1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Символами Gα , Gβ , Gγ и т. д. мы будемобозначать те элементы группы G, которые соответствуют значениям параметров αs , βs , γs (s = 1, 2, . . . , r). При локальной точкезрения надо считать, что параметры достаточно близки к нулю, аэлементы группы — к единичному элементу.Рассмотрим произведение каких-либо элементов группыGβ Gα = Gγ .Параметры γs , характеризующие элемент Gγ , полученный в результате указанного умножения, суть однозначные функции параметров αs и βs :γs = ϕs (β1 , β2 , . . . , βr ; α1 , α2 , . .
. , αr ).(189)Мы предполагаем, что это суть непрерывные функции, имеющиенепрерывные производные до четвертого порядка при всех αs и βs ,достаточно близких к нулю.Из того, что нулевым значениям параметров соответствует еди-360Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [82ничный элемент группы, непосредственно следуют равенства0, . . . , 0) = βs ;ϕs (β1 , β2 , . .
. , βr ; 0,(s = 1, 2, . . . , r),ϕs (0, 0, . . . , 0; α1 , α2 , . . . , αr ) = αs ;(190)откуда∂ϕi∂βk∂ϕi∂αk= δikпри αs = 0;= δikпри βs = 0(s = 1, 2, . . . , r).(191)Параметры αs , соответствующие обратному элементу G−1α , определяются, очевидно, из соотношений:ϕs (α1 , α2 , . . . , αr ; α1 , α2 , . . . , αr ) = 0 (s = 1, 2, . . . , r),(192)причем написанные равенства имеют место, если положить все αsи все αs равными нулю. Функциональный определитель от левыхчастей уравнений (192) по αs равен, в силу (191), единице при αs иαs , равных нулю.
Таким образом, в силу теоремы о неявных функциях, уравнения (192) определяют αs как непрерывные функциипри всех αs , достаточно близких к нулю, причем αs обращаются внуль при αs = 0. Разложим функции (189) по степеням αs и βs ,пользуясь формулой Маклорена, причем доведем разложение дочленов третьего порядка. Принимая во внимание формулы (190) и(191), получим:γs = αs + βs + (s) (s) (s)ai,k αi βk +ai,k,l αi αk βl +bi,k,l αi βk βl + ε(s) , (193)+i,k(s)(s)i,k,li,k,l(s)где ai,k , ai,k,l и bi,k,l — численные коэффициенты, ε(s) — не ниже четвертого порядка малости относительно αs и βs , и суммирование поi, k и l производится от 1 до r.
Числа(s)(s)(s)Cik = aik − aki(s, i, k = 1, 2, . . . , r)(194)называются структурными постоянными группы G при принятомвыборе параметров αs .82]§ 7. Непрерывные группы361Если вместо αs ввести другие параметры αs :αs = ωs (α1 , α2 , . . . , αr ) (s = 1, 2, . . . , r)так, что ωs (0, 0, . . . , 0) = 0, написанные равенства однозначно разрешимы относительно αs при всех αs , достаточно близких к нулю,и функции ωs имеют достаточное число производных, то структурные постоянные в новых параметрах as будут уже другими. Изопределения (194) непосредственно следует:(s)(s)Cki = −Cik .(1941 )Кроме того, пользуясь (192) и законом ассоциативности при перемножении элементов группы G, можно доказать еще следующеесоотношение между структурными постоянными:r(t)(s)(t)(s)(t)(s)(Cis Cjk + Cjs Cki + Cks Cij ) = 0 (i, j, k, t = 1, 2, .
. . , r).s=1(1942 )Мы не будем пользоваться этим соотношением и не приводимего доказательства.Вернемся к формулам (193). При αs и βs , достаточно близких кнулю, и величины γs будут близкими к нулю. Принимая во внимание формулы (191) и теорему о неявных функциях, можно утверждать, что уравнения (193) в некоторой окрестности начала координат пространства Tr разрешимы относительно βs :βs = ψs (γ1 , γ2 , .
. . , γr ; α1 , α2 , . . . , αr ) (s = 1, 2, . . . , r). (195)Отметим при этом, что условия: βs = 0 (s = 1, 2, . . . , r) равносильны условиям: γs = αs (s = 1, 2, . . . , r). Пользуясь формулами(193) и (195), составим две квадратные матрицы S(αs ) и T (αs ) порядка r с элементами Sik (αs ) и Tik (αs ), зависящими от параметровαs :∂γi∂βi; Tik (αs ) =Sik (αs ) =∂βk βs =0∂γk γs =αs(s, i, k = 1, 2, . . . , r).(196)362Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [82Принимая во внимание правило дифференцирования сложныхфункций и вычисляя производную от γi по γk или производную отβi по βk , получим:S(αs )T (αs ) = Eи T (αs )S(αs ) = E,(197)где E — единичная матрица порядка r.
Из формул (191) следует,что S(αs ) при нулевых значениях αs = 0 обращается в единичнуюматрицу. Из (197) при этом следует, что и T (αs ) обладает этими(p)же свойствами. Нетрудно выразить структурные постоянные Cikчерез элементы упомянутых матриц, а именно:∂Spk (αs ) ∂Spi (αs )(p)Cik =−(198)∂αi∂αkαs =0или(p)Cik=∂Tpi (αs ) ∂Tpk (αs )−∂αk∂αi.αs =0Действительно, в силу (193) и (196), получим:∂γp∂Spk (αs )(p)=,aik =∂αi ∂βk αs =βs =0∂αiαs =0и, переставляя значки i и k, можем написать:∂Spi (αs )(p)aki =,∂αkαs =0(199)(200)(201)откуда и следует непосредственно формула (198). Далее, принимаяво внимание (197), имеем:rSpi (αs )Tjk (αs ) = δpk .j=1Дифференцируем обе части по αi и полагаем затем все αs равныминулю. Принимая во внимание, что матрицы S(αs ) и T (αs ) обращаются в единичную матрицу при αs = 0 (s = 1, 2, .
. . , r), получим:∂Spk (αs )∂Tpk (αs )+= 0,∂αi∂αiαs =0αs =083]§ 7. Непрерывные группы363т. е. в силу (201):(p)aik∂Tpk (αs )=−∂αi,αs =0откуда, как и выше, следует формула (199). Формулы (193) определяют основную групповую операцию, которая по параметрам αsи βs элементов Gα и Gβ группы G дает параметры γs , соответствующие произведению Gβ Gα . Из выражений (193) видно, что при αsи βs , близких к нулю, в первом приближении групповая операциясводится к следующей: γs = αs + βs , так что в первом приближениигруппа оказывается абелевой.
Если группа в точности есть абелева,то:ϕs (β1 β2 , . . . , βr ; α1 α2 , . . . , αr ) = ϕs (α1 α2 , . . . , αr ; β1 β2 , . . . , βr )(s = 1, 2, . . . , r)(s)(s)и в разложениях (193) aki = aik , т. е. у абелевой группы все структурные постоянные равны нулю. Для общих групп уже члены второго измерения в разложениях (193) дают уклонение от коммутативности, что и характеризуется наличием структурных постоянных, отличных от нуля. Пользуясь разложением (193), нетруднополучить и разложение параметров αs , соответствующих элементуG−1.Дляэтоговформулах(193)надоположить γs = 0 и заменитьαβs на αs . Применяя обычные правила дифференцирования неявныхфункций, получим: (s)(s)αs = −αs +aik αi αk + ε1 ,i,k(s)где ε1 , по крайней мере, третьего порядка малости относительноα1 , α2 , .
. . , αr .83. Бесконечно малые преобразования. Пусть, как и выше,имеется непрерывная группа G линейных преобразований порядка n, определяемая параметрами αs (s = 1, 2, . . . , r). Будем, каки выше, обозначать символом Gα — матрицу преобразования, соответствующего параметрам αs , так что линейное преобразование364Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [83имеет видx = Gα u,(202)где u — любой вектор n-мерного комплексного пространства Rn иx — преобразованный вектор. Введем операцию дифференцирования матрицы, а именно: если элементы некоторой матрицы A сутьдифференцируемые функции некоторого параметра t, то производной от матрицы A по параметру t назовем матрицу, элементы которой получаются дифференцированием элементов матрицы A поt, т.
е."#dAd{A}ik.=dt ikdtЕсли элементы A зависят от нескольких переменных, то мы будемиметь частные производные.Совершенно так же, если составляющие некоторого вектораz (z1 , z2 , . . . , zn ) из пространства Rn суть дифференцируемыефункции t, то вектор dzdt , определяется как вектор с составляющимиdzi,т.е.дифференцированиевектора сводится к дифференцироваdtнию его составляющих [II, 119].Введем теперь так называемые бесконечно малые преобразования группы G:∂GαIk =(k = 1, 2, . . . , r).(203)∂αk αs =0Символ Ik обозначает, очевидно, некоторую матрицу порядка n счисленными элементами.Обратимся теперь к формуле (202) и положим, что u есть фиксированный вектор, т.
е. его составляющие не зависят от αs . Преобразованный вектор уже зависит, вообще говоря, от этих параметров, и мы выведем сейчас основные дифференциальные уравнениядля этого вектора. Для этого применим к обеим частям (202) линейную операцию, определяемую матрицей Gβ :Gβ x = Gγ u,где Gγ = Gβ Gα , и параметры γs определяются через αs и βs согласно основной групповой операции (193). Дифференцируем обе части83]§ 7. Непрерывные группы365последней формулы по βp и полагаем затем βs = 0, т.
е. γs = αs .Пользуясь определением (203), получим:Ip x =r ∂(Gγ u)j=1∂γjγs =αs∂γj∂βp.βs =0Первый сомножитель под знаком суммы равен, очевидно, производной от правой части (202) по αj , и, принимая во вниманиеобозначение (196), можем переписать последнюю формулу в видеIp x =rSjp (αs )j=1∂x∂αj(p = 1, 2, .
. . , r).Если ввести векторы:∂x∂x∂xXи Y (I1 x, I2 x, . . . , Ir x),,, ...,∂α1 ∂α2∂αrто предыдущие формулы можно записать в виде линейного преобразованияY = S ∗ (αs )X,где S ∗ (αs ) — обычное обозначение транспонированной матрицы.Умножая слева на T ∗ (as ) и принимая во внимание (197), получим:X = T ∗ (αs )Y,или, в раскрытом виде:∂x=Tjp (αs )Ij x (p = 1, 2, . . . , r).∂αpj=1r(204)Для составляющей xk вектора x, определяемого формулой (202),мы имеем:rn∂xkk = 1, 2, . . . , n,(205)=Tjp (αs ){Ij }kt xtp = 1, 2, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
