1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Сейчас, пользуясь компактностью, мы докажем, что u(Gα ) = u (Gα ). Для этого рассмотрим определитель ∂μi r ,D(Gβ , Gα ) = (264)∂βk 1где Gμ = G−1α Gβ Gα , и докажем формулуG G , Gα )D(Gβ , Gα ).D(Gβ , Gα Ga ) = D(G−1α β α(265)Мы можем написать:Gν Gα ,Gμ = (Gα Gα )−1 Gβ (Gα Gα ) = G−1αG G , а потомугде Gν = G−1α β α ∂μi r ∂μi r ∂νi r ∂β = ∂ν · ∂β = D(Gν , Gα )D(Gβ , Gα ),k 1k 1k 1откуда и следует (265).
Положив в этой формуле Gβ = E, получим:D(E, Gα Gα ) = D(E, Gα )D(E, Gα ).(266)Если мы введем численную функцию элемента:η(Gα ) = D(E, Gα ),(267)то, в силу (266), можем написать:η(Gα Gα ) = η(Gα )η(Gα ),(268)т. е. перемножение элементов означает умножение соответствующих значенийфункции η(Gα ).
Мы имеем, очевидно:η(E) = 1иη(Gα )η(G−1α ) = 1,(269)и функция η(Gα ) непрерывна и положительна в замкнутой области V .Используя компактность группы, докажем сейчас, что η(Gα ) = 1 длялюбого элемента Gα . Положим, что для некоторого элемента Gα мы имеемη(Gα ) = 1. Если, например, η(Gα ) < 1, то в силу (269): η(G−1α ) > 0, и мыможем считать всегда, что η(Gα ) > 1. При этомnη(Gnα ) = [η(Gα )] → ∞приn → ∞.Это противоречит тому, что непрерывная в замкнутой области V функцияη(Gα ) должна быть ограниченной.
Переходим теперь к установлению связимежду u(Gα ) и u (Gα ). Пусть−1Gγ = Gβ Gα = G−1α (Gα Gβ )Gα = Gα Gρ GαМы имеем: ∂γi r ∂β = Δ(Gβ , Gα ).k 1(Gρ = Gα Gβ ).388Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [89Но, с другой стороны: ∂γi r ∂γi r ∂ρi r ∂β = ∂ρ ∂β = D(Gρ , Gα )Δ (Gα , Gβ ),k 1k 1k 1т. е.Δ(Gβ , Gα ) = D(Gα Gβ , Gα ) · Δ (Gα , Gβ ).Полагая Gβ = G−1α , получим:−1Δ(G−1α , Gα ) = D(E, Gα ) · Δ (Gα , Gα ),т. е.−1u(G−1α ) = η(Gα )u (Gα )или−1u(G−1α ) = u (Gα )при любом Gα , ибо η(Gα ) = 1.
Таким образом для компактных групп левоинвариантный интеграл (251) совпадает с правоинвариантным интегралом (257).Кроме того, из (262) или (263) следует, что этот интеграл совпадает также синтеграломf (α1 , . . . , α r )u (Gα )dα1 . . . dαr .VДля некомпактных групп левоинвариантный интеграл может быть отличнымот правоинвариантного.
В качестве примера рассмотрим группу линейных преобразований видаz = eα1 z + α2 ,где α1 и α2 меняются от (−∞) до (+∞). В данном случае r = 2 и V есть всяплоскость. Композиция двух преобразований дает:z = eα1 z + α2 ;z = eβ1 z + β2 ;γ1 = ϕ1 (β1 , β2 ; α1 , α2 ) = β1 + α1 ;т. е.z = eβ1 +α1 z + (eβ1 α2 + β2 ),γ2 = ϕ2 (β1 , β2 ; α1 , α2 ) = eα1 β2 + α2 .Единичному элементу соответствуют параметры α1 = α2 = 0.
ЭлементG−1 1 = −α1 , α 2 = −α2 e−α1 . Вычисляем функциональныеα имеет параметры αопределители:1, 0 = eα1 ; δ (Gα ) = eα1 ; u (Gα ) = e−α1 ;Δ (Gβ , Gα ) = 0, eα1 1, eα1 β2 = 1; δ(Gα ) = u(Gα ) = 1.Δ(Gβ , Gα ) = 0,1 Левоинвариантный интеграл имеет вид+∞ +∞f (α1 , α2 )e−α1 dα1 dα2−∞ −∞90]§ 7. Непрерывные группы389и правоинвариантный интеграл —+∞ +∞f (α1 , α2 )dα1 dα2 .−∞ −∞Отметим, что при доказательстве равенства правоинвариантного и левоинвариантного интегралов, т. е. равенства u(Gα ) = u (Gα ), можно требованиекомпактности группы заменить другим требованием.Пусть G — подгруппа, состоящая из элементов G, которые имеют вид−1Gα Gβ G−1α Gβ(270)или получаются из таких элементов путем их перемножения, причем Gα и Gβ —любые элементы G.Нетрудно видеть, что если некоторый элемент Gγ , содержится среди элементов (270), то и обратный элемент G−1γ содержится среди элементов (270).Точно так же и элемент G−1GG,прилюбом выборе Gδ из G, содержитсяγδδсреди элементов (270).
Иначе говорят, что подгруппа G порождается элементами (270). Из сказанного выше следует, что G является нормальным делителемG. Подгруппа G приводится к единичному элементу в том и только в том случае, если все элементы (270) суть единичные элементы, т. е. в том и только втом случае, когда G есть абелева группа.
Подгруппа G может и совпадать сG. В частности, это будет иметь место, если G есть не абелева, простая группа.Подгруппа G называется обычно коммутантом группы G.−1Из определения (268) и (269) следует, что η(Gα Gβ G−1α Gβ ) = 1, чтоη(Gγ ) = 1 для всех Gγ из G и что η(Gα ) имеет одинаковое значение длявсех элементов, принадлежащих одной и той же совокупности по группе G ,т. е. что функция η(Gα ) имеет определенное значение для всякого элементадополнительной к G группы. Если G совпадает с G, то η(Gα ) = 1 при любомGα из G. То же имеет место, если упомянутая выше дополнительная группакомпактна.
Но разη(Gα ) = 1,тоu(Gα ) = u (Gα ).90. Свойство ортогональности. Примеры. Свойство правой и левойинвариантности интеграла аналогично в случае конечных групп тому свойству, что при переменном элементе Gs и фиксированном элементе Gt произведение Gs Gt или Gt Gs пробегает по одному разу все элементы группы. Этимсвойством мы пользовались при доказательстве того, что всякое представлениегруппы эквивалентно унитарному представлению и при доказательстве свойствортогональности.
Пользуясь инвариантным интегралом, можно доказать аналогичные предложения и для компактных групп. Если A(Gα ) — унитарные матрицы, дающие неприводимое линейное представление компактной группы G,и B(Gσ ) — унитарные матрицы, дающие неэквивалентное неприводимое представление, то, обозначая, как всегда, двумя значками снизу элементы матриц,390Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [90мы будем иметь следующие формулы, выражающие ортогональность неэквивалентных неприводимых унитарных представлений:{A(Gα )}ij {B(Gα )}kl u(Gα )dα1 . .
. dαr = 0.(271)VДля одного неприводимого представления получим:δik δjl{A(Gα )}ij {A(Gα )}kl u(Gα )dα1 . . . dαr =u(Gα )dα1 . . . dαr ,pV(272)Vгде p — порядок матриц. Точно так же для характеров:X(Gα ) =p{A(Gσ )}ii ;X (Gα ) =i=1q{B(Gα )}ii ,i=1где p и q — порядок матриц A(Gα ) и B(Gα ), имеют место следующие свойства:X(Gα )X (Gα )u(Gα )dα1 . . . dαr = 0,(273)VX(Gα )X(Gσ )u(Gα )dα1 .
. . dαr =Vu(Gα )dα1 . . . dαr .(274)V1. Перейдем к рассмотрению п р и м е р о в. Пусть G — абелева группа вращения плоскости вокруг начала. Для нее r = 1 и единственный параметр αдает величину угла поворота. Будем считать, что α принадлежит промежутку(0, 2π), причем концы этого промежутка отождествляются.
Последовательные вращения на углы α и β приводят к вращению на угол β + α, причемвычитая, если надо, 2π, мы должны привести эти суммы к указанному промежутку. В рассматриваемом случае функциональные определители Δ(Gβ , Gα )и Δ (Gβ , Gα ) сводятся к производной от β + α по β или α, равной единице, такчто u(Gα ) = u (Gα ) = 1. Мы знаем, что группа G имеет неприводимые унитарные представления первого порядка eimα (m = 0, ±1, ±2, .
. .), и формулы(357) и (358) дают известные формулы: 2π2π0 приeim1 α eim2 α dα =ei(m1 −m2 )α dα =2π при00m1 = m2 ,m1 = m2 .(275)Отметим, что, в силу необходимости приведения суммы β + α к промежутку (0, 2π), мы имеем некоторую особенность в непрерывности и определениипроизводных этой суммы в тех случаях, когда для α и β, лежащих внутрипромежутка (0, 2π), сумма оказывается равной 2π.2.
Рассмотрим группу вращения трехмерного пространства и применим параметры, несколько отличные от тех, о которых мы говорили в [84]. Пусть пространство повернулось на угол ω вокруг оси, которая образует углы α, β и γ сосями координат X, Y и Z.90]§ 7. Непрерывные группы391Введем четыре параметра:1111ω; a1 = cos α sin ω; a2 = cos β sin ω; a3 = cos γ sin ω.2222Они связаны соотношениемa0 = cosa20 + a21 + a22 + a23 = 1.(276)(277)Единичному преобразованию соответствуют значения a0 = 1, a1 = a2 =a3 = 0. Мы можем принять a1 , a2 , a3 за параметры. При этом a0 считается их функцией.Если произвести последовательно вращения, определяемые параметрами(a0 , a1 , a2 , a3 ) и (b0 , b1 , b2 , b3 ), то параметры результирующего вращения(c0 , c1 , c2 , c3 ) определятся, как нетрудно проверить, формуламиc0 = a0 b0 − a1 b1 − a2 b2 − a3 b3 ,c1 = a0 b1 + a1 b0 + a2 b3 − a3 b2c2 = a0 b2 − a1 b3 + a2 b0 + a3 b1 ,c3 = a0 b3 + a1 b2 − a2 b1 + a3 b0 .(278)Считая a0 функцией a1 , a2 , a3 , получим в силу (277):a0∂a0+ aj = 0,∂aj(j = 1, 2, 3),0= 0 для E.
Пользуясь этим, мы можем легко составить функциооткуда ∂a∂ajнальный определитель при b0 = 1, b1 = b2 = b3 = 0: a0 −a3a2 D(c1 , c2 , c3 )a0 −a1 = a0 (a20 + a21 + a22 + a23 ) == a3D(b1 , b2 , b3 )−a2a1a0 != a0 = 1 − a21 − a22 − a23 .Инвариантный интеграл имеет вид1f (a1 , a2 , a3 ) !da1 da2 da3 .21 − a1 − a22 − a23V(279)Область V есть сфера с центром в начале координат и радиусом единица.
Отметим, что формулы (278) непосредственно получаются из правила умножениякватернионовc0 + c1 i + c2 j + c3 k = (a0 + a1 i + a2 j + a3 k)(b0 + b1 i + b2 j + b3 k),причем единицы i, j и k подчиняются следующему закону умножения:i2 = j 2 = k 2 = −1; ij = −ji = k; jk = −kj = i; ki = −ik = j.Нетрудно установить связь между параметрами (a0 , a1 , a2 , a3 ) и углами Эйлера α, β, γ. Приведем соответствующие формулыa0 = cos 12 β cos 12 (α + γ);a1 = sin1β2cos1(γ2− α);a2 = sin 12 β sin 12 (γ − α);a3 = cos 12 β sin 12 (α + γ).392Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
