1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 61

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 61)

Отметим, что при j = 0 представление (187) совпадает с представлением (185), а при j = 0 оно совпадает с тем представлением, которое получается из (185) при j = j и при заменеa, b, c и d сопряженными величинами. Отметим одну особенностьпредставлений (187). Эти представления не эквивалентны унитарным представлениям. Если бы они были эквивалентны некоторымунитарным представлениям, то все характеристические числа любой матрицы представления должны иметь модуль, равный единице, а выше мы видели, что у представления Ep,q эти характеристические числа при b = c = 0 равны a2l (a)2m и могут быть помодулю, очевидно, отличными от единицы.

Исключением являетсялишь представление E0,0 , которое является тривиальным тождественным представлением, при котором каждому элементу группы(183) соответствует единица.В [66] мы видели, что если некоторое представление, не обязательно эквивалентное унитарному, приводимо, т. е. эквивалентнонекоторому представлению с квазидиагональными матрицами одной и той же структуры, то обязательно существует матрица, отличная от кратной единичной матрицы и коммутирующая со всеми80]§ 6. Линейные представления групп355матрицами представления. Таким образом, для того чтобы доказать, что любое представление (187) не является приводимым, достаточно показать, что если некоторая матрица коммутирует со всеми матрицами представления (187), то эта матрица кратна единичной матрице. Это можно сделать совершенно так же, как и в [68].Итак, преставления (187) попарно неэквивалентны и каждое из нихявляется неприводимым представлением.

Часто пользуются определением приводимости, отличным от того, которое мы привели в[58], а именно представление называют приводимым, если все еголинейные преобразования (пусть их порядок равен n) оставляютинвариантным некоторое подпространство Lk , причем 0 < k < n.Мы видели [58], что если приводимое в этом смысле представление состоит из унитарных матриц, то оно приводимо и в смысле определения из [65], т. е.

эквивалентно некоторому квазидиагональному представлению. Если представление не унитарно, то изинвариантности некоторого подпространства не следует приводимость в смысле определения из [65]. Можно показать, что всякоепредставление (187) группы не только неприводимо в том смысле,как это мы доказали, но что оно не оставляет инвариантным никакое подпространство. Кроме того, можно показать, что всякоелинейное представление группы (183) или эквивалентно одному изпредставлений (187), или эквивалентно представлению, имеющемуприведенную формулу и состоящему из нескольких представлений(187).В [73] мы видели, что композиция двух линейных представлений группы равносильна перемножению объектов тех линейныхпредставлений, которые входят в эту композицию.

Принимая этово внимание, мы можем утверждать, что для представлений (187)объектами представлений являются выраженияxj+k xj−ky j +k y2j −k2ηkk = 1· 1(j + k)!(j − k)!(j + k )!(j − k )!k = j, j − 1, . . . , −j + 1, −j,k = j , j − 1, . . . , −j + 1, −j причем x1 и x2 испытывают преобразование (183), а y1 , y2 — преобразование (184).356Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [81Мы говорили до сих пор о линейных представлениях группы,состоящей из положительных преобразований Лоренца [64].

Этиположительные преобразования составляют лишь часть преобразований Лоренца с определителем, равным единице. Кроме того,имеются преобразования Лоренца и с определителем (−1). Исследование структуры этих более общих множеств преобразований ирасширение линейных представлений группы положительных преобразований Лоренца на случай полной группы Лоренца представляет некоторые особенности по сравнению с группой ортогональных преобразований в трехмерном пространстве. Отметим, что приопределении полной группы Лоренца мы можем поставить требование неизменности в направлении отсчета времени. При этом крассмотренной группе Лоренца надо добавить отражение:x1 = −x1 ; x2 = −x2 ; x3 = −x3 ; x4 = x4 .Исследование всех указанных вопросов можно найти, например, вкниге К а р т а н а «Теория спиноров» (Москва, 1947 г.) и в книге В а н - д е р - В а р д е н а «Метод теории групп в квантовой механике».81.

Теорема о простоте группы Лоренца. Пользуясь методом, аналогичным тому, который мы применили в [70], докажемсейчас, что группа Лоренца есть простая группа. Для этого достаточно показать, что у группы G, состоящей из преобразований(183), нет нормальных делителей, отличных от нормального делителя, состоящего из матриц E и (−E).

Пусть имеем такой нормальный делитель H1 , содержащий матрицуa b A= c d (ad − bc = 1),отличную от E и (−E). Надо доказать, что H1 совпадает с G. ЕслиH1 содержит некоторую матрицу B, то подгруппа H1 содержит ивсе матрицы U −1 BU , где U — любая матрица из G. Принимая вовнимание основной результат о приведении матриц к каноническому виду, а также тот факт, что определитель матрицы U , приводящей какую-либо матрицу к каноническому виду, можно всегда81]§ 6.

Линейные представления групп357считать равным единице [27], мы видим, что достаточно показать,что H1 содержит, во-первых, матрицы с любыми допустимыми различными характеристическими числами t и t−1 , где t — любое комплексное число, отличное от нуля и (+1). Отметим, что произведение характеристических чисел матриц группы G должно равнятьсяединице. Во-вторых, H1 должно содержать матрицы E и (−E), и,кроме того, учитывая случай равных характеристических чисел идвойного элементарного делителя, мы должны еще показать, чтоH1 содержит матрицы: 1 00 и −1(188) 1 −1 . 1 1Возьмем переменную матрицу группы G:x y 2X=z x (x − yz = 1)и составим матрицу:Y = A(XA−1 X −1 ),которая, как и в [70], должна входить в H1 .

Для следа s матрицыY получаем выражениеs = 2 + bz 2 + cy 2 − [(a − d)2 + 2bc]yz.Поскольку A отлична от E и (−E), мы не будем иметь одновременно: b = c = 0 и a = d. Отсюда ясно, что s не есть постоянная, и,меняя z и y, мы можем придавать s любые комплексные значения.Характеристические числа матрицы Y определяются из квадратного уравненияλ2 − sλ + 1 = 0.Таким образом мы можем получать для этих корней любые значения t и t−1 , следовательно, H1 содержит все матрицы с различными характеристическими числами и определителем единица. Далее,H1 , очевидно, содержит E, а также (−E), которое можно представить в виде произведения:−E = [t, t−1 ] · [−t−1 , −t],358Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [82каждый из множителей которого входит в H1 .

Матрицы (188) легкопредставить в виде произведения двух матриц с определителем единица и с различными характеристическими числами, откуда следует, что H1 содержит и эти матрицы. Действительно: 1 0 1 0 β 0 = β· 1 1,1 1 0 β ββ 1−10 β 1 −1 = 0 0 · −β1β β(β = 0 и0−1± 1).βТаким образом доказано, что H1 должно совпадать с G, т. е. G неимеет нормальных делителей, отличных от нормального делителя,состоящего из E и (−E), и тем самым доказано, что группа положительных преобразований Лоренца есть простая группа.

Отсюдаследует, как и в [70], что эта группа не может иметь гомоморфных(не изоморфных) представлений.§ 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ82. Непрерывные группы. Структурные постоянные.Группы вращений трехмерного пространства и группа положительных преобразований Лоренца представляют собою примеры бесконечных групп, элементы которых зависят от параметров, которыемогут меняться непрерывным образом. Для группы вращения рольпараметров могли играть, например, углы Эйлера.

В рассматриваемых случаях группы состоят из линейных преобразований, и зависимость группы от параметров сводится к тому, что элементыматриц, которыми определяются упомянутые линейные преобразования, зависят от этих параметров. В дальнейшем мы будем рассматривать группы линейных преобразований.Положим, что элементы aik матриц линейных преобразований,составляющих некоторую группу G, суть функции r вещественных параметров α1 , α2 , . . . , αr , причем выполнены условия, которые мы сейчас укажем.

Положим, что aik суть однозначныефункции параметров as при всех значениях этих параметров, достаточно близких к нулю, и что нулевым значениям параметров82]§ 7. Непрерывные группы359α1 = α2 = . . . = αr = 0 соответствует единичный элемент группыG, который характеризуется условиями: aik = 0 при i = k и aii = 1.Положим далее, что всякому элементу группы G, достаточно близкому к единичному элементу, соответствуют определенные значения параметров αs , достаточно близкие к нулю. Близость элементагруппы к единичному элементу определяется тем, что элементыaik соответствующих матриц близки к нулю при i = k и к единицепри i = k.

Таким образом, при сделанных предположениях, мы будем иметь биоднозначное соответствие между элементами группыG, находящимися в определенной окрестности единичного элемента, и некоторой окрестностью начала координат r-мерного вещественного пространства Tr . В дальнейшем мы будем иметь не только такое локальное биоднозначное соответствие, но биоднозначноесоответствие в целом, при котором каждому элементу группы Gсоответствует определенная точка пространства Tr , принадлежащая некоторой области V этого пространства, содержащей началовнутри себя, и, наоборот, любой точке из V отвечает определенныйэлемент группы G. Пока нам потребуется лишь указанное вышелокальное соответствие.

Характеристики

Список файлов книги