1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 57
Текст из файла (страница 57)
III. Основы теории групп и линейные представления групп [75Предварительно напомним определение контраградиентногопреобразования. Если имеются два линейных преобразования(x1 , . . . , xn ) = A(x1 , . . . , xn ) и (y1 , . . . , yn ) = B(y1 , . . . , yn ),то для выполнения равенстваx1 y1 + . .
. + xn yn = x1 y1 + . . . + xn ynнеобходимо и достаточно, чтобы B было контраградиентно с A, т. е.B = A(∗)−1 (ср. [21] и [40]).Положим, что переменные (u1 , u2 ) и (v1 , v2 ) одновременно подвергаются некоторому унитарному преобразованию A с определителем (+1). Положим, что переменные x1 и x2 подвергаются приэтом преобразованию A(∗)−1 , контраградиентному преобразованиюA. Из определения контраградиентного преобразования следует,что при этом суммыu1 x1 + u2 x2и v1 x1 + v2 x2остаются неизменными. Кроме того, как мы показали выше, и первый множитель в выражении (146) остается неизменным при указанном преобразовании наших переменных.
Таким образом, и всясумма L останется неизменной, т. е., иначе говоря, в силу (150),переменные cm испытают преобразование B, контраградиентноетому преобразованию C, которое испытают переменные ym .Введем новые переменныеuk+m uk−m2zm = 1(k + m )!(k − m )!(m = −k, −k + 1, . . . , k − 1, k).Применяя формулу бинома Ньютона, можем написать:(u1 x1 + u2 x2 )2k = (2k)!+kzm ym .m =−kЛевая часть последнего выражения остается инвариантной при наших преобразованиях, и, следовательно, то же можно сказать и о75]§ 6. Линейные представления групп335правой части, т. е. переменные zm подвергаются тому же самомупреобразованию B, контраградиентному преобразованию C, что ипеременные cm .
Но мы знаем, что переменные zm как раз и даютнам линейное представление Dk группы вращения, если (u1 , u2 )суть объекты унитарной группы с определителем (+1). Следовательно, наше утверждение доказано.Мы можем таким образом из переменных (144), которыетолкуем как составляющие некоторого вектора в пространствес (2j + 1)(2j + 1) измерениями, составить линейные комбинациичислом (2k + 1), которые дают линейное представление Dk группы вращения.
Принимая во внимание формулу (148) и неравенства(147), мы видим, что числу k можем придавать следующие значения:k = j + j , j + j − 1, . . . , |j − j |.(152)Подсчитаем теперь, сколько всего линейных комбинаций из величин (144) нам придется составить. Для определенности будем предполагать, что j j . Упомянутое общее число линейных комбинаций будет:(2j + 2j + 1) + (2j + 2j − 1) + . .
. + (2j − 2j + 1).Это есть сумма арифметической прогрессии с числом членов(2j + 2j + 1) − (2j − 2j + 1)+ 1 = 2j + 1,2и общее число линейных комбинаций будет (2j + 1)(2j + 1), т. е.будет равно числу величин (144). Тот же результат получился быи при условии j < j . Полагая для краткости(2j + 1)(2j + 1) = r,обозначим упомянутые выше линейные комбинации величин (144)следующим образом:w1 , w2 , . .
. , wr ,(153)причем будем считать, что эти линейные комбинации расположены в том порядке, который дают линейные представления Dk , где k336Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [75имеет значения (152). В результате некоторого унитарного преобразования с определителем (+1) над переменными (u1 , u2 ) и (v1 , v2 )мы получим новые значения UmVm переменных (144) и новые значения ws (s = 1, 2, . . . , r) переменных (153), причем ws выражаются через ws при помощи квазидиагональной матрицы[Dj+j , Dj+j −1 , . . . , D|j=j | ],(154)и каждое Dk соответствует тому унитарному преобразованию, которому мы подвергли (u1 , u2 ) и (v1 , v2 ).
Дальше покажем, что линейные формы (153) величин (144) между собой линейно независимы. Пусть T — матрица того линейного преобразования, при помощи которого ws выражаются через переменные (144). Прямое произведение Dj × Dj есть матрица линейного преобразования дляпеременных (144), и мы имеем в силу предыдущего:[Dj+j , Dj+j −1 , . . . , D|j−j | ] = T (Dj × Dj )T −1 ,(155)что и дает разложение прямого произведения на неприводимые части.
Предыдущую формулу обычно записывают следующим образом:Dj × Dj = Dj+j + Dj+j −1 + . . . + D|j − j |.(156)преобразоваНапомним, что каждое Dk определяется унитарным a b. Предыдущийнием и полностью записывается так: Dk−b aрезультат обобщается и на случай нескольких сомножителей. Так,например, мы можем написать:D1 × D1 × D1 = (D2 + D1 + D0 ) × D1 == D3 + D2 + D1 + D2 + D1 + D0 + D1 == D3 + 2D2 + 3D1 + D0 .Сама матрица D1 есть матрица третьего порядка [68].
Прямоепроизведение D1 × D1 будет матрицей девятого порядка, и, наконец, прямое произведение D1 × D1 × D1 будет матрицей двадцатьседьмого порядка. Предыдущая формула показывает, что эта матрица эквивалентна при всяком выборе унитарного преобразования75]§ 6. Линейные представления групп337квазидиагональной матрице[D3 , D2 , D2 , D1 , D1 , D1 , D0 ].Порядок этой последней матрицы равен [68]:(2 · 3 + 1) + 2(2 · 2 + 1) + 3(2 · 1 + 1) + (2 · 0 + 1) = 27.Обратимся теперь к доказательству линейной независимостиws , как линейных форм от величин (144). Величины ws в прежних обозначениях суть величины cm , но только надо принять вовнимание, что при построении cm мы можем брать различные значения k или, что то же, различные значения l, так что правильнее(l)(l)было бы писать cm .
Как мы видели выше, всякое cm выражается только через те величины Um Vm , для которых m + m = m .Отсюда непосредственно вытекает, что линейно зависимыми могут(l)оказаться лишь cm при различных l, но одинаковых m . Открываяв выражении (146) скобки в двух последних множителях и собираячлены при xk+mxk−m, где k определяется формулой (148), мы и12(l)получим с точностью до постоянного множителя cm , выраженныечерез uk и vk .
Они будут, очевидно, произведениями (u1 v2 − u2 v1 )lна некоторый полином от u1 , u2 , v1 и v2 с целыми положительными коэффициентами. Нетрудно видеть, что такие выражения немогут быть при различных l линейно зависимыми. Предположим,например, что мы имеем линейную зависимость вида(l )(l )(l )α1 cm1 + α2 cm2 + α3 cm3 = 0,где l1 < l2 < l3 и αk — некоторые постоянные, отличные от нуля.Написанное соотношение должно выполняться тождественно привсяких u1 , u2 , v1 и v2 .
Положим, например, u2 = v1 = v2 = 1. В(l)силу сказанного выше о форме выражений cm , мы получим соотношение видаα1 (u1 − 1)l1 p1 (u1 ) + α2 (u1 − 1)l2 p2 (u1 ) + α3 (u1 − 1)l3 p3 (u1 ) = 0,где pk (u1 ) — полиномы от u1 с целыми положительными коэффициентами. Деля предыдущее соотношение на (u1 − 1)l1 и полагая338Гл. III.
Основы теории групп и линейные представления групп [76затем u1 = 1, получим α1 = 0, что противоречит сказанному выше идоказывает таким образом невозможность линейных соотношений.Раскрывая скобки в выражении (146), мы могли бы, конечно, ифактически построить выражения ws через переменные (144).76. Свойство ортогональности.
Матрицы, образующие неэквивалентные унитарные неприводимые представления, обладают некоторым свойством,которое называется обычно свойством ортогональности. Им часто пользуютсяпри применении теории групп к физике. Сначала сформулируем это свойство.Пусть имеется конечная группа G порядка m с элементамиG 1 , G2 , . . .
, G mи пустьA(1) , . . . , A(m)B (1) , . . . , B (m)и— две системы матриц, дающих линейное представление группы G. Обозначая элементы этих матриц малыми буквами с двумя значками снизу и считая,что указанные два линейных представления неэквивалентные, неприводимыепредставления и состоят из унитарных матриц, мы будем иметь следующиеравенства:m(s) (s)aij bkl = 0,(157)s=1которые имеют место при любых нижних значках. Аналогичные равенства имеют место и для одного неприводимого, унитарного представления.
Пусть порядок матриц A(s) , дающих унитарное, неприводимое представление, равен p.Имеют место следующие формулы:ms=1(s) (s)aij akl =mδik δjl ,p(158)т. е. сумма, стоящая слева, равна нулю, если пары чисел (i, j) и (k, l) различны,и равна m, если эти пары одинаковы.pДоказательство ортогональности основано на теореме III из [66]. Предварительно напомним понятие умножения для случая неквадратных прямоугольных матриц. Пусть две матрицы C и D с элементамиi = 1, 2, .
. . , n1j = 1, 2, . . . , n2{D}ikи {C}jl,k = 1, 2, . . . , n2l = 1, 2, . . . , n3причем число n2 столбцов матрицы D совпадает с числом строк матрицы C.Элементы произведения DC определим обычной формулой{DC}ik =n2{D}is {C}sk .s=1Новая матрица DC будет иметь, очевидно, n1 строк и n3 столбцов.76]§ 6. Линейные представления групп339Формулируем теперь основную теорему.Т е о р е м а.
Если унитарные матрицы A(s) порядка p и унитарные матрицы B (s) порядка q дают неэквивалентные неприводимые представлениягруппы G и если некоторая прямоугольная матрица C с p строками и qстолбцами удовлетворяет при всяком s условиямA(s) C = CB (s)(s = 1, 2, . . . , m),(159)то C — нулевая матрица, т. е. все ее элементы равны нулю.Рассмотрим сначала случай p = q, когда C есть также квадратная матрица.Если определитель C отличен от нуля, то существует C −1 , и из (159) следуетA(s) = CB (s) C −1 ,т. е. наши два представления эквивалентны, что противоречит условию теоремы. Итак, определитель C должен равняться нулю. Положим, что не всеэлементы C равны нулю, и обозначим эти элементы через cik .
Как известно,линейные формыci1 x1 + . . . + cip xp (i = 1, 2, . . . , p)определяют при произвольных xs подпространство, число измерений которого равно рангу матрицы C [14], т. е. в данном случае это будет подпространство с числом измерений 1 и < p. Иначе говоря, это будет действительно неполное пространство p измерений, а некоторое подпространство R. Напишем(159) как некоторое линейное преобразование над вектором с составляющими(x1 , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
