1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Линейные представления групп345неприводимых представлений можем переписать (163) в видеrX(Ck )X (Ck )gk = 0k=1и (164) в видеrX(Ck )X(Ck )gk = m.k=1Таким образом, для характеров X (i) (Ck ) неэквивалентных, неприводимыхпредставлений ω (i) (i = 1, 2, . . . , l) будем иметь:rk=1rX (i1 ) (Ck )X (i2 ) (Ck )gk = 0приi1 = i2 ,(167)X (i) (Ck )X (i) (Ck )gk = m.k=1Введем в пространстве Rr , число измерений которого равно r, l векторов ссоставляющими:(((g1 (i)g2 (i)gr (i)X (C1 ),X (C2 ), . .
. ,X (Cr ) (i = 1, 2, . . . , l).mmmПредыдущие равенства показывают, что эти векторы попарно ортогональны инормированы, а потому и линейно независимы. Отсюда вытекает, что их числоl не больше числа измерений, т. е. l r. Мы получили теорему:Т е о р е м а 4. Число неэквивалентных, неприводимых представленийгруппы не больше числа классов группы.В следующем номере покажем, что всегда l = r. Поскольку мы толькочто показали, что l r, для доказательства равенства l = r достаточно доказать неравенство l r.
Доказательство этого неравенства связано с введениемнекоторых новых понятий и соотношений между характерами, которые представляют интерес и сами по себе.Установим еще одно соотношение между характерами любого неприво(k)димого представления. Положим, что класс Ck состоит из элементов G1 ,(k)(k)(k)G2 , . . . , Ggk . Если Gs — какой-либо элемент группы, то элементы Gs Gi G−1s(i = 1, 2, . . . , gk ) дадут опять все элементы из класса Ck , но уже в другом порядке.
Отсюда следует. что если мы возьмем совокупность всех произведенийэлементов, входящих в некоторые классы Cp и Cq :(p)(q)Gu Gv(u = 1, 2, . . . , gp ; v = 1, 2. . . . , gq ),(168)то совокупность элементов(p)(q)(p)(q)−1−1Gs Gu Gv G−1s = (Gs Gu Gs )(Gs Gv Gs )будет той же самой. Отсюда следует, что совокупность элементов (168) обладает тем свойством, что если некоторый элемент принадлежит этой совокупности,346Гл.
III. Основы теории групп и линейные представления групп [77то этой же совокупности принадлежит целиком весь класс, содержащий этотэлемент, причем каждый элемент этого класса входит в совокупность элементов (168) одинаковое число раз. Обозначим через apqk целое число, не меньшеенуля, которое показывает, сколько раз элементы класса Ck входят в совокупность элементов (168). Иначе это записывают, чисто условно, следующимобразом:rCp Cq =apqk Ck(169)k=1или(p)(G1(p)+ G2(p)(q)+ . . . + Ggp )(G2(q)+ G2=(q)+ . .
. + Ggq ) =rk=1(k)apqk (G1(k)+ G2(k)+ . . . + Ggk ).(170)Пусть A(Gs ) — матрицы порядка n некоторого неприводимого линейного представления группы G. Образуем сумму матриц, соответствующих элементамкласса Ck , и обозначим эту матрицу через A(Ck ):A(Ck ) =gk(k)A(Gj ).j=1(k)Принимая во внимание, что элементы Gs Gi G−1s при i = 1, 2, . . .
, gk и любомGs из G дают всю совокупность элементов класса Ck , мы видим, что матрица A(Ck ) коммутирует со всеми матрицами A(Gs ). Отсюда следует, что этаматрица A(Gk ) кратна единичной матрице [66], так что можем написать:A(Ck ) = bk I(k = 1, 2, . . . , r),(171)где bk — некоторые числа. Принимая во внимание определение чисел apqk , т. е.символическую формулу (170), получаем следующее соотношение между числами bk :rapqk bk .(172)bp bq =k=1(k)След матрицы A(Ck ) равен сумме матриц A(Gi ) (i = 1, 2, . .
. , gk ), т. е. равенgk X(Ck ). С другой стороны, из (171) следует, что след A(Ck ) равен nbk , т. е.nbk = gk X(Ck ), откудаgkX(Ck ),bk =nи соотношение (172) приводит нас к следующей теореме.Т е о р е м а 5. Между характерами любого неприводимого представления,образованного матрицами порядка n, имеют место соотношения:gp X(Cp )gq X(Cq ) = nrk=1apqk gk X(Ck ).(173)78]§ 6. Линейные представления групп347Отметим, что среди классов Ck имеется класс, состоящий только из единичного элемента E группы G. В любом линейном представлении ему соответствует единичная матрица, след которой равен ее порядку n. Этот класс мыбудем всегда обозначать через C1 , так что X(C1 ) = n, и предыдущую формулуможно переписать в видеgp X(Cp )gq X(Cq ) = X(C1 )rapqk gk X(Ck ).(174)k=1Определим теперь значения постоянных apq1 .
Каждому классу Cp соответствует некоторый класс Cp , состоящий из элементов, обратных тем, которые входятв класс Cp . Это следует непосредственно из определения классов и из того, что−1 −1−1формула Gs Gt G−1s = Gu и приводит к формуле Gs Gt Gs = Gu .Класс Cp может и совпадать с Cp , т. е. может случиться, что p = p. Вовсяком случае классы Cp и Cp содержат одинаковое число элементов, т. е.gp = gp . Если в формуле (173) или (174) взять q = p , то в правую часть классC1 будет входить gp раз, а при q = p правая часть не содержит C1 , т. е. 0 при q = p ,(175)apq1 =gp при q = p .78.
Регулярное представление группы. Мы уже указывали приемпредставления любой конечной группы при помощи групп перестановок. Всякую группу перестановок мы можем изобразить как группу преобразований.Действительно, если имеется, например, перестановка1, 2, 3, 42, 4, 3, 1,то ее можно записать в виде линейного преобразования, при котором x1 переходит в y2 , x2 — в y4 , x3 — в y3 и x4 — в y1 :y1 = 0x1 + 0x2 + 0x3 + x4 ,y2 = x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 ,y3 = 0x1 + 0x2 + x3 + 0x4 ,y4 = 0x1 + x2 + 0x3 + 0x4 .Рассмотрим следующее представление группы G группой перестановок. Умножаем элементы G1 , G2 , . . .
, Gm справа на некоторый элемент Gs . Это приводитк некоторой перестановке элементов, т. е., в силу сказанного выше, к некоторой матрице Ps , которая и считается соответствующей элементу Gs . Это представление называется обычно регулярным представлением группы G. Один изэлементов Gk есть единичный элемент группы, который мы, как всегда, будемобозначать буквой E. Этому элементу соответствует единичная матрица Ps , и,следовательно, след этой матрицы равен m, т. е. X(E) = m.
При умноженииэлементов G1 , G2 , . . . , Gm на любой элемент Gs ни один элемент Gk не остается348Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [78на месте, т. е. в соответствующей матрице все диагональные элементы равнынулю, и в регулярном представлении X(Gs ) = 0 при Gs = E.Положим, что при приведении регулярного представления оно содержитпредставление ω (k) , о котором мы говорили выше, hk раз. Мы имеем при этом,в силу сказанного выше: l0 при Gs = E,(t)(176)ht X (Gs ) =mпри Gs = E.t=1Умножая обе части этого равенства на X (k) (Gs ) и суммируя по s, получим всилу (163) и (164):hk m = mX (k) (E),(k)но X (E) равно порядку матриц в представлении ω (k) , который мы обозначимчерез nk , и X (k) (E) = X (k) (E) = hk , откуда hk = nk , и формула (176) можетбыть переписана в виде ll0 при Gs = E,(t)(t)(t)(177)X (E)X (Gs ) =nt X (Gs ) =mпри Gs = E.t=1t=1Мы приходим таким образом к следующей теореме:Т е о р е м а 6.
Регулярное представление содержит каждое неприводимоепредставление ω (k) число раз, равное порядку матриц nk в представленииω (k) , и для характеров представлений ω (k) имеет место формула (177)Напишем теперь формулу (174) для представлений ω (t) :gp X (t) (Cp )gq X (t) (Cq ) = X (t) (C1 )rapqk X (t) (Ck )gk ,k=1и просуммируем по t от t = 1 до t = l:gp gqlX (t) (Cp )X (t) (Cq ) =t=1rapqklX (t) (C1 )X (t) (Ck )gk .t=1k=1Принимая во внимание (177), получим:gp gqlX (t) (Cp )X (t) (Cq ) = apq1 m,t=1т. е. в силу (175):lX(t)t=1(Cp )X(t)⎧⎨0m(Cq ) =⎩g pприq = p ,приq = p .(178)Составим l линейных однородных уравнений относительно x1 , x2 , .
. . , xr :rq=1xq X (k) (Cq ) = 0(k = 1, 2, . . . , l)(179)79]§ 6. Линейные представления групп349ипокажем, что полученная система имеет только нулевое решение.Действительно, умножая обе части (179) на X (k) (Cp ) и суммируя по k,получим xp = 0, причем p может быть любым числом из ряда 1, 2, .
. . , r.Поскольку система (179) имеет только нулевое решение, число уравнений вэтой системе не меньше числа неизвестных, т. е. l r. Раньше мы доказалинеравенство l r, откуда следует l = r, т. е.:Т е о р е м а 7. Общее число неэквивалентных, неприводимых представлений конечной группы G равно числу классов этой группы.Выясним еще одно следствие теоремы 6. Регулярное представление группыG состоит из матриц порядка m. С другой стороны, в силу теоремы 6, оносодержит nk раз каждое представление ω (k) , состоящее из матриц порядка nk .Отсюда следует равенствоrn2k = m,(180)k=1что можно формулировать следующим образом:Т е о р е м а 8. Сумма квадратов порядков неэквивалентных, неприводимыхпредставлений ω (k) равна порядку группы G.79. Примеры представления конечных групп.
1. Рассмотрим абелеву группу G, состоящую из элементов Ak2 Ai1 , где i = 0, 1, 2, . . . , m − 1;nk = 0, 1, 2, . . . , n−1, причем элементы A1 и A2 коммутируют, Am1 = E; A2 = E,00и при i = k = 0 надо считать A2 A1 = E. Каждый отдельный элемент G образует класс, и все неприводимые представления группы имеют первый порядок.Пусть α и β — какие-либо значения корней степени m и n из единицы. Элементу Ak2 Ai1 мы сопоставляем число β k αi и таким образом, как нетрудно проверить, получаем представление группы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
