1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 63
Текст из файла (страница 63)
. , r∂αpt=1j=1366Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [83где {Ij }kt — составляющие матрицы Ij . К уравнению (204) для x мыдолжны добавить начальное условие, непосредственно вытекающееиз формулы (202):x|αs =0 = u,(206)где u — произвольный заданный вектор. Отметим, что величиныTjp (αs ), входящие в коэффициенты уравнения (204), определяются непосредственно по групповой операции (193).
Уравнение (204)приведет нас к некоторым соотношениям между Ij . Для этого достаточно написать, что вторая производная от x по αp и αq не зависит от порядка дифференцирования.Из (204) следует:∂2x=∂αp ∂αqj=1rили, заменяя величинуполучим:∂x∂Tjp (αs )Ij x + Tjp (αs )Ij∂αq∂αq∂x∂αqее выражением из (204) при p = q,rrr ∂2x∂Tjp (αs )=Ij x +Tjp (αs )Tkq (αs )Ij Ik x.∂αp ∂αq∂αqj=1j=1k=1Переставляя справа p и q и приравнивая полученную правую частьнаписанной выше, будем иметь следующее следствие системы (205):r j=1+∂Tjp (αs ) ∂Tjq (αs )Ij +−∂αq∂αprr (Tjp (αs )Tkq (αs ) − Tjq (αs )Tkp (αs ))Ij Ik x = 0. (207)j=1 k=1Положим в этом соотношении все αs равными нулю.
Принимая вовнимание формулы (199) и тот факт, что T (αs ) = E, если все αsравны нулю, получим:r(j)Cpq Ij + (Ip Iq − Iq Ip ) u = 0,j=183]§ 7. Непрерывные группы367откуда следуют, в силу произвольности вектора u, следующие соотношения между бесконечно малыми преобразованиями:Iq Ip − Ip Iq =r(j)CpqIj(p, q = 1, 2, . . . , r).(208)j=1Мы определили Ij и доказали соотношения (208), исходя отзаданной непрерывной группы G и пользуясь уравнением (204).Покажем, что это уравнение, или, что то же, система (205), имеет единственное решение при заданном начальном условии (206).Пусть имеются два таких решения.
В силу линейности уравнения (204) их разность также должна удовлетворять уравнению идолжна обращаться в нулевой вектор при αs = 0. Таким образом, надо показать, что решение x уравнения (204) при нулевомначальном условии равно тождественно нулю.
Для простоты письма будем считать r = 3. Пусть x (α1 , α2 , α3 ) — упомянутое решение.Напишем уравнение (204) при p = 1 и в правой части положимα2 = α3 = 0. Получится обыкновенное дифференциальное уравнение с независимой переменной α1 и нулевым начальным условием.В силу известной теоремы единственности [II, 50], оно тождественно равно нулю, т. е. x (α1 0, 0) ≡ 0.
Напишем теперь уравнение(204) при p = 2 и в правой части положим α3 = 0. Это обыкновенное дифференциальное уравнение с независимой переменнойα2 имеет, как мы только что показали, нулевое начальное условие:x (α1 , α2 , 0) = 0 при α2 = 0, а потому, в силу теоремы единственности x (α1 , α2 , 0) = 0. Напишем теперь уравнение (204) при p = 3.Это обыкновенное дифференциальное уравнение имеет нулевое начальное условие: x (α1 , α2 , α3 ) = 0 при α3 = 0, и, следовательно,x (α1 , α2 , α3 ) ≡ 0, что мы и хотели доказать.Таким образом уравнение (204) может приводить только к одному конечному преобразованию (202) при заданных бесконечномалых преобразованиях Ij и заданных Tjp (αs ), которые определяются групповой операцией (193).
Иначе говоря, бесконечно малыепреобразования определяют группу. Это будет существенно в дальнейшем. Доказательство существования решения уравнения (204)основано на одной общей теореме из уравнений с частными производными, которая применительно к уравнению (204) формулиру-368Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [84ется следующим образом: для того чтобы уравнение (204) имелорешение при любом начальном условии (206), необходимо и достаточно, чтобы квадратная скобка, входящая в формулу (207), прилюбом выборе p и q была равна нулю тождественно относительноαs .
Дальше мы не будем пользоваться этой теоремой существования.84. Группа вращения. Рассмотрим в качестве примера группу вращения пространства вокруг начала координат. Соответствующие матрицы третьего порядка зависят от трех параметров. Рольэтих параметров могут играть, например, три угла Эйлера. Мывведем сейчас другие параметры α1 , α2 , α3 , в которых и будемпроизводить дальше все вычисления.
Всякое вращение мы можемрассматривать как вращение против часовой стрелки вокруг некоторой направленной оси l, выходящей из начала координат, на угол,не превышающий π. При этом два вращения на угол π относительно противоположно направленных осей приводят к одному и томуже конечному положению. Мы можем таким образом изобразитьвсякое вращение вектором из начала, направленным по оси вращения и по длине, равным углу вращения. Проекции этого вектора(α1 , α2 , α3 ) на координатные оси и будут служить нам параметрами.Если мы возьмем сферу V с центром в начале и радиусом πи отождествим концы любого из ее диаметров, то между точками(α1 , α2 , α3 ) сферы V и элементами группы вращения будет установлено биоднозначное соответствие. В данном случае оно будетиметь место не только в окрестности начала координат и единичного элемента группы, но и для всей группы, если взять всю сферуV.
Можно выразить все матрицы, входящие в группу вращения,через параметры α1 , α2 , α3 , и убедиться в непрерывности и существовании производных, о чем мы говорили выше.Мы не будем выводить формулу (193) для основной групповойоперации в рассматриваемом случае, а определим структурные постоянные, вычисляя непосредственно матрицы бесконечно малыхпреобразований.Для вычисления I1 мы можем считать α2 = α3 = 0, продифференцировать матрицу преобразования по α1 и положить затем84]§ 7. Непрерывные группы369α1 = 0. Но при α2 = α3 = 0 мы имеем вращение вокруг оси X наугол α1 , что приводит к формуламx1 = x1 ,x2 = x2 cos α1 − x3 sin α1 ,x3 = x2 sin α1 + x3 cos α1 .Дифференцируя матрицу этого преобразования по α1 и полагаязатем α1 = 0, получим:0 00(209)I1 = 0 0 −1 .0 10Совершенно аналогично 0 0 1I2 = 0 0 0 ;−1 0 00 −1 0I3 = 0 0.100 0(210)После этого мы можем непосредственно вычислить левые частисоотношений (208) и тем самым определить структурные постоянные.
Это элементарное вычисление приводит к трем следующимсоотношениямI1 I2 − I2 I1 = I3 ;I2 I3 − I3 I2 = I1 ;I3 I1 − I1 I3 = I2 .(211)Если правую часть формулы (202) разложим по степеням αs ,ограничиваясь членами первого порядка, то получим с этой точностью:x = u + (α1 I1 + α2 I2 + α3 I3 )u.Таким образом вектор u в результате указанного преобразованияиспытывает следующее изменение:δu = α1 I1 u + α2 I2 u + α3 I3 u.Каждое слагаемое справа дает изменение u при малом вращении вокруг одной из осей координат. Так, например, мы получаем370Гл.
III. Основы теории групп и линейные представления групп [85следующие изменения составляющих (u1 , u2 , u3 ) вектора u приповороте на малый угол α1 вокруг оси X:δu1 = 0; δu2 = −u3 α1 ; δu3 = u2 α1 .При этом, как и выше, мы ограничиваемся лишь членами первого порядка относительно α1 .85. Бесконечно малые преобразования и представления группы вращения. Сейчас выясним связь сказанного выше о бесконечно малых преобразованиях с представлением группы вращения.
Мы будем подразумевать биоднозначное представление в окрестности тождественного преобразования матрицами F (α1 , α2 , α3 ) порядка n, причем элементы матрицы считаются непрерывными и дифференцируемыми функциями параметровα1 , α2 , α3 . Каждое вращение D может быть получено в виде произведения конечного числа вращений из упомянутой окрестности,и произведение соответствующих матриц представления дает представления и для D.
Но таким образом в целом может получитьсяи многозначное представление группы вращения, поскольку принепрерывном изменении параметров вращения можно, возвращаясь к исходному вращению, получить для него новое представление. Это, например, было раньше при двузначном представленииполной группы вращения [69].Для матриц F (α1 , α2 , α3 ) мы имеем ту же групповую операцию,что и для самих вращений, а следовательно, и те же структурныепостоянные.
Для группы G матриц F (α1 , α2 , α3 ) можно составитьбесконечно малые преобразования Ik . Это будут некоторые матрицы порядка n, связанные соотношениями (211). Если удастся найтиматрицы Ik , то можно написать для вектора x из Rn дифференциальные уравнения (204), ибо Tjp (αs ) определяются лишь групповойоперацией. Эти уравнения могут иметь при заданном начальномусловии (206) только одно решение; только это решение, очевидно,и может быть тем преобразованиемx = F (α1 , α2 , α3 )u,которое дает представление группы вращения в окрестности тождественного преобразования.85]§ 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
