1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Опишем теперь схему построений групповой операции и группылинейных преобразований по заданным структурным постоянным.(p)Итак, пусть заданы постоянные Cik , где i, k, p = 1, 2, . . . , r, причем этипостоянные удовлетворяют соотношениям (1941 ) и (1942 ).Если решить систему (241) относительно частных производных, то можно проверить, что упомянутые соотношения являются условиями полной интегрируемости системы (241). Таким образом, существует единственная матрица T (Gα ) с элементами Tpq (Gα ) (p, q = 1, 2, . .
. , r), которая обращаетсяв единичную матрицу при Gα = E, т. е. при αs = 0 (s = 1, 2, . . . , r), иудовлетворяет системе (241). Имея T (Gα ), мы можем построить и обратнуюматрицу S(Gα ) = T −1 (Gα ). Для построения групповой операции обращаемся к системе (238). Правые части этих уравнений — известные функции βs и89]§ 7. Непрерывные группы383γs (s = 1, 2, . .
. , r). Можно проверить, что система (241) выражает условияполной интегрируемости системы (238). Следовательно, существует единственное решение системы (238), которое удовлетворяет начальным условиямγi = αi .βk =0Построенное решение и дает групповую операцию. Начальные условия выражают тот факт, что элемент Gγ , определяемый формулой (230), обращается вGα при βs = 0 (s = 1, . .
. , r). Переходим теперь к построению группы линейных преобразований, т. е. группы матриц заданного порядка по структурнымпостоянным, причем, как указано выше, мы имеем уже матрицу T (Gα ). Какмы показали в [83], условия полной интегрируемости (204) или системы (205)сводятся к тождественному равенству нулю квадратной скобки уравнения (207)при любом выборе значков, а эти последние условия выполнены, как мы показали в [87], если матрицы Is удовлетворяют соотношениям (208). Таким образом, решение задачи должно начинаться с построения матриц Is заданногопорядка, удовлетворяющих соотношениям (208). Это сложная алгебраическаязадача.
Имея матрицы Is , мы можем уже утверждать, что система (205) имеетединственное решение, удовлетворяющее начальным условиям (206). Это ре(p)шение и дает группу матриц с заданными структурными постоянными Cik .Можно показать, что интегрирование системы (241) при начальных условиях T (E) = I сводится к интегрированию системы обыкновенных линейныхдифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Сформулируем соответствующий результат. Построим систему линейных обыкновенныхдифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:rdwik (t)(i)= δik +Cpq αp wqk (t),dtp,q=1где δik = 0 при i = k, δii = 1 и α1 , α2 , . . . , αr считаются заданными постоянными. При этом функции Tik (αs ) = wik (t) удовлетворяют системе (241) иначальному условию T (E) = I. Подробное рассмотрение вопроса о построениинепрерывной группы по заданным структурным постоянным так же, как и исследование других вопросов теории непрерывных групп, можно найти в книгеЛ.
С. П о н т р я г и н а «Непрерывные группы».89. Интегрирование на группе. В [76, 77] мы доказывали ряд соотношений, которые содержат суммы некоторых величин, зависящих от элементов группы, причем суммирование распространялось на все элементы группы. В случае непрерывной группы суммирование заменяется интегрированиемпо параметрам, определяющим элементы группы. Положим, что непрерывнаягруппа G такова, что при некотором выборе параметров этой группе в вещественном r-мерном пространстве Tr , определяемой параметрами α1 , α2 , . . . ,αr , соответствует ограниченная замкнутая область V (область вместе с ее границей), так что всякому элементу из G соответствует определенная точка V , инаоборот. Внутри области V функции ϕj (β1 , . .
. , βr ; α1 , . . . , αr ), определяющие групповую операцию, считаются непрерывными и достаточное число раз384Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [89дифференцируемыми. Кроме того, эти функции и их производные считаютсянепрерывными вплоть до границы V . Зависимость параметров α s , соответствующих элементу G−1α , от параметров αs также считается непрерывной. Группыс такими свойствами называются обычно компактными. Для определения интегрирования на группе рассмотрим определитель матрицы S (Gβ , Gα ) [87] ивведем для него следующее обозначение: ∂γi r .Δ (Gβ , Gα ) = (246)∂αk 1Из (243) непосредственно следует:Δ (E, Gα ) = 1,(2471 )Δ (Gβ Gα , E) = Δ (Gβ , Gα ) · Δ (Gα , E).(2472 )Обозначая δ(Gβ ) = Δ (Gβ , E), можем написать:Δ (Gβ , Gα ) =δ (Gβ Gα ).δ (Gα )(248)Отсюда, принимая во внимание, что δ (E) = Δ (E, E) = 1, получаем:1.δ (Gα )(249)u (Gα ) = Δ (G−1α , Gα ).(250)Δ (G−1α , Gα ) =Введем еще одно обозначение:u (GВ силу сделанных выше предположений иα ) есть непрерывная функцияв замкнутой области V .
Она не обращается в нуль, ибо1= δ (Gα ) = Δ (Gα , E)u (Gα )есть также непрерывная функция. Принимая во внимание, что и u (E) = 1, можем утверждать, что u (Gα ) и δ(Gα ) — положительные функции. То же можноутверждать, в силу (248), и относительно Δ (Gβ , Gα ).Пусть f (Gα ) = f (α1 , . . . , αr ) — любая непрерывная в замкнутой областиV функция.Определим интеграл от этой функции на группе G формулойf (Gα )dGα =f (α1 , .
. . , αr )u (Gα )dα1 . . . dαr ,(251)GVгде интеграл, стоящий справа, есть обычный интеграл по области V . Докажем,что такой интеграл обладает следующим свойством левой инвариантности:f (Gα )dGα =f (Gβ Gα )dGα ,(252)GG89]§ 7. Непрерывные группы385или в координатахf (α1 , .
. . , αr )u (Gα )dα1 . . . dαr =f (γ1 , . . . , γr )u (Gα )dα1 . . . dαr , (253)VVгде Gβ — любой фиксированный элемент группы G. Для доказательства заменим в интеграле, стоящем в левой части, переменный элемент Gα переменнымэлементом Gδ , полагая Gα = Gβ Gδ , причем область изменения параметровδ1 , . . . , δr по-прежнему V . Определитель преобразования будет: ∂αi rδ (Gβ Gδ )u (Gδ )u (Gδ ) ∂α = Δ (Gβ , Gδ ) = δ (G ) = u (G G ) = u (G ) ,αk 1δβ δи мы получим:f (α1 , .
. . , αr )u (Gα )dα1 . . . dαr =V=f (α1 , . . . , αr )u (Gα )Vu (Gδ )dδ1 . . . dδr =u (Gα )f (Gβ Gδ )dGδ .GЭто и совпадает с (253). Замена в правой части Gα на Gδ несущественна.Аналогично строится правоинвариантный интеграл. Введем определительматрицы S(Gβ , Gα ): ∂γi r .Δ(Gβ , Gα ) = (254)∂βk 1Как и выше, имеем:⎫Δ(Gα , E) = 1,⎪⎪⎪Δ(E, Gβ Gα ) = Δ(Gβ , Gα )Δ(E, Gβ ),⎬(255)⎪δ(Gβ , Gα )⎪⎪⎭,Δ(Gβ , Gα ) =δ(Gβ )где δ(Gα ) = Δ(E, Gα ). Вводится положительная функцияu(Gα ) =1= Δ(Gα , G−1a ),δ(Gα )и интеграл определяется формулой, α.f (α1 , . . .
, αr )u(Gα )dα1 . . . dαr =f (Gα )dGV(256)(257)GВолна сверху знака дифференциала отличает этот интеграл от интеграла (251).При этом имеет место свойство правой инвариантности:,α =, α.f (Gα )dGf (Gα Gβ )dG(258)GG386Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [89Докажем теперь, что замена Gα на G−1α под знаком подынтегральной функции влечет преобразование левоинвариантного интеграла в правоинвариантный и обратно. Дифференцируем равенство Gλ = Gα Gβ , записанное в параметрах, по αs , причем во всех дальнейших формулах мы считаем Gβ = G−1α :rrrr ∂λi ∂βs ∂λi ∂λi = (−1)r ∂λi ∂βi ,+·= 0, откуда ∂β ∂α ∂αk∂β∂α∂αskkkk111s=1и, принимая во внимание (246) и (245), получаем:−1 ∂βi rr Δ(Gα , Gα )r u(Gα ) ∂α = (−1) Δ (G , G−1 ) = (−1) u (G−1 ) .k 1ααα(259)Можно дать другое представление этого определителя.
Из равенства ∂βi r ∂αi r ∂α ∂β = 1k 1k 1следует−1 ∂αi rr u (Gα ) ∂β = (−1) u(G )αk 1или, меняя местами Gα и G−1α : ∂βi rr u (Gα ) ∂α = (−1) u(G−1 ) .k 1α(260)(261)Обращаемся теперь к интегралам. Совершая обычным образом замену переменных интегрирования, получим, пользуясь (260):f (α1 , .
. . , αr )u (Gα )dα1 . . . dαr =V=V ∂αi r dβ1 . . . dβr =f (β1 , . . . , βr )u (Gα )∂βk 1 =Vu(Gβ )dβ1 . . . dβr .f (β1 , . . . , βr )u (Gα ) u (Gα )u (GСокращая наα ) и заменяя переменный элемент Gβ переменным элементомGα , получим:f (α1 , . . . , α r )u(Gα )dα1 . . .
dαr =f (α1 , . . . , αr )u (Gα )dα1 . . . dαr . (262)VVСовершенно так же, принимая во внимание формулу (261), получим:f (α1 , . . . , α r )u (Gα )dα1 . . . dαr =f (α1 , . . . , αr )u(Gα )dα1 . . . dαr . (263)VV89]§ 7. Непрерывные группы387До сих пор мы не использовали компактности группы. Область V можетбыть и бесконечной. Но при этом надо предполагать функцию f (α1 , . . . , αr )такой, что все написанные интегралы имеют смысл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
