Главная » Просмотр файлов » 1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143

1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 54

Файл №824740 1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (Курс высшей математики. В 5-ти т. Т. 3 Ч1 Смирнов В. И. 2010) 54 страница1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740) страница 542021-01-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 54)

+ ak xl−k y k + . . . + al y l .(114)316Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [71Покажем, что существуют два линейно независимых полиномавида (114), которые являются решением уравнения (112), и всякое решение уравнения (112), представляющееся однородным полиномом степени l, должно быть линейной комбинацией этих двухполиномов с постоянными коэффициентами.

Действительно, коэффициенты полинома (114) выражаются по формуламak =∂ l ϕl (x, y)1.(l − k)!k! ∂xl−k ∂y kНо раз этот полином должен удовлетворять уравнению (112),то мы можем двукратное дифференцирование по y заменить двукратным дифференцированием по x при одновременном изменениизнака, так как уравнение (112) можно переписать в виде∂2U∂2U=− 2.2∂y∂xТаким образом, мы получим для коэффициентов ak выраженияследующего вида:ak = ±∂ l ϕl1(l − k)!k! ∂xlилиak = ±∂ l ϕl1,(l − k)!k! ∂xl−1 ∂yт. е.

все коэффициенты полинома (114) выразятся через коэффициенты a0 и a1 . Это рассуждение показывает нам, что существуетне больше двух линейно независимых однородных полиномов, удовлетворяющих уравнению (112). Покажем теперь, что такие дваразличных полинома действительно существуют. Рассмотрим дляэтого однородный полиномωl (x, y) = (x + iy)l .Раскрывая скобки и отделяя вещественную и мнимую части, получим:ωl (x, y) = ϕl (x, y) + iψl (x, y),где полиномы ϕl (x, y) и ψl (x, y) — вещественные однородные полиномы степени l, линейно независимые друг от друга. Дифференцируя ωl (x, y), получим:∂ 2 ωl (x, y)= l(l − 1)(x + iy)l−2 ;∂x271]§ 6. Линейные представления групп317∂ 2 ωl (x, y)= −l(l − 1)(x + iy)l−2 ,∂y 2т.

е. ωl (x, y) удовлетворяет уравнению (112). То же самое, следовательно, можно сказать и о вещественной и мнимой части этоговыражения, т. е. полиномы ϕl (x, y) и ψl (x, y) и дают нам два искомых решения уравнения (112). Введем полярные координатыx = r cos ϕ;y = r sin ϕ,откудаωl (x, y) = ri eilϕ .При этом полиномы ϕl и ψl примут очень простой вид:ϕl (x, y) = rl cos lϕ;ψl (x, y) = rl sin lϕ.Повернем плоскость XY вокруг начала на некоторый угол ϑ:x = x cos ϑ − y sin ϑ,y = x sin ϑ + y cos ϑ.(115)Нетрудно видеть, что при этом уравнение (112) останется инвариантным, т.

е., точнее говоря, в новых переменных уравнениебудет выглядеть совершенно так же:∂2U∂2U+ 2 = 0.2∂x∂y(116)Это можно непосредственно проверить, пользуясь формулами(115) и правилом дифференцирования сложных функций. Крометого, указанное обстоятельство непосредственно вытекает из того, что левая часть уравнения (113) имеет определенное значение,не зависящее от выбора осей, и, следовательно, имеет одну и туже форму при любом выборе прямолинейных прямоугольных осей.Полиномы ϕl (x , y ) и ψl (x , y ) должны удовлетворять уравнению(116), а следовательно, и уравнению (112), а потому они должнылинейно выражаться через ϕl (x, y) и ψl (x, y). Это и дает нам линейное представление группы вращения плоскости.318Гл. III.

Основы теории групп и линейные представления групп [71Вместо указанных двух полиномов возьмем два других полинома, которые являются их линейными комбинациями:ϕl (x, y) = ϕl (x, y) − iψl (x, y); ψl (x, y) = ϕl (x, y) + iψl (x, y)илиϕl (x, y) = (x − iy)l = rl e−ilϕ ;ψl (x, y) = (x + iy)l = rl eilϕ .Эти полиномы испытывают следующее преобразование:ϕl (x , y ) = rl e−il(ϕ+ϑ) = e−ilϑ ϕl (x, y),ψl (x , y ) = rl eil(ϕ+ϑ) = eilϑ ψl (x, y),т. е. преобразованию (115) соответствует в линейном представленииматрица −ilϑe0 ,0eilϑ где угол ϑ может иметь любое значение.

Из вида матриц непосредственно вытекает, что это линейное представление имеет приведенную форму. Оно дает два линейных представления первогопорядка, определяемых числами e−ilϑ и eilϑ . Во всех предыдущихрассуждениях целое число l могло иметь любое значение. Мы получили таким образом те же самые линейные представления группывращения плоскости, которые мы имели и раньше в [69].Перейдем теперь к уравнению Лапласа с тремя переменными∂2U∂2U∂2U++=0∂x2∂y 2∂z 2(117)div grad U = 0.(118)илиРассмотрим и здесь однородные полиномы степени l с тремяпеременнымиϕl (x, y, z) = a0 z l + X1 (x, y)z l−1 + X2 (x, y)z l−2 + .

. . ++ Xl−1 (x, y)z + Xl (x, y), (119)71]§ 6. Линейные представления групп319где Xk (x, y) — однородный полином степени k своих аргументов.Каждый такой полином Xk (x, y) содержит (k + 1) произвольныхкоэффициентов, так что в общем однородный полином ϕl (x, y, z)степени l с тремя переменными будет содержать следующее числопроизвольных коэффициентов:1 + 2 + 3 + . . . + (l + 1) =(l + 1)(l + 2).2Подставляя выражение (119) в уравнение (117), получим слева однородный полином степени (l − 2), и, приравнивая его коэффициенты нулю, получим (l−1)lоднородных уравнений с (l+1)(l+2)22неизвестными коэффициентами полинома ϕl (x, y, z). Мы имеем:(l + 1)(l + 2) (l − 1)l−= 2l + 1,22и, следовательно, по крайней мере (2l + 1) коэффициентов в полиноме ϕl (x, y, z) останутся произвольными, т.

е. будет существоватьпо крайней мере (2l + 1) линейно независимых однородных полиномов степени l, удовлетворяющих уравнению (117). Пользуясь темже методом, что и для двух переменных, можно показать, что ихбудет и не больше, чем (2l + 1), т. е. их будет в точности (2l + 1).Обозначим эти полиномы черезψs(l) (x, y, z) (s = 1, 2, .

. . , 2l + 1).Если(x , y , z ) = U · (x, y, z)есть некоторое вращение трехмерного пространства вокруг начала,то при этом уравнение (117) остается инвариантным, и полиномы(l)ψs (x, y, z) дают некоторое линейное представление группы вращения трехмерного пространства, порядка (2l + 1).В дальнейшем мы подробно изложим теорию этих гармонических полиномов и выведем для них явные выражения.

Мы увидим,что их всегда можно выбрать так, что они будут ортогональнымии нормированными в любой сфере с центром в начале. При этом320Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [72доставляемое ими линейное представление группы вращения будет унитарным. Можно показать, что это и будет как раз линейноепредставление, эквивалентное представлению Dl {α, β, γ}, котороемы построили в [69]. Позже мы вернемся к этому вопросу.72. Прямое произведение матриц. Пусть имеются две матрицы b11 b12 . . . b1m a11 a12 .

. . a1n b21 b22 . . . b2m a21 a22 . . . a2n A= и B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . .bm1 bm2 . . . bmm an1 an2 . . . ann (120)первая — порядка n и вторая — порядка m. Составим новую матрицу C с элементами Cij;kl , которые получаются от перемножениякаждого элемента матрицы A на каждый элемент матрицы B:{C}ij;kl = cij;kl = aik bjl .(121)В данном случае роль первого значка играет совокупность двухцелых чисел (i, j), а роль второго значка — совокупность целых чисел (k, l), причемi и k = 1, 2, . . . , n;j и l = 1, 2, .

. . , m.Иными словами, мы имеем здесь особый способ наименованиястрок и столбцов, а именно: строки и столбцы именуются совокупностью двух целых чисел, причем первое число принимает значениеот 1 до n, а второе — от 1 до m. Мы можем, конечно, перенумеровать строки и столбцы обычным образом, т. е. простыми целымичислами, которые идут от 1 до nm, причем каждой паре чисел (i, j)или (k, l) соответствует определенное целое число при новой нумерации, и если эти пары одинаковы, то и соответствующие целыечисла одинаковы. Эту нумерацию простыми целыми числами можно делать различным способом. При переходе от одного способак другому дело сведется к некоторой перестановке одновременно72]§ 6. Линейные представления групп321строк и столбцов, т. е. к переходу к подобной матрице, что в дальнейшем не будет иметь никакого значения.Матрица C называется прямым произведением матриц A и B,и обозначается это обычно следующим образом:C = A × B.(122)Порядок множителей в этом последнем произведении нового типа не играет никакой роли.Положим, например, что обе матрицы (120) будут матрицамивторого порядка.

В том случае их прямое произведение будет матрицей четвертого порядка, которую мы можем написать, например,в следующем виде: a11 b11 a11 b12 a12 b11 a12 b12 c11;11 c11;12 c11;21 c11;22 a11 b21 a11 b22 a12 b21 a12 b22 c12;11 c12;12 c12;21 c12;22 C= = a21 b11 a21 b12 a22 b11 a22 b12 c21;11 c21;12 c21;21 c21;22 a21 b21 a21 b22 a22 b21 a22 b22 c22;11 c22;12 c22;21 c22;22 или, иначе, одновременно переставляя строки и столбцы.Положим, что A и B суть диагональные матрицыA = [γ1 , . . .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,98 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее