1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 55
Текст из файла (страница 55)
, γn ];B = [δ1 , . . . , δm ].В этом случае aik = 0 и bjl = 0 при i = k и j = l, и, следовательно, согласно (121), cij;kl отлично от нуля только, если пара чисел(i, j) совпадает с парой чисел (k, l), т. е. если матрица C такжебудет диагональной. На ее главной диагонали будут стоять всевозможные произведения чисел γk на числа δl . Если все γk и все δlравны единице, то C будет также единичной матрицей. Мы имеем,таким образом, следующую теорему:Т е о р е м а I.
Прямое произведение двух диагональных матрицесть диагональная матрица, и прямое произведение двух единичных матриц есть единичная матрица.Докажем также следующую теорему:Т е о р е м а II. Если A(1) и A(2) — две матрицы одного и тогоже порядка n, а B (1) и B (2) — две матрицы также одного и тогоже порядка m, то имеет место формула(A(2) × B (2) )(A(1) × B (1) ) = A(2) A(1) × B (2) B (1) .(123)322Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [72Заметим, что когда мы пишем две матрицы одного и того жепорядка рядом, без всякого знака, то это, как всегда, обозначаетобычное произведение этих двух матриц.
Обозначая элементы матриц соответствующими малыми буквами с двумя значками внизу,мы имеем, согласно определению прямого произведения:(t) (t){A(t) × B (t) }ij;kl = aik bjl(t = 1, 2),и, пользуясь правилом обычного умножения матриц, получим дляэлементов левой части равенства (123) следующие формулы:dij;kl =mn (2) (2) (1) (1)(124)aip bjq apk bql .p=1 q=1Покажем, что те же формулы получаются и для элементов правой части. Мы имеем по определению обычного умножения:{A(2) A(1) }ik =n(2) (1)aip apk ;{B(2)B(1)}jl =p=1m(2) (1)biq bql ,q=1и по определению прямого произведения:dij;kl =n(2) (1)aip apk ·p=1m(2) (1)bjq bqi ,q=1что и совпадает с (124). Перейдем теперь к доказательству последней теоремы о прямом произведении.Т е о р е м а III.
Если матрицы A и B унитарны, то и их прямоепроизведение C = A × B также есть унитарная матрица.По условию теоремы мы имеем:nasp asq = δpq ;s=1mbsp bsq = δpq .(125)s=1Проверим для матрицы C условия ортогональности и нормальности по столбцам и обозначим:mn i=1 j=1cij;p1 q1 cij;p2 q2 = δp1 q1 ;p2 q2 ,73]§ 6. Линейные представления групп323т. е.
в силу (121):δp1 q1 ;p2 q2 =mn aip1 aip2 bjq1 bjq2 =i=1 j=1naip1 aip2i=1mbjq1 bjq2 . (126)j=1Если пары чисел (p1 , q1 ) и (p2 , q2 ) различны, то хоть один измножителей, стоящих в правой части (126), будет равен нулю, аесли эти пары совпадают, оба множителя равны единице в силу(125). Таким образом, δp1 q1 ;p2 q2 равно нулю, если упомянутые парыне совпадают, и равно единице, если эти пары совпадают, что идоказывает нашу теорему.Мы можем, очевидно, прямое произведение двух матриц умножить еще, в смысле прямого произведения, на третью матрицу иполучить прямое произведение трех матрицA(1) × A(2) × A(3) .Удерживая прежнее обозначение, мы будем иметь для элементов этой новой матрицы следующие выражения:(1) (2)(3)cikl;i k l = aii akk all ..Аналогичным образом составляется прямое произведение любого конечного числа матриц, причем это прямое произведение представляет собою матрицу, порядок которой равен произведению порядков перемножаемых матриц.
Последовательность множителейне играет роли.73. Композиция двух линейных представлений группы.Пусть имеется некоторая группа G с элементами Gα и положим,что построены два линейных представления этой группы:(α)(α)xi = a1 x1 + . . . + ain xnи(α)(α)yk = bkl y1 + . . . + bkm ym(i = 1, 2, . . . , n),(127)(k = 1, 2, . . . , m),(128)324Гл. III.
Основы теории групп и линейные представления групп [73где значок α пробегает конечную или бесконечную совокупностьзначений. Обозначим через A(α) и B (α) матрицы преобразований(127) и (128) и составим их прямое произведениеC (α) = A(α) × B (α) .(129)Покажем, что матрицы C (α) также дают некоторое линейное представление нашей группы G. Действительно, всякому элементу Gα группы G соответствует матрица C (α) ; произведениюGα2 Gα1 = Gα3 будет соответствовать матрица C (α2 ) C (α1 ) , котораяопределяется в силу (123) формулойC (α2 ) C (α1 ) = (A(α2 )×B (α2 ) )(A(α1 )×B (α1 ) ) = (A(α2 ) A(α1 ) )×(B (α2 ) B (α1 ) ).Но раз матрицы A(α) и B (α) дают линейное представление группы,тоA(α2 ) A(α1 ) = A(α3 ) и B (α2 ) B (α1 ) = B (α3 ) ,и, следовательно:C (α2 ) C (α1 ) = A(α3 ) × B (α3 ) ,т.
е. согласно (129):C (α2 ) C (α1 ) = C (α3 ) .Таким образом, произведению элементов Gα соответствует какраз произведение соответствующих матриц C (α) , и эти матрицыдают новое линейное представление группы G. Заметим при этом,что единичному элементу из G соответствует при этом прямое произведение единичных матриц A(α) и B (α) , т. е. единичная матрицаC (α) .Составим nm произведений xi yk и подвергнем каждый из сомножителей преобразованиям (127) и (128).
Мы будем иметь:(α)(α)(α)(α)xi yk = (ai1 x1 + . . . + ain xn ) · (bk1 y1 + . . . + bkm ym ),или, раскрывая скобки:xi yk =mn p=1 q=1(α)cik;pq xp yq ,где(α)(α) (α)cik;pq = aip bkq ,73]§ 6. Линейные представления групп325т. е. если xi и yk суть объекты в линейных представлениях, определяемых матрицами A(α) и B (α) , то xi yk будут объектами в линейном представлении той же группы, определяемом матрицами C (α) . Если матрицы A(α) и B (α) давали неприводимые линейные представления, то матрица C (α) не обязательно будет даватьнеприводимое линейное представление. В дальнейшем мы подробно рассмотрим тот случай, когда группа G есть группа вращениятрехмерного пространства, а матрицы A(α) и B (α) суть различныенеприводимые линейные представления этой группы, построенныенами в [69].
Покажем, что в этом случае произведениеDj1 {α, β, γ} × Dj2 {α, β, γ}будет приводимым, и определим, из каких неприводимых представлений оно будет состоять.В качестве примера рассмотрим уравнение Шредингера для случая двухэлектронов, находящихся в поле положительного ядра. Это уравнение имеетвид2 2h2 ∂2∂2∂−+ V ψ = Eψ,(130)++22228π m s=1 ∂xs∂ys∂zsгдеV=2−s=1e2 e0x2s + ys2 + zs2+1e2,2 (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2(131)причем постоянные имеют обычные значения.
Второе слагаемое в выраженииV происходит от взаимодействия электронов. Если мы пренебрежем в первомприближении этим взаимодействием, то уравнение будет:(H1 + H2 )ψ = Eψ,гдеHs = −h28π 2 m∂2∂2∂2++∂x2s∂ys2∂zs2−(132)e2 e0x2s+ ys2 + zs2(s = 1, 2).Положим, что отдельные уравнения:H1 ψ = Eψ;H2 ψ = Eψ(133)имеют собственные значения E1 и E2 и соответствующие собственные функцииψ1 (x1 , y1 , z1 )т. е.H1 ψ1 = E1 ψ1 ,иψ2 (x2 , y2 , z2 ),H2 ψ2 = E2 ψ2 .(134)326Гл.
III. Основы теории групп и линейные представления групп [74Если мы подставим в уравнение (132)ψ = ψ1 (x1 , y1 , z1 ) · ψ2 (x2 , y2 , z2 ),то получим, очевидно, в силу (134):(H1 + H2 )ψ = ψ2 H1 ψ1 + ψ1 H2 ψ2 = (E1 + E2 )ψ1 ψ2 = (E1 + E2 )ψ,т. е. уравнение (132) будет иметь собственную функцию ψ1 ψ2 , которой будетсоответствовать значение (E1 +E2 ). Левая часть уравнений (133) содержит оператор Лапласа и расстояние точки до начала координат, и, следовательно, этилевые части не меняются, если мы совершим вращение пространства вокругначала. Может случиться, что характеристическому числу E = E1 в первомиз уравнений (133) соответствует несколько собственных функций ψ1 . Все этифункции, являясь решением уравнения, дадут некоторое линейное представление группы вращения, совершенно так же, как в [69] однородные гармоническиеполиномы давали нам также представление группы вращения.
Пусть это будетнекоторое представление Dj1 {α, β, γ}. Совершенно так же решения второгоиз уравнений (133) при заданном собственном значении E = E2 дадут намнекоторое представление Dj2 {α, β, γ} группы вращения. Произведение ψ1 ψ2 ,согласно предыдущему, даст нам линейное представление группы вращения,совпадающее с прямым произведением Dj1 × Dj2 , и для физической характеристики соответствующего собственного значения (E1 + E2 ) уравнения (132)представляется существенным выделить из этого представления те неприводимые представления, на которые оно распадается. Это обстоятельство играетсущественную роль в теории возмущений.74. Прямое произведение групп и его линейные представления.
Понятие о прямом произведении матриц играет рольи в другом вопросе, к которому мы сейчас и переходим. Пусть имеются две группы G и H, элементы которых обозначим через Gα иHβ , причем значки α и β пробегают, независимо один от другого,вообще говоря, различные совокупности значений. Определим новую группу F , элементы которой определяются как пары элементовиз G и H:Fαβ = (Gα , Hβ ),причем первый элемент пары есть элемент G, а второй — элементH. Назовем единичным элементом этой группы элемент Fαβ в томслучае, когда Gα и Hβ суть единичные элементы из G и H, и аналогичным образом определим обратные элементы из группы F .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
