {α, β, γ}, достаточно близкими к тождественному преобразованию, то Dj {α, β, γ} будут однозначным представлениемгруппы вращения. При этом в общих формулах (106) можно ограничиться значениями α, δ и γ, достаточно близкими к нулю. Ноесли мы прибавим 2π к α или γ, то ввиду того, что s и l суть половины нечетных чисел, все элементы матрицы Dj {α, β, γ} изменят знак, и мы получим второе представление того же самого по существу вращения.

Покажем дальше, что указанные представления суть изоморфные неприводимые представления группывращения.Так как представления Dj {α, β, γ} суть все неприводимыепредставления группы вращения, то матрица D1 {α, β, γ} должна быть подобна матрице D{α, β, γ}, соответствующей вращению70]§ 6. Линейные представления групп311пространства с углами Эйлера {α, β, γ}. В [63] мы видели, чтоD = Zα Xβ Zγ , и, производя перемножение матриц, стоящих слева,получим:cos α cos γ − sin α cos β sin γD = sin α cos γ + cos α cos β sin γsin β sin γ− cos α sin γ − sin α cos β cos γ− sin α sin γ + sin α cos β cos γsin β cos γsin α sin β − cos α cos β ,cos βи нетрудно проверить формулуAD1 {α, β, γ}A−1 = D{α, β, γ},где101−iA= i √0.02i 0 70. Теорема о простоте группы вращения.

Докажем сейчас, что группа вращения есть простая группа, т. е. что она неимеет нормальных делителей [58]. Если бы такой делитель имелся, то в силу сказанного в [63] ему соответствовал бы нормальныйделитель группы G преобразований (57) с определителем единица,отличный от нормального делителя H, состоящего из E и (−E). Таким образом, остается показать, что группа G не имеет нормальныхделителей, отличных от H, т. е. надо показать, что если элементарный делитель H1 группы G содержит матрицу A, отличную от E и(−E), то H1 совпадает с G. Отметим прежде всего, что если H1 содержит некоторую матрицу B, то, в силу определения нормальногоделителя, H1 содержит все матрицы U −1 BU , где U — любая матрица группы G.

Выбирая соответствующим образом матрицу U , мыможем получить таким путем любую матрицу группы G, имеющуюте же характеристические числа, что и матрица B. Следовательно,чтобы установить, что H1 совпадает с G, достаточно показать, чтоH1 содержит матрицы с любыми допустимыми характеристическими числами.

Эти числа должны иметь вид eiω и e−iω , где ω — вещественное число, ибо матрица унитарна, и ее определитель равенединице.В силу сказанного выше, мы можем вместо матрицы A взятьматрицу U −1 AU и, таким образом, можем считать, что A есть диагональная матрица.312Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [70Итак, дано, что H1 содержит матрицу A = [eiϕ , e−iϕ ], где ϕ —вещественно, и eiϕ = ±1. При этом A−1 = [e−iϕ , eiϕ ].

Возьмемпроизвольную матрицу группы G: x yU =−y x (xx + yy = 1).При этомU−1x −y.=yxПоскольку подгруппа H1 содержит A и является нормальным делителем, она должна содержать и матрицу:Y = A(U A−1 U −1 ).Производя перемножение матриц и учитывая равенство xx+yy = 1,получим следующее выражение следа s матрицы Y :s = 2 − 4yy sin2 ϕ = 2 − 4ρ2 sin2 ϕ,где ρ = |y| может принимать любое значение из промежутка:0 ρ 1, и sin ϕ = 0. Характеристические числа (eiα , e−iα ) матрицы Y суть корни уравнения:λ2 − sλ + 1 = 0,т. е. λ2 + (4ρ2 sin2 ϕ − 2)λ + 1 = 0.При изменении ρ от ρ = 0 до ρ = 1 значения α будут изменяться отα = 0 до α = 2ϕ. Введем следующее обозначение:Uβ = [eiβ , e−iβ ].Из сказанного выше следует, что H1 содержит все матрицы Hα при0 α 2ϕ.

Теперь уже нетрудно показать, что H содержит любуюматрицу Uβ (β > 0). Действительно, выберем целое положительноечисло n так, чтобы выполнялось неравенство 0 < nβ < 2ϕ. При этомH1 содержит U β , а потому содержит иnU nβ = Uβ .n71]§ 6. Линейные представления групп313Таким образом, H1 содержит матрицы с любыми характеристическими числами и тем самым, в силу сказанного выше, совпадаетс G.

Таким образом доказано, что группа вращения есть простаягруппа.Из этого непосредственно следует, что группа вращения не может иметь гомоморфных (не изоморфных) представлений. Действительно, если бы имелось такое представление, то тождественному преобразованию в группе представлений должны были бы соответствовать в группе вращений преобразования, образующие нормальный делитель, которого, как показано выше, не существует.71. Уравнение Лапласа и линейные представления группы вращения. Выясним сейчас связь между линейными представлениями групп и дифференциальными уравнениями. Эта связь лежит в основе применения линейных представлений к вопросам современной физики.

Мы начнем с наиболее простого случая уравнения Лапласа [II, 202], который не даст нам ничего нового и послужит лишь выяснению общего вопроса. Предварительно установимнекоторые общие факты, которые играют большую роль в вопросах линейных представлений групп и которые в частных случаяхуже известны нам из предыдущих примеров.Пусть группа G, линейное представление которой строится, естьгруппа линейных преобразований порядка n:(α)(α)xk = gk1 x1 + . . . + gkn xn(k = 1, 2, .

. . , n),(107)где значок α, характеризующий элемент группы G, пробегает конечную или бесконечную совокупность значений. Положим далее,что существует m функцийϕs (x1 , . . . , xn ) (s = 1, 2, . . . , m),(108)таких, что при замене независимых переменных по формулам (107)эти функции испытывают также некоторое линейное преобразование(α)ϕs (x1 , . . . , xn ) = as1 ϕ1 (x1 , . . .

, xn ) + . . . + a(α)sm ϕm (x1 , . . . , xn )(s = 1, 2, . . . , m).(109)314Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [71(α)Мы имеем здесь матрицу Aα с элементами aik , соответствующую преобразованию (107) группы G. Рассмотрим два преобразования группы(x1 , . . . , xn ) = Gα1 (x1 , . . . , xn ); (x1 , . . . , xn ) = Gα2 (x1 , .

. . , xn );Gα3 = Gα2 Gα1 .Соответствующее преобразование функций (108) будет:(α )(α1 )ϕs (x1 , . . . , xn ) = as1 1 ϕ1 (x1 , . . . , xn ) + . . . + asmϕm (x1 , . . . , xn )(1101 )и(α )(α2 )ϕs (x1 , . . . , xn ) = as1 2 ϕ1 (x1 , . . . , xn ) + . . . + asmϕm (x1 , . .

. , xn ).(1102 )Подставляя в (1102 ) вместо ϕs (x1 , . . . , xn ) их выражения (1101 ),будем иметь непосредственную зависимость ϕs (x1 , . . . , xn ) черезϕs (x1 , . . . , xn ), дающую матрицу Aα3 . Мы получим таким образом{Aα3 }ik =m(α ) (α )ais 2 ask 1 , т. е. Aα3 = Aα2 Aα1 ,s=1и формулы (109) определяют, очевидно, некоторое линейное представление порядка m для группы G. В предыдущих рассужденияхмы считали, что функции ϕs линейно независимы.

При этом линейные преобразования (109) определяются вполне однозначно иD(Aα ) = 0, ибо в противном случае ϕs (x1 , . . . , xn ) были бы связаны линейной зависимостью.В частном случае, при построении линейных представленийунитарной группы, роль функций ϕs играли функции (961 ).Положим, что G есть группа вращения трехмерного пространства, так что n = 3, и положим, что функции ϕs ортогональны инормированы в некотором шаре K с центром в начале, т.

е.ϕp (x1 , x2 , x3 )ϕq (x1 , x2 , x3 )dx1 dx2 dx3 = δpq .(111)KПокажем, что при этом линейное представление (109) группывращения будет унитарным. Действительно, в результате вращения71]§ 6. Линейные представления групп315Gα сфера K перейдет в себя, и определитель Gα , как известно,равен единице. Условие (111) дает нам:ϕp (x1 , x2 , x3 )ϕq (x1 , x2 , x3 )dx1 dx2 dx3 = δpq ,Kили в силу (109): mK(α)api ϕi (x1 ,x2 , x3 )·i=1m(α)aqj ϕj (x1 ,x2 , x3 ) dx1 dx2 dx3 = δpq .j=1Переходя к переменным (x1 , x2 , x3 ), мы должны будем, согласно правилу замены переменных в тройном интеграле, заменитьпросто dx1 dx2 dx3 на dx1 dx2 dx3 и затем интегрировать по тому жесамому шару K. В силу условий (111) мы получим:m(α) (α)api aqi = δpq(p, q = 1, 2, . .

. , m),i=1где, как всегда, δpq = 0 при p = q и δpp = 1, т. е. каждая из матрицA обладает в данном случае свойством ортогональности по строкам, так что транспонированная матрица будет обладать ортогональностью по столбцам, а следовательно [28], и по строкам, т. е.основная матрица будет обладать ортогональностью и по строками по столбцам, или, иначе говоря, матрица Aα будет действительноунитарной матрицей для любого значка α.Рассмотрим теперь уравнение Лапласа с двумя переменными∂2U∂2U+=0∂x2∂y 2(112)или, пользуясь векторными обозначениями,div grad U = 0.(113)Возьмем однородный полином от x и y степени l:ϕl (x, y) = a0 xl + a1 xl−1 y + . . .

Характеристики

Список файлов книги