1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Основы теории групп и линейные представления групп [67Из теоремы I непосредственно следует, что в теореме из [65] нетнеобходимости упоминать об унитарности представления, и можно вообще утверждать, что если все матрицы некоторого представления оставляют неизменным некоторое подпространство, тотакое представление приводимо. Очевидно и обратное утверждение.67. Абелевы группы и представления первого порядка.Группа G называется абелевой, если все ее элементы попарно коммутируют, т.
е. если при любых значках Ga2 Ga1 = Ga1 Ga2 [56].Пусть Aa1 и Aa2 — матрицы, соответствующие Ga1 и Ga2 в некотором линейном представлении. Произведению Ga2 Ga1 соответствует Aa2 Aa1 , а произведению Ga1 Ga2 соответствует Aa1 Aa2 . Но упомянутые произведения совпадают, и, следовательно, мы должныиметь:Aa2 Aa1 = Aa1 Aa2 ,т. е.
матрицы, образующие линейное представление абелевой группы, попарно коммутируют.Положим, что представление унитарно, т. е. что все матрицыунитарны. При этом, как известно, существует такое унитарноепреобразование U , что все матрицы U Aa U −1 имеют чисто диагональную форму [42], т. е. в данном случае некоторое эквивалентное линейное представление состоит из чисто диагональныхматриц(a)U Aa U −1 = [k1 , .
. . , kn(a) ].Мы видим, таким образом, что в данном случае линейное представление распадается на n представлений первого порядка:Ba(s) = ks(a)(s = 1, 2, . . . , n).Итак, всякое унитарное представление абелевой группы эквивалентно некоторой совокупности представлений первого порядка, причем переход к эквивалентному представлению совершаетсятакже с помощью унитарного преобразования.Рассмотрим теперь ряд примеров представлений абелевыхгрупп, а также некоторые примеры линейных представлений первого порядка и не абелевых групп.67]§ 6.
Линейные представления групп297П р и м е р 1. В качестве первого примера рассмотрим циклическую (абелеву) группу порядка m, состоящую из элементовS 0 = I, S, S 2 , . . . , S m−1(S m = I).(90)Если элементу S соответствует линейное преобразование x =ωx, или, что то же, число ω, то элементам (90) будут соответствовать следующие числа:1, ω, ω 2 , . .
. , ω m−1 .Поскольку S m = I, мы должны иметь ω m = 1, т. е.ω=e2kπim,где k — некоторое целое число, которое мы можем, очевидно, принимать равным одному из чисел ряда 0, 1, 2, . . . , m − 1.Рассмотрим подробнее случай m = 2. При этом будет:I, S и S 2 = I,т. е. S = S −1 . При k = 0 обоим элементам I и S соответствует одно ито же тождественное преобразование x = x или число 1; при k = 1элементу I соответствует преобразование x = x, а элементу S —преобразование x = −x, или, проще говоря, элементу I — число 1,а элементу S — число (−1). В физических применениях представляется важным тот случай, когда группа состоит из тождественногопреобразования трехмерного пространства и преобразования симметрии относительно начала:x = −x;y = −y;z = −z(S).Мы имеем, очевидно, m = 2.
Указанные выше два представления можно назвать тождественным и знакопеременным представлением симметрии относительно начала.П р и м е р 2. Рассмотрим группу вращения вокруг оси Z. Матрицы этой группы имеют видcos ϕ − sin ϕ.(91)Zϕ = sin ϕcos ϕ298Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [67и, кроме того, как мы видели раньше, удовлетворяют очевидномусоотношениюZϕ2 Zϕ1 = Zϕ1 Zϕ2 = Zϕ1 +ϕ2 .Такому же соотношению удовлетворяет также функция elϕ .Но надо заметить, что если ϕ = 2π, то поворот равносилен тождественному преобразованию, и, следовательно, мы должны иметьe2πl = 1, т.
е. число l должно быть вида l = ki, где k — любое целоечисло. Мы имеем, таким образом, бесчисленное множество линейных представлений нашей группы вращения, причем матрице (91)соответствует число eϕki .Придавая целому числу k всевозможные значенияk = 0, ±1, ±2, . . . ,мы и будем иметь бесчисленное множество линейных представлений группы вращения.П р и м е р 3. Рассмотрим теперь группу, состоящую из n! перестановок над n элементами. Мы можем каждой перестановке сопоставить число (+1). Так получится то, что называется симметрическим представлением группы перестановок.
Иначе, мы можемвсякой перестановке первого класса, состоящей из четного числатранспозиций, сопоставить число (+1), а всякой перестановке второго класса — число (−1). Таким образом получится то, что называется антисимметрическим представлением группы перестановок. Вэтом представлении всякой перестановке из знакопеременной подгруппы соответствует число (+1), а остальным перестановкам соответствует число (−1). Можно показать, на чем мы не останавливаемся, что указанными двумя случаями и исчерпываются всевозможности линейных представлений первого порядка для группы перестановок.
Эта группа имеет и другие представления вышепервого порядка.П р и м е р 4. Рассмотрим теперь группу всех вещественных ортогональных преобразований на плоскости, т. е. группу, образованную вращениями плоскости вокруг начала, соединенными с симметрией относительно оси Y . Как мы видели выше [52], матрицы68]§ 6. Линейные представления группэтой группы будут иметь видd cos ϕ −d sin ϕ,{ϕ, d} = sin ϕcos ϕ 299(92)где d = 1 для чистого вращения и d = −1 для вращения, соединенного с симметрией. Кроме очевидного линейного представленияпервого порядка, при котором каждой матрице (92) соответствуетчисло (+1), мы можем построить еще линейное представление первого порядка, при котором матрице (92) соответствует число (+1),если d = 1, и число (−1), если d = −1.
Это даст нам действительно линейное представление, так как произведение двух матрицвида (92) соответствует чистому вращению, если d имеет одинаковые знаки, и вращению с симметрией, если d имеет разные знаки вперемножаемых матрицах.68. Линейные представления унитарной группы с двумяпеременными. Рассмотрим линейные представления унитарнойгруппы с двумя переменными. Эта группа, как мы знаем, имеетвидx1 = ax1 + bx2 ,(93)x2 = −bx1 + ax2 ,где комплексные числа a и b должны подчиняться условиюaa + bb = 1.(94)Построим (m + 1) величин:ξ0 = xm1 ;ξ1 = xm−1x2 ;1...;ξm = xm2 .(95)Если мы возьмем ξk = xm−kxk2 и подставим вместо x1 и x2 их1выражения (93), то, очевидно, каждое ξk выразится линейно черезξk и, следовательно, всякому преобразованию из группы (93) будетсоответствовать линейное преобразование от переменных ξ к переменным ξk . Очевидно, что произведению преобразований будет соответствовать произведение преобразований, и мы будем иметь, таким образом, линейное представление группы (93) порядка (m + 1).300Гл.
III. Основы теории групп и линейные представления групп [68Но, как оказывается, это представление не будет унитарным. Чтобыпостроить унитарное представление, достаточно в каждое из переменных (95) ввести некоторый дополнительный постоянный множитель, и именно вместо формул (95) мы определим переменныепо следующим формулам:xm−k xk2ηk = 1(m − k)!k!и точно так же:xm−k xk2ηk = 1(m − k)!k!(k = 0, 1, . . . , m)(961 )(k = 0, 1, . .
. , m),(962 )где, как всегда, считается 0! = 1.Проверим, что при таком определении переменных наше представление будет унитарным, т. е. чтоmηk η k =k=0m(97)ηk η k .k=0Действительно, применяя формулу бинома Ньютона, имеем:m! ·mηk η k = m!k=1mxm−k xm−k xk xk1k=012(m − k)!k!2= (x1 x1 + x2 x2 )m ,и точно так же:m! ·mηk η k = (x1 x1 + x2 x2 )m .k=0Но, в силу унитарности преобразования (93),x1 x1 + x2 x2 = x1 x1 + x2 x2 ,и, следовательно, имеет место и соотношение (97).Выведем теперь формулы, которые дают в явном виде коэффициенты построенного унитарного представления группы (93). С68]§ 6.
Линейные представления групп301этой целью несколько изменим предыдущее обозначение, а именноположим:xj+l xj−lηl = 1 2(j + l)!(j − l)!(l = −j, −j + 1, . . . , j − 1, j).(98)В наших прежних обозначениях m = 2j, и число j будет целым,если m — четно, и будет равно половине целого нечетного числа,если m — нечетное число. Если, например, m = 5, то формулы (98)дают нам следующие шесть переменных:x5x1 x4η− 52 = √ 2 ;η− 32 = √ 2 ;5!1!4!3 24x xx x2η 12 = √1 2 ;η 32 = √1 ;3!2!4!1!x2 x3η− 12 = √1 2 ;2!3!x5η 52 = √ 1 .5!В данном случае наши переменные пронумерованы не первымишестью целыми числами, а дробными числами, которыеотличаются друг от друга на единицу и идут от − 52 до + 52 .
Если,например, m = 4, то мы имеем по формулам (93) пять переменных:x4η−2 = √ 2 ;4!x1 x3x2 x2η−1 = √ 2 ; η0 = √1 2 ;1!3!2!2!34x x2xη1 = √1 ; η2 = √ 1 .3!1!4!Здесь нумерация переменных совершается целыми числами от(−2) до (+2). При всяком фиксированном m = 2j мы будем иметьсовершенно такую же нумерацию строк и столбцов в матрицах, которые будут давать линейное представление порядка (2j+1) группы(93).Перейдем теперь к определению элементов этих матриц. Мыимеем:xj+l xj−l(ax1 + bx2 )j+l (−bx1 + ax2 )j−l2ηl = 1=,(j + l)!(j − l)!(j + l)!(j − l)!302Гл. III.
Основы теории групп и линейные представления групп [68и нам надо представить правую часть в виде линейной комбинациивеличин ηl . Применение формулы бинома Ньютона дает:η =j+l j−lj−l−k(−1)k=0 k =0(j + l)!(j − l)!×k!k !(j + l − k)!(j − l − k )!× ak aj+l−k bj−l−k k 2j−k−k k+kb x1x2 .Если мы будем считать p! = ∞, когда p есть целое отрицательное число, то можем в предыдущей формуле производить суммирование по k и k от (−∞) до (+∞), ибо лишние слагаемые будутсодержать в знаменателе множитель, равный бесконечности, и обратятся в нуль. Введем вместо k новую переменную суммированияs = j −k −k , по которой тоже можно производить суммирование от(−∞) до (+∞) по целым значениям или по половинам целых значений, смотря по тому — будет ли j целым числом или половинойцелого числа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
