1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Введем некоторые орты x(1) , x(2) , . . . , x(k) в Lk и орты x(k+1) , . . . ,x(n) в дополнительном подпространстве Mn−k . Всякая сопряженная совокупность элементов будет состоять, в силу сказанного выше, из векторов:c1 x(1) + c2 x(2) + . . . + ck x(k) + ck+1 x(k+1) + . . . + cn x(n) ,причем ck+1 , . . . , cn имеют фиксированные значения, а c1 , c2 , .
. . , ck — могутпринимать любые значения.Таким образом, всякой сопряженной совокупности мы можем сопоставитьопределенный вектор из Mn−k , и, наоборот, всякому вектору из Mn−k соответствует определенная сопряженная совокупность. Сложению двух векторов изкаких-либо двух сопряженных совокупностей соответствует сложение соответствующих этим совокупностям векторов из Mn−k .
Иначе говоря, элементамидополнительной группы можно считать векторы из Mn−k при прежней групповой операции (сложение векторов).В этом примере порядок нормального делителя H и его индекс равны бесконечности.60]§ 5. Основы общей теории групп26760. Изоморфные и гомоморфные группы. Две группы Aи B называются изоморфными, если между их элементами можноустановить такое соответствие, что каждому элементу из A соответствует определенный элемент из B, и наоборот, всякому элементу из B соответствует определенный элемент A (биоднозначноесоответствие), причем это соответствие таково, что произведениюдвух каких-либо элементов из A соответствует произведение соответствующих элементов из B. Если A и B — изоморфные абстрактные группы, то они имеют совершенно одинаковую структуру, т. е.по существу не отличаются одна от другой.Перейдем теперь к установлению нового понятия, которое является обобщением понятия изоморфных групп.
Группа B называется гомоморфной группе A, если каждому элементу A соответствует определенный элемент B, причем каждый элемент из B соответствует хоть одному элементу из A, и это соответствие таково,что произведению двух элементов из A соответствует произведение соответствующих элементов из B. В данном случае в отличие от изоморфных групп соответствие не должно быть обратнооднозначным, т. е. один и тот же элемент группы B может соответствовать нескольким различным элементам группы A. Если группаB гомоморфна группе A, и каждому элементу из B будет соответствовать один определенный элемент из A, то эти группы будут иизоморфными. Заметим, кроме того, что если элементам A1 и A2из A соответствуют элементы B1 и B2 из B, то по определениюэлементу A2 A1 из A соответствует элемент B2 B1 из B.Пусть A0 — единичный элемент из A и B0 — соответствующийэлемент из B.
Нетрудно показать, что и B0 будет единичным элементом. Действительно, для любого A1 из A имеем равенствоA0 A1 = A1 A0 = A1 ,которое приводит к равенству соответствующих элементов из B:B0 B1 = B1 B0 = B1 ,причем по определению гомоморфизма B1 можно считать любымэлементом из B. Последнее равенство показывает, что B0 есть единичный элемент группы B. Итак, в изоморфных и гомоморфных268Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [60группах единичному элементу из A соответствует единичный элемент из B.
Возьмем теперь два обратных элемента A1 и A−1из1A, и пусть B1 и B2 — соответствующие элементы из B. Равенство−1A1 A−11 = A1 A1 = A0 , где A0 — единичный элемент, дает, по определению гомоморфных групп, B1 B2 = B2 B1 = B0 , где по предыдущему B0 — единичный элемент, а потому B2 = B1−1 , т. е. обратнымэлементам из A соответствуют и обратные элементы из B.Положим, что наши группы только гомоморфны, но не изоморфны.
Рассмотрим совокупность элементов Ca в группе A, которым соответствует единичный элемент B0 из B. Если Ca соответствует B0 , то по предыдущему Ca−1 соответствует B0−1 = B0 ,и всякому произведению Ca2 Ca1 соответствует также B0 B0 = B0 ,т. е. совокупность элементов Ca группы A, которым соответствуетединичный элемент из B, образует некоторую подгруппу C группы A.Покажем, что эта подгруппа будет нормальным делителем.
Действительно, пусть A1 — какой-нибудь элемент группы A и B1 — соответствующий элемент из B. Всякому элементу вида A1 Ca A−11 соответствует в B элемент B1 B0 B1−1 , или в силу основного свойстваединичного элемента можно утверждать, что всякому элементу вида A1 Ca A−1соответствует единичный элемент из B, т. е. всякий1элемент вида A1 Ca A−11 есть один из элементов Ca , т. е.
он принадлежит подгруппе C, а следовательно, эта подгруппа C есть нормальный делитель. Рассмотрим теперь разбиение группы A на сопряженные совокупности по схемеCa , A1 Ca , A2 Ca , . . .(44)Пусть Bk — элемент, соответствующий Ak . Возьмем два элемента Ak Ca1 и Ak Ca2 , принадлежащих одной и той же сопряженнойсовокупности. Им будут соответствовать элементы Bk B0 и Bk B0 ,т. е. один и тот же элемент Bk из B.Элементам из разных сопряженных совокупностей Ak Ca и Al Caсоответствуют элементы Bk и Bl . Покажем, что эти последние элементы различны.
Действительно, если бы они были одинаковы, тоэлементу A−1k Al соответствовал бы единичный элемент B0 из B,т. е. элемент A−1k Al должен был быть одним из элементов Ca , т. е.61]§ 5. Основы общей теории групп269мы имели бы A−1k Al = Ca0 , т. е. Al = Ak Ca0 , что противоречитсхеме (44). Итак, если группа B гомоморфна группе A, то совокупность элементов C из A, соответствующих единичному элементу из B, образует нормальный делитель, и всякая сопряженнаясовокупность с этим нормальным делителем представляет собоюсовокупность всех элементов A, которым соответствует один итот же элемент из B.
Из определения гомоморфных групп следует непосредственно, что произведению двух каких-либо элементов из различных (или одинаковых) сопряженных совокупностейсоответствует произведение тех элементов группы B, которые соответствуют упомянутым сопряженным совокупностям, т. е., короче говоря, всякой сопряженной совокупности из A соответствуетопределенный элемент из B, различным сопряженным совокупностям соответствуют различные элементы из B, и это соответствиеустанавливает изоморфность группы B с дополнительной для Caгруппой в A.В качестве примера возьмем опять группу вещественных ортогональных преобразований в трехмерном пространстве и сопоставим каждому такому преобразованию число, равное определителюпреобразования, определив умножение в области этих чисел обычным образом, как умножения чисел. В данном случае наша группа будет гомоморфна группе, состоящей из двух элементов (+1)и (−1), причем умножение для этих двух элементов определяетсяобычным образом, как умножение чисел.
Роль единичного элементабудет играть (+1). Для этого примера нормальный делитель будетпредставлять собою группу вращения.Если группа B гомоморфна, но не изоморфна группе A, то совокупность элементов группы A, которым соответствует единичныйэлемент из B, называется обычно ядром гомоморфизма. Мы видели, что ядро гомоморфизма является нормальным делителем группы A.61. Примеры.
1. Возьмем группу G вещественных ортогональных преобразований в трехмерном пространстве, сопоставим каждому такому преобразованию число, равное определителю этого преобразования, и определим групповую операцию для этих чисел как их обычное умножение. При этом группаG , состоящая из чисел (+1) и (−1) при обычном умножении этих чисел, будетгомоморфной группе G. Единичный элемент (+1) группы G соответствует вра-270Гл.
III. Основы теории групп и линейные представления групп [61щениям трехмерного пространства из G. Эти вращения образуют нормальныйделитель, а дополнительной группой является циклическая группа порядка два[59].2. Возьмем на плоскости XY правильный треугольник с вершинами:(cos 120◦ , sin 120◦ );(1, 0);(cos 240◦ , sin 240◦ )и образуем группу G, состоящую из вращений плоскости вокруг начала на угол0◦ , 120◦ , 240◦ , при которых треугольник переходит в себя, и из симметрииплоскости относительно оси X с последующим вращением на угол 0◦ , 120◦ ,240◦ . Это будет группа диэдра при n = 3.Выпишем все матрицы, соответствующие элементам этой группы:√ 1 −11 1 03022; B = 1√; A=E=;1 0 −10 1322√ √ √ 1 −1 −1 −1− 12 33− 12 32222C = 1√;D=;F=√√.1−− 1 3 1 33−1 −1 222222Если мы обратимся к схеме умножения, определенной таблицей (34) из[56], то увидим, что эта схема умножения как раз и соответствует умножениюматриц, образующих нашу группу. Выше мы видели [59], что упомянутая схемаумножения соответствует также симметрической группе перестановок из трехэлементов:E; A = (2, 3);B = (1, 2);C = (1, 3);D = (1, 3, 2);F = (1, 2, 3).(45)Таким образом, если мы будем считать элементы этих двух групп, обозначенные одной и той же буквой, соответствующими, то эти две группы будутизоморфными.
Перестановки группы (45) соответствуют перестановкам вершин упомянутого выше треугольника, если их занумеровать соответствующимобразом.Совершенно так же, как об этом мы уже упоминали в [59], группа тетраэдраизоморфна знакопеременной группе при n = 4.3. Можно указать общий прием построения групп перестановок, гомоморфных данной группе G. Пусть H — какая-либо подгруппа группы G конечногоиндекса n. Напишем соответствующие ей сопряженные совокупности элементов:H, HS1 , HS2 , .
. . , HSn−1 .Если мы умножим каждую из этих совокупностей справа на некоторыйэлемент S из G, то произойдет лишь некоторая перестановка порядка этихсовокупностей, и будем считать, что эта перестановка и соответствует взятомуэлементу S из G. Нетрудно показать, что таким образом и получится группаG перестановок, гомоморфная группе G.Для того чтобы элементу S из G соответствовал единичный элемент из G ,необходимо и достаточно, чтобы при умножении справа на S всякая сопряженная совокупность переходила в себя, т. е.
чтобыHα S = HβиH α S k S = Hβ S k(k = 1, 2, . . . , n − 1),62]§ 5. Основы общей теории групп271где Hα — любой элемент H и Hβ также принадлежит H. Написанные равенстваможно переписать в виде−1S = HαHβ ;S = (Sk−1 Hα Sk )−1 (Sk−1 Hβ Sk ),и из них следует, что, для того чтобы элементу S соответствовал единичныйэлемент из G , необходимо и достаточно, чтобы S одновременно принадлежалоH и всем подобным подгруппам Sk−1 HSk .Если H — нормальный делитель G, то указанное требование сводится ктому, что S принадлежит H, и группа G в этом случае изоморфна дополнительной группе.
Если H сводится к одному единичному элементу, то группа G изоморфна группе перестановок G , которая получается, если элементыгруппы G:E, S1 , S2 , . . . , Snумножим справа на любой элемент S из G, что приведет к некоторой перестановке элементов G. В дальнейшем мы подробно рассмотрим построение групплинейных преобразований, изоморфных заданной группе.62. Стереографическая проекция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
