1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 58
Текст из файла (страница 58)
, xp ):A(s) C(x1 , . . . , xp ) = CB (s) (x1 , . . . , xp ) (s = 1, 2, . . . , m).Слева C(x1 , . . . , xp ) есть произвольный вектор из R, а вся правая часть, представляющая собой линейное преобразование C над векторомB (s) (x1 , . . . , xp ), также принадлежит R. Иначе говоря, преобразование A(s)над любым вектором из R дает опять вектор из R. При этом, как мы знаем [66],A(s) дают приводимое представление, что противоречит условию теоремы.Доказательство это остается в силе и при p > q. Тогда ранг матрицы C вовсяком случае меньше p, и линейные формыci1 x1 + . .
. + ciq xq(i = 1, 2, . . . , p)определяют в пространстве p измерений некоторое подпространство R, с числом измерений < p, так что предыдущее доказательство остается справедливым. Положим, наконец, что p < q, и в условиях (159) перейдем к транспонированным матрицам. Это даст намB (s)∗ C ∗ = C ∗ A(s)∗ .В данном случае порядок q матриц B (s)∗ выше порядка p матриц A(s)∗ , и,как и выше, мы заключаем отсюда, что унитарные матрицы B (s)∗ оставляютинвариантным некоторое пространство, а следовательно, мы можем соответствующим подбором основных ортов привести их к квазидиагональной форме.340Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [76При этом и матрицы B (s) будут квазидиагональными, что противоречит условию теоремы. Таким образом, теорема доказана.Мы могли бы не упоминать в условиях теоремы о том, что матрицы A(s) иB (s) унитарны. Как известно, переходя к подобным представлениям, мы можемвсегда считать A(s) и B (s) унитарными, причем переход к подобным представлениям в соотношениях (159) вводит вместо C новую матрицу C1 , связаннуюс C соотношением видаC = D1 C1 D2 ,если C1 есть нулевая матрица, то такой же будет и C.Обратимся теперь к доказательству формул (157).
Вместо A(s) и B (s) введем обозначения A(Gs ) и B(Gs ), где Gs — тот элемент группы G, которомусоответствуют матрицы A(s) и B (s) . Пусть X — любая матрица, имеющая pстрок и q столбцов. Введем матрицуC=mA(Gs )XB(Gs )−1(160)s=1и покажем, что она удовлетворяет соотношениям (159).Пусть Gt — какой-либо фиксированный элемент группы G. Мы имеем:A(Gt )C =mA(Gt )A(Gs )XB(Gs )−1 .s=1Но в силу определения линейного представленияA(Gt )A(Gs ) = A(Gt Gs )и отсюдаA(Gt )C =mиB(Gt )B(Gs ) = B(Gt Gs ),A(Gt Gs )XB(Gt Gs )−1 B(Gt ).s=1Элемент Gs пробегает всю группу, то же самое можно сказать и о произведении Gt Gs , так что предыдущую формулу можно записать в видеA(Gt )C = CB(Gt ),т.
е. матрица C, определяемая формулой (160), действительно удовлетворяетсоотношениям (159), и, следовательно, эта матрица C есть нулевая матрица.Итак, при любом выборе матрицы X имеем:mA(Gs )XB(Gs )−1 = 0.s=1Положим, что в матрице X некоторый фиксированный элемент {X}jl равенединице, а остальные нулю. Написанная формула дает нам при этомm{A(Gs )}ij {B(Gs )−1 }lk = 0.s=176]§ 6. Линейные представления групп341В силу унитарности матрица B(Gs ) получается из B(Gs )−1 заменой строкстолбцами и всех элементов сопряженными, так что предыдущая формула припрежних обозначениях дает:m(s) (s)s=1aij bkl = 0,что и совпадает с (157).Точно так же строя матрицуD=mA(Gs )XA(Gs )−1 ,s=1где X — любая квадратная матрица порядка p, мы можем показать, чтоA(Gs )D = DA(Gs )(s = 1, 2, .
. . , m),и в силу теоремы III из [66] можно утверждать, что D кратно единичной матрице, илиmA(Gs )XA(Gs )−1 = cl,s=1где число c зависит от выбора X. Положим опять {X}jl = 1, а остальныеэлементы X равными нулю, и обозначим через cjl соответствующее значениечисла c. Мы можем написать:m{A(Gs )}ij {A(Gs )−1 }lk = cjl δik .(161)s=1Для определения cjl положим i = k и будем суммировать по i от 1 до ppcjl =pm {A(Gs )−1 }li {A(Gs )}ij =s=1 i=1m{I}lj .s=1Если l = j, то правая часть равна m, а при l = j она равна нулю. Отсюдаcjl = mδ и, следовательно, формула (161) переписывается в видеp jlm{A(Gs )}ij {A(Gs )−1 }lk =s=1mδik δjl ,p(162)что и совпадает с (158), если воспользоваться унитарностью матриц A(Gs ).Нетрудно видеть, что соотношение (157) имеет место не только для унитарных представлений группы, но и для любых неэквивалентных, неприводимыхпредставлений.
Пусть A (Gs ) и B (Gs ) — два таких представления порядков pи q, а A(Gs ) и B(Gs ) — эквивалентные им унитарные представления, так чтоA(Gs ) = C1 A (Gs )C1−1 ;B(Gs ) = C2 B (Gs )C2−1 ,где C1 и C2 — определенные матрицы, не зависящие от s. В силу унитарностиB(Gs ) имеем:B(Gs )−1 = B(Gs )∗ = (C2−1 )∗ B (Gs )∗ C2∗ ,342Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [77и формула (157) может быть записана в видеms=1C1 A (Gs )C1−1 X(C2−1 )∗ B (Gs )∗ C2∗ = 0,откуда, умножая слева на C1−1 и справа на (C2∗ )−1 и вводя произвольную матрицу Y = C1−1 X(C2−1 )∗ , имеющую p строк и q столбцов:mA (Gs )Y B (Gs )∗ = 0,s=1и пользуясь произвольностью Y , как и выше, получим:ms=1(s) (s)aij bkl = 0.Отметим также, что формула (162) имеет место для любого, а не только дляунитарного представления, что вытекает из ее доказательства и из того, что вформулировке приведенной выше теоремы не нужно упоминать об унитарностиматриц A(s) и B (s) .77.
Характеры. Пусть, как и выше, A(Gs ) и B(Gs ) — два неэквивалентных, неприводимых представления порядков p и q группы G с элементами G1 ,G2 , . . . , Gm . Обозначим через X(Gs ) и X (Gs ) — следы матриц в этих представлениях, т. е. сумму их диагональных элементов:X(Gs ) =p{A(Gs )}ii ;X (Gs ) =i=1q{B(Gs )}kk .k=1Эти числа называются характерами упомянутых представлений. У эквивалентных представлений характеры, очевидно, одинаковы [27], и мы можем считать, что упомянутые представления суть унитарные представления. Формулаортогональности дает:m{A(Gs )}ii {B(Gs )}kk = 0,s=1откуда, суммируя по i и по k, получаем формулу ортогональности для характеров:mX(Gs )X (Gs ) = 0.(163)s=1Точно так же формула (158) дает:m{A(Gs )}ii {A(Gs )}kk =s=1mδikp77]§ 6. Линейные представления групп343и, суммируя по i и k, получимmX(Gs )X (Gs ) = m.(164)s=1Пользуясь этими формулами, докажем некоторые теоремы.Т е о р е м а 1.
Необходимым и достаточным условием эквивалентностидвух неприводимых представлений является совпадение всех их характеров.Мы уже упоминали о том, что характеры у эквивалентных (приводимых или неприводимых) представлений одинаковы, и тем самым необходимость условия установлена. Положим теперь наоборот, что дано совпадениесистемы характеров двух неприводимых представлений, т. е. X(Gs ) = X (Gs )(s = 1, 2, . . . , m), и докажем эквивалентность представлений.
В силу (164)имеем:mX(Gs )X (Gs ) = m,s=1откуда вытекает эквивалентность представлений, ибо если бы они были не эквивалентны, то мы должны были иметь равенство (163). Отметим, что порядокматриц в эквивалентных представлениях должен быть, очевидно, одинаковым.В соответствии с каждым неприводимым представлением введем в m-мерномкомплексном пространстве Rm векторы с составляющими:111√ X(G1 ), √ X(G2 ), .
. . , √ X(Gm ).mmmВ силу (164) эти векторы нормированы и в силу (163) векторы, соответствующие неэквивалентным представлениям, взаимно ортогональны. Отсюда следует, что не может существовать больше чем m неэквивалентных неприводимых представлений группы G порядка m. В дальнейшем мы уточним общеечисло неэквивалентных неприводимых представлений группы. Обозначим покаэто число буквой l.
Пусть ω (i) (i = 1, 2, . . . , l) — эти неэквивалентные неприводимые представления иX (i) (G1 ), X (i) (G2 ), . . . , X (i) (Gm )(i = 1, 2, . . . , l)— характеры этих представлений. Пусть имеется некоторое представление ω схарактерами:X(G1 ), X(G2 ), . . . , X(Gm ).В результате приведения представления ω оно изобразится квазидиагональными матрицами, составленными из матриц представлений ω (i) . Для характеровмы будем иметь таким образом:X(Gs ) =lai X (i) (Gs ),(165)i=1где ai — целые числа, не меньшие нуля, которые показывают, сколько раз представление ω (i) входит в состав представления ω после его приведения.344Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [77Можно указать формулы для определения коэффициентов ai по характерам представления ω.
Пусть k — одно из чисел 1, 2, . . . , l. Умножим обе части(165) на X (k) (Gs ) и просуммируем по s. Пользуясь (163) и (164), получим:mX(Gs )X (k) (Gs ) = ak m,s=1откудаak =m1 X(Gs )X (k) (Gs ).m s=1(166)Эта формула дает для всякого ak определенное значение, откуда вытекает следующая теорема:Т е о р е м а 2.
Всякое приводимое представление распадается на единственную совокупность неприводимых представлений.Пользуясь формулой (166), нетрудно обобщить теорему 1 и на случай любых, а не только неприводимых, представлений.Т е о р е м а 3. Необходимым и достаточным условием эквивалентностидвух представлений является совпадение всех их характеров.Необходимость условия отмечалась и при доказательстве теоремы 1. Наоборот, если характеры X(Gs ) двух представлений одинаковы, то, согласно формулам (166), мы получим одинаковые значения для чисел ak , и оба представления приводятся, следовательно, к квазидиагональной матрице, состоящей изодинаковых неприводимых представлений. При этом, переходя, если нужно, кэквивалентным представлениям, можем считать, что указанные неприводимыепредставления расположены в квазидиагональной матрице в одинаковом порядке, ибо одна и та же перестановка строк и столбцов равносильна переходук эквивалентному представлению.Тем самым представления с одинаковыми характерами приводятся к одними тем же квазидиагональным матрицам, т.
е. они эквивалентны.Перейдем теперь к исследованию числа l всех неприводимых, не эквивалентных между собой представлений группы G. Элементы этой группы распределяются по классам. В один и тот же класс входят те элементы, которыеполучаются из одного из них Gt при помощи формулGs Gt G−1s(s = 1, 2, . . . , m).Всем этим элементам соответствуют в любом представлении подобные матрицы, имеющие одинаковый след. Пусть r — число классов в группе G. В силусказанного выше, всякое линейное представление группы G имеет не большечем r различных характеров, причем каждый характер соответствует не отдельному элементу, а всем элементам, входящим в некоторый класс. Пустькласс C1 состоит из g1 элементов, класс C2 — из g2 элементов и, наконец, классCr — из gr элементов. Слагаемые суммы (163) будут одинаковыми для элементов одного и того же класса и, обозначая через X(Ck ), X (Ck ) — характеры,соответствующие элементам, входящим в класс Ck , для двух неэквивалентных77]§ 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
