1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 54
Текст из файла (страница 54)
+ ak xl−k y k + . . . + al y l .(114)316Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [71Покажем, что существуют два линейно независимых полиномавида (114), которые являются решением уравнения (112), и всякое решение уравнения (112), представляющееся однородным полиномом степени l, должно быть линейной комбинацией этих двухполиномов с постоянными коэффициентами.
Действительно, коэффициенты полинома (114) выражаются по формуламak =∂ l ϕl (x, y)1.(l − k)!k! ∂xl−k ∂y kНо раз этот полином должен удовлетворять уравнению (112),то мы можем двукратное дифференцирование по y заменить двукратным дифференцированием по x при одновременном изменениизнака, так как уравнение (112) можно переписать в виде∂2U∂2U=− 2.2∂y∂xТаким образом, мы получим для коэффициентов ak выраженияследующего вида:ak = ±∂ l ϕl1(l − k)!k! ∂xlилиak = ±∂ l ϕl1,(l − k)!k! ∂xl−1 ∂yт. е.
все коэффициенты полинома (114) выразятся через коэффициенты a0 и a1 . Это рассуждение показывает нам, что существуетне больше двух линейно независимых однородных полиномов, удовлетворяющих уравнению (112). Покажем теперь, что такие дваразличных полинома действительно существуют. Рассмотрим дляэтого однородный полиномωl (x, y) = (x + iy)l .Раскрывая скобки и отделяя вещественную и мнимую части, получим:ωl (x, y) = ϕl (x, y) + iψl (x, y),где полиномы ϕl (x, y) и ψl (x, y) — вещественные однородные полиномы степени l, линейно независимые друг от друга. Дифференцируя ωl (x, y), получим:∂ 2 ωl (x, y)= l(l − 1)(x + iy)l−2 ;∂x271]§ 6. Линейные представления групп317∂ 2 ωl (x, y)= −l(l − 1)(x + iy)l−2 ,∂y 2т.
е. ωl (x, y) удовлетворяет уравнению (112). То же самое, следовательно, можно сказать и о вещественной и мнимой части этоговыражения, т. е. полиномы ϕl (x, y) и ψl (x, y) и дают нам два искомых решения уравнения (112). Введем полярные координатыx = r cos ϕ;y = r sin ϕ,откудаωl (x, y) = ri eilϕ .При этом полиномы ϕl и ψl примут очень простой вид:ϕl (x, y) = rl cos lϕ;ψl (x, y) = rl sin lϕ.Повернем плоскость XY вокруг начала на некоторый угол ϑ:x = x cos ϑ − y sin ϑ,y = x sin ϑ + y cos ϑ.(115)Нетрудно видеть, что при этом уравнение (112) останется инвариантным, т.
е., точнее говоря, в новых переменных уравнениебудет выглядеть совершенно так же:∂2U∂2U+ 2 = 0.2∂x∂y(116)Это можно непосредственно проверить, пользуясь формулами(115) и правилом дифференцирования сложных функций. Крометого, указанное обстоятельство непосредственно вытекает из того, что левая часть уравнения (113) имеет определенное значение,не зависящее от выбора осей, и, следовательно, имеет одну и туже форму при любом выборе прямолинейных прямоугольных осей.Полиномы ϕl (x , y ) и ψl (x , y ) должны удовлетворять уравнению(116), а следовательно, и уравнению (112), а потому они должнылинейно выражаться через ϕl (x, y) и ψl (x, y). Это и дает нам линейное представление группы вращения плоскости.318Гл. III.
Основы теории групп и линейные представления групп [71Вместо указанных двух полиномов возьмем два других полинома, которые являются их линейными комбинациями:ϕl (x, y) = ϕl (x, y) − iψl (x, y); ψl (x, y) = ϕl (x, y) + iψl (x, y)илиϕl (x, y) = (x − iy)l = rl e−ilϕ ;ψl (x, y) = (x + iy)l = rl eilϕ .Эти полиномы испытывают следующее преобразование:ϕl (x , y ) = rl e−il(ϕ+ϑ) = e−ilϑ ϕl (x, y),ψl (x , y ) = rl eil(ϕ+ϑ) = eilϑ ψl (x, y),т. е. преобразованию (115) соответствует в линейном представленииматрица −ilϑe0 ,0eilϑ где угол ϑ может иметь любое значение.
Из вида матриц непосредственно вытекает, что это линейное представление имеет приведенную форму. Оно дает два линейных представления первогопорядка, определяемых числами e−ilϑ и eilϑ . Во всех предыдущихрассуждениях целое число l могло иметь любое значение. Мы получили таким образом те же самые линейные представления группывращения плоскости, которые мы имели и раньше в [69].Перейдем теперь к уравнению Лапласа с тремя переменными∂2U∂2U∂2U++=0∂x2∂y 2∂z 2(117)div grad U = 0.(118)илиРассмотрим и здесь однородные полиномы степени l с тремяпеременнымиϕl (x, y, z) = a0 z l + X1 (x, y)z l−1 + X2 (x, y)z l−2 + .
. . ++ Xl−1 (x, y)z + Xl (x, y), (119)71]§ 6. Линейные представления групп319где Xk (x, y) — однородный полином степени k своих аргументов.Каждый такой полином Xk (x, y) содержит (k + 1) произвольныхкоэффициентов, так что в общем однородный полином ϕl (x, y, z)степени l с тремя переменными будет содержать следующее числопроизвольных коэффициентов:1 + 2 + 3 + . . . + (l + 1) =(l + 1)(l + 2).2Подставляя выражение (119) в уравнение (117), получим слева однородный полином степени (l − 2), и, приравнивая его коэффициенты нулю, получим (l−1)lоднородных уравнений с (l+1)(l+2)22неизвестными коэффициентами полинома ϕl (x, y, z). Мы имеем:(l + 1)(l + 2) (l − 1)l−= 2l + 1,22и, следовательно, по крайней мере (2l + 1) коэффициентов в полиноме ϕl (x, y, z) останутся произвольными, т.
е. будет существоватьпо крайней мере (2l + 1) линейно независимых однородных полиномов степени l, удовлетворяющих уравнению (117). Пользуясь темже методом, что и для двух переменных, можно показать, что ихбудет и не больше, чем (2l + 1), т. е. их будет в точности (2l + 1).Обозначим эти полиномы черезψs(l) (x, y, z) (s = 1, 2, .
. . , 2l + 1).Если(x , y , z ) = U · (x, y, z)есть некоторое вращение трехмерного пространства вокруг начала,то при этом уравнение (117) остается инвариантным, и полиномы(l)ψs (x, y, z) дают некоторое линейное представление группы вращения трехмерного пространства, порядка (2l + 1).В дальнейшем мы подробно изложим теорию этих гармонических полиномов и выведем для них явные выражения.
Мы увидим,что их всегда можно выбрать так, что они будут ортогональнымии нормированными в любой сфере с центром в начале. При этом320Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [72доставляемое ими линейное представление группы вращения будет унитарным. Можно показать, что это и будет как раз линейноепредставление, эквивалентное представлению Dl {α, β, γ}, котороемы построили в [69]. Позже мы вернемся к этому вопросу.72. Прямое произведение матриц. Пусть имеются две матрицы b11 b12 . . . b1m a11 a12 .
. . a1n b21 b22 . . . b2m a21 a22 . . . a2n A= и B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . .bm1 bm2 . . . bmm an1 an2 . . . ann (120)первая — порядка n и вторая — порядка m. Составим новую матрицу C с элементами Cij;kl , которые получаются от перемножениякаждого элемента матрицы A на каждый элемент матрицы B:{C}ij;kl = cij;kl = aik bjl .(121)В данном случае роль первого значка играет совокупность двухцелых чисел (i, j), а роль второго значка — совокупность целых чисел (k, l), причемi и k = 1, 2, . . . , n;j и l = 1, 2, .
. . , m.Иными словами, мы имеем здесь особый способ наименованиястрок и столбцов, а именно: строки и столбцы именуются совокупностью двух целых чисел, причем первое число принимает значениеот 1 до n, а второе — от 1 до m. Мы можем, конечно, перенумеровать строки и столбцы обычным образом, т. е. простыми целымичислами, которые идут от 1 до nm, причем каждой паре чисел (i, j)или (k, l) соответствует определенное целое число при новой нумерации, и если эти пары одинаковы, то и соответствующие целыечисла одинаковы. Эту нумерацию простыми целыми числами можно делать различным способом. При переходе от одного способак другому дело сведется к некоторой перестановке одновременно72]§ 6. Линейные представления групп321строк и столбцов, т. е. к переходу к подобной матрице, что в дальнейшем не будет иметь никакого значения.Матрица C называется прямым произведением матриц A и B,и обозначается это обычно следующим образом:C = A × B.(122)Порядок множителей в этом последнем произведении нового типа не играет никакой роли.Положим, например, что обе матрицы (120) будут матрицамивторого порядка.
В том случае их прямое произведение будет матрицей четвертого порядка, которую мы можем написать, например,в следующем виде: a11 b11 a11 b12 a12 b11 a12 b12 c11;11 c11;12 c11;21 c11;22 a11 b21 a11 b22 a12 b21 a12 b22 c12;11 c12;12 c12;21 c12;22 C= = a21 b11 a21 b12 a22 b11 a22 b12 c21;11 c21;12 c21;21 c21;22 a21 b21 a21 b22 a22 b21 a22 b22 c22;11 c22;12 c22;21 c22;22 или, иначе, одновременно переставляя строки и столбцы.Положим, что A и B суть диагональные матрицыA = [γ1 , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
