1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Предел. Отображения372== (1 + xy)1/(x +y2 ); 11) U == (1 + xy)1/(lx l+ 1Y1 );212) u == (cos J х 2 + у2) _1/(x +y2) .10) u49. Найти:1) lim 2х---+2 Хy---+l4) lim~=t~6)х2-+ 2х .ху SlП -4у22ху - 4у2) limх---+Оsш ху. 3) lim (1 + х )1/(х+х 2у );х'х---+Оy---+lу---+21гху;;5)lim (J4(x 4 + у4)х---+ооJx 2 + у2+ 6 + V~X-2-+-у-2.~=t~ Jx 4 + у4 + 2(1 + х 2 у 2) - Jx 2 + у2 'lim+ 13(х 2 + у2) + 8х 2 у 2- 7 - 2(х 2+ у2)).у---+оо50. Найти функции fi(X) х Е Rn , nиз которых при х---+> 1, i == 1,2, ... , n,для каждой00 не существует ни конечного, ни бесконечногоn2предела, а х---+ооlim '"""" fi (x) ==~+00.i=l51.Выяснить, является ли функцияu == {x yj (xВ точке (О; О)2О,+ у2),еслиеслих2х2+ у2 1: О,+ у2 == О,:1) непрерывной по х; 2) непрерывной по у; 3) непрерывной.52.Найти значение а, при котором функцияu _ { (х 2 - y2)j(x 2 + у2),а,еслих2еслих2+ у2 1: О,+ у2 == О,В точке (О; О) является:1) непрерывной по х; 2) непрерывной по у;3) непрерывной по кривой у == ауГх, а 1: О; 4) непрерывной.53.Найти значение а, при котором функцияu _ { (х 3 - xy2)j(x2а,+ у2),еслих2если2х+ у2 1: О,+ у2 == О,В точке (О; О) является:1) непрерывной по прямой х2) непрерывной.54.== at,у== {3t,а2+ {32 1: О;Найти значение а, при котором функцияu _ {x 2yj (x 4 + у2),а,еслиеслих2х2+ у2 1: О,+ у2 == О,В точке (О; О) является:1) непрерывной по прямой х == at, у == {3t, а 2 + {32 1: О;2) непрерывной по кривой у == ах 2 ; 3) непрерывной.55.
Является ли функция uсвоей области определения?==(х+ у2) j (х -у2) непрерывной на38Гл.1.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхНайти значение а, при котором функция56.и==1{х+уe-l/lх+УI,а,еслиХ +уеслиХ1: о,+ у == О,является непрерывной в R2 .Найти значения а и Ь, при которых функция57.u =={ J9 -а,х2еслиJхх 2 - у2 -2+ у2Ь,~ 4,< х + у2 ~ 9,х + у2 > 9,если- 4,+ у2242еслинепрерывна в R2 .Найти значения а и Ь, при которых функция58.а,U=={+ у2 == О,1 ~ х 2 + у2 < 4,х + у2 ~ 4,еслиJ5(x 2 + у2) - 4 - (х 2+ у2)2,х2еслиЬ,если2является непрерывной на своей области определения.Найти значения а и Ь, при которых функция59.nеслиа,Х ~ == о'""""~'li=l,пппu=Lx;/ln(l-Lxn,i=lеслиi=lO<Lx;<l,nеслиЬ,i=lLX; ~ 1,i=lнепрерывна вRn.Доказать, что:60.функции fi(Xl;X2;nпространстве R ;1)2)еслиg(x),непрерывны вХ ЕR,...
;X n ) == Xi,== 1,2, ... ,n,iнепрерывны внепрерывна, то функцииfi(Xl; Х2; ... ; Х n ) == g(Xi),nпространстве R ;ni== 1,2, ... , n,3) функция f(Xl;X2; ... ;X n ) == LIXkl непрерывна в пространствеRn ,.4)веk=lфункцияf(Xl; Х2; ... ; Х n ) == шах IXk I непрерывна в пространстRn .61. Доказать, что функция f(x)k== р(х; Е),nХ Е R , где Е с Rпроизвольное непустое множество, непрерывна в пространстве62.nnR.Найти все точки разрыва, указать точки устранимого разрывафункции двух переменных:§ 2.ФУНffции неСffОЛЬffих nере.менных. Предел. Отображениях31) u ==х2+ у2х2. 2) u ==+ у2 'если х 2 + у2'4) u == {x/ J x 2 + у2,О,5) и== {(х +3у3)/(х+ у ),если8) и =10)+ sin 2 у ,еслии==(х 2 + у2 - 1) sin{О,;16) u == { х 2+ у2,[t] еслиО,еслих2у2если)О,-3) u ==4)6)uU====+ Z2),1х2+ у2 + Z2х2+ Z2 + 2(у2- 2х1х..
(у )Slnz '7){+ у2 == 1;12) и =1.lnI1-x 2 -4y 2 1'2+ у2+ у2еслих2х2если+ 2z -t;рациональное число,-иррациональное число.переменных:+ Z2 1: О,+ Z2 == о·,14 '5)·+ 1) ,u==Slnхyz ;== { sin(xyz) / z, если Z 1: О,Х2 ,е сл иZ == О ;+ Z2 1: О,7г /2,если х + Z2 == О;e-1/z2 если Z -1- О, х 2 + у2 + Z2 -1- 2z,1х 2 + у2 + Z2 - 2z'1IО,если Z == О или х + у2 + Z2 == 2z;8) u == { arccos(x 2 /(x 29) u ==.+5'14) u == [Jx 2 + у2];х2_ yz _ уuх2целая часть числах-если у 1: О,если у == О;63. Найти все точки разрыва функции трех1 u _ {х 2у /(у2 + Z2), если у2 + Z2 1: О,) О,если у2 + Z2 == О;2 u _ {х 2у /(х 24у2х-.-::f- х,у==х;13) u == sign (1 -Ixl - 2Iyl);[у / х], здесь+ у2+ у == О;уесли+2+ у2 '2 'если х 2 + у2 1: 1,-у1-хесли11) u - {e-l/IX-YI,х 2 -5х+6,15) u ==х9) и = xsin2sin xsiny .sin 4 х + sin 2 у ,ху - 2х - уx+YI:O,7) u == { х sin (l, /у),O1sin 2 хх21: О,+ у2 == О;х2если3,6) u ==.
3) u ==х239+ Z2)),еслих22210) u==1/(1nlx 2 +y2- z 21).64. Найти область определенияu== arccosфункции двух переменных1х2+у2-1и выяснить, является ли эта функция непрерывной на своей областиопределения.Гл.401.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхВыяснить, является ли функция65.еслиесли+ у 1: О,х + у == О,хнепрерывной на своей области определения.66. Доказать, что если функция f(x) непрерывна в точке ха Е Rn ,с Е R и f(x a) > с, то существует окрестность точки ха, для всех точеккоторой верно неравенствоf (х) > с.Rn функции естьДоказать, что с-уровень непрерывной в67.замкнутое множество.Пусть функция68.f(x)непрерывна в пространствеRn и с Е R.<Доказать, что множество точек х, для которых f(x)с, открытоnв R , а множество точек х, для которых f(x) ~ с, замкнуто.Пусть69.прерывна накоторыхF с Rn F и с Е R.f(x) ?непрерывна подЛЯF,с, замкнуто.хиf(x;у) в некоторой областиравномерно относительноу) непрерывна вхнепрерывна поу,GтоG.Доказать, что если функция71.неf(x)Доказать, что множество точек х ЕДоказать, что если функция70.f(x;замкнутое множество, функцияf(x;у) в областиGнепрерывнапо х, а по у удовлетворяет условию Лиnшица, т.
е.тоf(x;If(x; у') - f(x; y")1непрерывна в G.у)~LIY' -y"l,L-const,Доказать, что если функция f(x; у), (х; у) Е Е, непрерывнапо х, а по у непрерывна и монотонна, то f(x; у), (х; у) Е Е, непре72.рывна.73.Пусть функциии1== f1(X1; Х2; ... ; х n ), ... , и т == fm(X1; Х2; ... ; х n ),непрерывны в точке (x~;рывна в точкеаxg; ...
; x~),аа функция F(U1; и2; ... ; и т ) непре-а(f1 (х 1 ; х 2 ; ... ; х n );m ~ n,а... ;ааfm(X 1; х 2 ; ... ; х n ))·Доказать, что композицияU == F(f1(X1; Х2; ... ; х n );непрерывна в точке (x~;74.Пусть функция... ;fm(X1;Х2;... ; х n ))xg; ... ; x~).f(x) непрерывна на линейно связномпусть f(a) == А, f(b) == В, А < В, а, Ьмножестве Е (§ 1, п. 2), иЕ Е.Доказать, что для любого числа С Е [А; В] существует точка с Е Етакая, что75.f(c) ==С.Дана функция1~ k< n.§ 2.ФУНffции неСffОЛЬffих nере.менных.
Предел. ОтображенияДоказать, что на сфере xif(c) ==точка с, что1 существует такаяl/п.fПусть функция76.+ x~ + ... + x~ ==41непрерывна и принимает как положительные, так и отрицательные значения на открытом множестве Е сЯвляется ли множество точек х Е Е, в которыхRn .f (х) 1: о:n1) открытым в R множеством; 2) областью?77. Исследовать на равномерную непрерывностьфункциюf(x;y)на множестве Х:1) f == 2х + 3у + 4, Х == R 2 ;2) f == ln(x 2 + у2), Х == {х 2 + у2 ~ 1};+ 1у2 -1'Х=={х 2 +у2<1}·,f == arcsin(y/x),Х== {Iyl <3)f==sin4)их2х}.78. Доказать, что если функция f определена в области G С Rnш(д· f· G)lim'д '== о, то f - постоянная функция.б---++О79.Доказать, что для равномерной непрерывности функцииf(x),nх Е Е с R , на множестве Х С Е необходимо и достаточно, чтобы lim w(б; f; Х) == о.б---++О80.Найти модуль непрерывности и исследовать на равномернуюнепрерывность функцию1) f == ах+ Ьу + с; 2)3) j = sin1;на ее области определения:f == Jx 2 + у2;4) j =212'+у81.
Найти колебание функции f на множестве1) f == х + 2у + 3, Х == {Ixl + lyl < 1};2) f == х 23) j=х+ у2fJx2+ у22: 2'уХ:+ у2 == 1};а) X=R 2, б) Х={х 2 +у2>2};- 2х+ 4у -Х1, Х == {х 24) f==1/(x 2 +xy+y2-2x-y+2), X==R 2;5) f == х + Ix - yl, Х == {Ixl ~ 1, lyl ~ 2};6) f == (х+у)е ХУ , Х == {о < х+у ~ 1};7) f == v!1 - х 2 + J 4 - у2 + v!9 - z2, Х - область определенияфункции;8) f == J144(1 - xi) - 36x~ - 16x~ - 9x~, Х -область определения функции.fnДоказать, что если функциянепрерывна в пространстве R ,nnто при любом неотрицательном Е множество Е == {х Е R : w(f; R ) ~82.~ Е} замкнуто.83. Найти образ окружности х 2 + у2 == 1 при отображении:1) и==2х, v==3y; 2) и==ах+ао, v==by+b o.Гл.4284.1.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхНайти образ прямой х1) u ==85.нииuУ, v==ху;Найти образ==х-ху,v====а при отображении:cos У, v == х sin у.квадрата О ~ х ~ 1, О ~2) u ==хУ ~при отображе1ху.86.
Найти образ области G С R2 , заданной неравенствами< 2, ху > 1, у < х + 1,отображении u == ху, v == х - у.хуприх2х+ у2v =='>х-+ у2 ==87. 1) Найти образ окружности х 2u ==ух2у1,2х при отображении.+ у2 'доказать, что образом каждой прямой и каждой окружности при этомотображении является либо окружность, либо прямая;2) найти образ окружности х 2и==+ у2 - 1(х + 1)2 + у2х+ у2 == 4при отображении2у2'v==(х+ 1)2 + у2.88. Найти образы:1) прямой х == а; 2) прямой у == Ь;3) области х 2 + у2 < 1, х > О, У > О;при отображении u==х 2 - у2 ,V==2ху.89.
Найти образы:1) окружностей: а) х 2 + у22) кривой у == Ixl, у i- О;== 1,при отображении и = ~+ х 2 ~ у2 )(1+ у2 == 1/4,б) х 2,v =в) х 2+ у2 == 4;~ ( 1 - х 2 ~ у2 )90. Найти образы:1) прямой х == а; 2) отрезка х == а, lyl ~ 1Г;3) прямой у == Ь, Ibl < 1г /2; 4) прямой у == ах + Ь, а i- О;при отображении u == е cos у,v == е sin у.91.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
