1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Соотношения (227) совпадают с соотношениями (213), и рассужденияпредыдущего номера остаются, по существу, в силе. Мы применяем написанные соотношения для бесконечно малых преобразований любого линейного представления группы (223). Если vj —собственный вектор оператора A3 , относящийся к наибольшемусобственному значению, то имеется (2j + 1) собственных векторовvk (k = j, j − 1, .
. . , −j + 1, −j) оператора A3 , которые преобразуются операторами A1 , A2 , A3 согласно формулам (221), причемvj+1 = 0 и v−j−1 = 0. Пусть L(j) — подпространство, образованноевсеми собственными векторами оператора A3 , относящимися к собственному значению j. Покажем, что если вектор v принадлежитL(j) , то и векторы Bq v (q = 1, 2, 3) принадлежат L(j) . Действительно, в силу (226):A3 (Bq v) = Bq (A3 v) = Bq (jv) = jBq v,378Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [87откуда и следует, что Bq v есть собственный вектор A3 , соответствующий собственному значению j (или нулевой вектор), т. е. Bq vвходит в L(j) .
В L(j) мы можем повторить наши рассуждения из[85], заменяя операторы Ak операторами Bk . Следовательно, можно построить в L(j) ряд векторов vjk (k = j , j −1, . . . , −j+1, −j ),которые преобразуются согласно формулам (221) при замене j наj и Ak на Bk . Каждый вектор vjk при повторном применении операции A2 дает (2j + 1) векторов vkk (k = j, j − 1, . . . , −j + 1, −j).Таким образом окончательно получается (2j + 1)(2j + 1) векторовvkk , для которых имеют место соотношения:⎫A1 vkk = j(j + 1) − k(k + 1)vk+1,k , ⎪⎪⎪⎪⎪⎪A2 vkk = j(j + 1) − k(k − 1)vk−1,k , ⎪⎪⎪⎪⎬A3 vkk = kvkk ,(229)B1 vkk = j(j + 1) − k (k + 1)vk,k +1 ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪B2 vkk = j(j + 1) − k (k − 1)vk,k −1 ,⎪⎪⎪⎪⎭B3 vkk = k vkk .Эти формулы определяют в пространстве с числом измерений(2j + 1)(2j + 1) операторы Ap и Bq , и согласно формулам (225)определяются операторы Ik , после чего уравнение (204) может приводить лишь к одному линейному представлению группы.
Это естьто представление, которое мы строили в [80].В последних номерах мы следовали изложению, приведенномув книге В а н - д е р - В а р д е н а «Метод теории групп в квантовоймеханике».87. Вспомогательные формулы. Вернемся к формулам из [82]. Мыимеем:G β Gα = G γ ,(230)причем γs выражается через αs и βs согласно формулам (189) или (192), которые определяют основную групповую операцию. Составим матрицу, зависящуюот переменных αs и βs , т. е.
элементов группы Gα и Gβ . Обозначим эту матрицусимволом S(Gβ , Gα ), и элементы ее определим следующими формулами:Sik (Gβ , Gα ) =∂γi∂βk(i, k = 1, 2, . . . , r).(231)87]§ 7. Непрерывные группы379Мы уже рассматривали эту матрицу в [82] при βs = 0, т. е. при Gβ = E, где E —единичный элемент группы. Изучим свойства этой матрицы. Из ее определениянепосредственно следует:S(Gβ , E) = I.(232)Докажем еще формулу:S(Gβ , Gα ) · S(E, Gβ ) = S(E, Gβ Gα ).(233)Положим Gα = Gα Gα , так чтоGγ = Gβ Gα = (Gβ Gα ) Gα = Gδ Gα(Gδ = Gβ Gα ).Применяем правило дифференцирования сложных функцийrr∂γi ∂δs∂γi=·=Sis (Gδ , Gα )Ssk (Gβ Gα ),∂βk∂δs ∂βks=1s=1откудаS(Gβ , Gα Gα ) = S(Gδ , Gα )S(Gβ , Gα ).Положив в этом равенстве Gβ = E, Gα = Gβ и Gα = Gα , получим равенство (233). При Gα = G−1получим выражение матрицы, обратной матрицеβS(E, Gβ ):S −1 (E, Gβ ) = S(Gβ , G−1(234)β ).Матрица S(E, Gβ ) в обозначениях из [82] будет S(βs ) и обратная матрицабудет T (βs ).
Сейчас мы их будем обозначать символами S(Gβ ) и T (Gβ ):S(E, Gβ ) = S(Gβ );Мы имеем:S −1 (E, Gβ ) = T (Gβ ).(235)S(Gβ )T (Gβ ) = T (Gβ )S(Gβ ) = E.(236)S(Gβ , Gα ) = S(E, Gγ )S −1 (E, Gβ ) = S(Gγ )S −1 (Gβ ),(237)Формула (233) дает:и соотношение (231) может быть записано в видеr∂γi=Sis (Gγ )Tsk (Gβ ).∂βks=1(238)Умножая обе части на Tmi (Gγ ) и суммируя по i, получим в силу (236):rTmi (Gγ )i=1∂γi= Tmk (Gβ ).∂βkДифференцируем (238) по βl :rr∂Tsk (Gβ )∂Sis (Gγ ) ∂γp∂ 2 γi=Tsk (Gβ ) +Sis (Gγ ),∂βk ∂βl∂γ∂β∂βlpls,p=1s=1(239)380Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [87откуда, выражая∂ 2 γi=∂βk ∂βl∂γp∂βlrs,p,q=1согласно формуле (238):r∂Tsk (Gβ )∂Sis (Gγ )Spq (Gγ )Tql (Gβ )Tsk (Gβ ) +Sis (Gγ ).∂γp∂βls=1Переставляя в правой части k и l, пользуясь независимостью левой части отпорядка дифференцирования и переставляя переменные суммирования s и q,получим:rs,p,q=1∂Siq (Gγ )∂Sis (Gγ )Spq (Gγ ) −Sps (Gγ ) Tql (Gβ )Tsk (Gβ ) =∂γp∂γp=−∂Tsk (Gβ )∂Tsl (Gβ ).Sis (Gγ )−∂βl∂βks=1rУмножим обе части на произведение Slf (Gβ )Skg (Gβ )Thi (Gγ ) и просуммируемпо i, k и l от 1 до r.
Принимая во внимание (236), получим равносильнуюсистему равенств:r ∂Sif (Gγ )∂Sig (Gγ )Spf (Gγ ) −Sps (Gγ ) Thi (Gγ ) =∂γp∂γpi,p=1=−∂Thk (Gβ )∂Thl (Gβ ).Slf (Gβ )Skg (Gβ )−∂βl∂βkk,l=1rОт этих равенств легко перейти к предыдущим, умножая обе части на произведение Tf l1 (Gβ )Tgk1 (Gβ )Si1 h (Gγ ) и суммируя по f , g и h. В последнемравенстве левая часть зависит только от γs , а правая — только от βs . Такимобразом, ввиду произвольности Gα в формуле (230) и тем самым независимости βs и γs обе части последней формулы должны равняться одной и той жепостоянной, и, в частности:∂Thk (Gβ )∂Thl (Gβ )(h)= Cf g .Slf (Gβ )Skg (Gβ )−∂βl∂βkk,l=1rМеняя значки, можем написать:∂Tpt (Gα )∂Tps (Gα )(p)= −Cik .Sti (Gα )Ssk (Gα )−∂α∂αtss,t=1r(240)Если положим в этом тождестве Gα = E, т.
е. αs = 0 (s = 1, . . . , r), и примемво внимание, что S(E) = E, то получим:∂Tpk (Gα )∂Tpi (Gα )(p)−Cik =.−∂αi∂αk88]§ 7. Непрерывные группы381(p)Сравнивая с формулой (199) из [82], мы видим, что Cik суть структурные постоянные, определенные нами выше. Умножая обе части (240) наTjl (Gα )Tkm (Gα ) и суммируя по i и k, получим в силу (236):r∂Tpl (Gα )∂Tpm (Gα )(p)−=−Cik Til (Gα )Tkm (Gα ).∂αl∂αmi,k=1(241)Вернемся к формулам (207) и (208). Формула (208) получается, как мывидели, путем приравнивания нулю квадратной скобки формулы (207) приαs = 0 (s = 1, . . .
, r). Пользуясь (241), легко показать, что из (208) вытекает,что квадратная скобка формулы (207) равна нулю и при любых α3 .Второе слагаемое этой скобки представим в видеrj,k=1rTjp Tkq Ij Ik −Tjq Tkp Ij Ik ,j,k=1причем мы не выписываем аргумента Gα у T . Заменяя у вычитаемого j на k иk на j, получим:rTjp Tkq (Ij Ik − Ik Ij ) =j,k=1r(s)Tjp Tkq Cjk Is .j,k,s=1Преобразуя первое слагаемое скобки формулы (207):r ∂Tjq∂TjpIj−∂αq∂αpj=1согласно (241), получим непосредственно тот же результат, но с обратным знаком.
Наряду с матрицей S(Gβ , Gα ) рассмотрим матрицу S (Gβ , Gα ), элементыкоторой определяются формулами∂γi= S (Gβ , Gα ).∂αkСовершенно так же, как и выше, можно доказать формулы⎫S (E, Gα ) = I,⎪⎬S (Gβ Gα , E) = S (Gβ , Gα )S (Gα , E),⎪⎭S −1 (Gα , E) = S (G−1α , Gα ),(242)(243)которые нам понадобятся в дальнейшем.88. Построение группы по структурным постоянным. В настоящемномере мы в общих чертах коснемся вопроса о построении групповой операциии группы линейных преобразований по заданным структурным постоянным(p)Gik , которые удовлетворяют соотношениям (1941 ) и (1942 ). Это построениеосновано на одной теореме из теории уравнений с частными производными, окоторой мы упоминали выше. Сформулируем сейчас эту теорему.382Гл.
III. Основы теории групп и линейные представления групп [88Пусть имеется следующая система дифференциальных уравнений с частными производными:∂zi= Xik (x1 , . . . , xn ; z1 , . . . , zm )∂xk(i = 1, 2, . . . , m; k = 1, 2, . . . , n).(244)Напишем, пользуясь этой системой, условие того, что∂ 2 zi∂ 2 zi=.∂xk ∂xl∂xl ∂xkОно имеет, очевидно, видmm ∂Xik ∂zs ∂Xil ∂zs∂Xil∂Xik+·=+·,∂xl∂z∂x∂x∂zs ∂xkslks=1s=1или, заменяя∂zs∂xlи∂zs∂xkправой частью системы (244), получим:mm ∂Xik ∂Xil∂Xil∂Xik+· Xsl =+Xsk∂xl∂z∂x∂zssks=1s=1(k = l).(245)Это равенство является соотношением между переменными xk , zi .(0)Т е о р е м а. Если функции Xik в окрестности значений xk = xk ,(0)zi = zi (и при этих значениях) непрерывны и имеют непрерывные частныепроизводные, которые входят в соотношения (245), и все эти последние соотношения выполняются тождественно относительно xk , zi , то система(244) при начальных условиях(0)zi = zi(0)xk =xkимеет решение и притом единственное.Тождественное выполнение всех соотношений (245) при наличии указанныхусловий непрерывности называется обычно условием полной интегрируемостисистемы (244).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
