1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 11
Текст из файла (страница 11)
; хn + t cos аn) .1lIIlt---++atПроизводную функцииютf!(хl;... ; хn)по направлению вектора.1обозначад!т.Производную по единичному вектору1 называютной по направлению (направление вектора 1).Градиентом дифференцируемой функцииют вектор(Этот вектор обозначаютдд! ; дд! ; ... ; дд! ).хlgrad f.Х2ХNтакже производf (Хl ; Х2; ... ; Х n )называ-Частные nроuзводные§ 3.5.Частныепроизводныефункций,57заданныхненвно.nПусть функция F(x; и), х Е R , u Е R, равна нулю в точке (х О ; и О ) ==== (x~; ...
; x~; и О ) и непрерывна в некоторой ее окрестности, частнаяпроизводная F~ непрерывна в точке (х О ; и О ) и F~ (х О ; и О )о. Тогда вОнекоторой окрестности точки х существует единственная непрерывная функция u == f(x) такая, что и О == f(x O ), удовлетворяющая урав1:нениюF(x; и) ==о. Если, кроме того, частные производные F~k' k==== 1,2, ... , n, непрерывны в точке (х О ; и О ), то в точке х О существуютвсе частные производные функции u == f(x), причем,F~kfXk == - p~'Формулы(11)k == 1,2, ... , n.(11)можно записать в виде одной матричной формулы:(f~l; f~2; ... ; f~n) == - (F~) -1 (F~l; F~2; ...
; F~n).(12)При дополнительном условии непрерывности частных производных F~, F~k' k== f(x),== 1,2, ... , n,в окрестности точки (х О ; и О ), функцияF(x; и) == о,определяемая неявно уравнениемu ==будет непрерывно дифференцируемой в некоторой окрестности точки х О •Пусть функцииFi(x; и),х ЕRn ,uRm ,Еравны нулю в точке (х О ; и О ) == (x~;== 1,2, ... , т,i... ; x~; и~; ... ; u?n) и непрерывны внекоторой ее окрестности, а их частные производные (Fi)~k'i, k ==== 1,2, ... , т, непрерывны в точке (х ; и ) и определительО(F1 )~1О(F1 )~rп(13)(Fm)~l(Fm)~rпне равен нулю в точке (х О ; и О ).Тогда в некоторой окрестности точки х О существует единственная система непрерывных функцийи?ui == fi(X),== fi(X O ),i== 1,2, ...
, т,удовлетворяющая системе уравненийFi(x; и) ==о,i== 1,2, ... , т.Если, кроме того, частные производные (Fi)~k' kпрерывны в точке (х ; и ), то в точке хОпроизводные функцийОО== 1,2, ... , n,несуществуют все частныеui == fi(X), i == 1,2, ... ,т,причем(. (~~)t~l·· .:.: . (~:~)t~n·)~~1?~.1...:.:...(.~~~~~.)-1(.~~1~~~....::..~~l?~.п.)..((Fm)~l...(Fm)~rп(Fm)~l...(Fm)~n(14)Гл.581.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхПри дополнительном условии непрерывности частных производных функций F iции==Ui == fi(X),i == 1,2, ...
, т, в окрестности точки (х О ; и О ) функ,определяемые неявно системой уравненийFi(x; и) ==О, будут непрерывно дифференцируемыми в некоторой окрестности точки ХО.Формулаявляется частным случаем (т(12)Определительпеременным6.формулы== 1)называют ЯJliобианом системы функций(13)Ui, i == 1,2, ... , т,(14).Fiпои обозначаютд(Р1 ,... ,Рт )д(иl,... ,ит)оЗамена переменных. В различных вопросах математики иее приложенийчасто оказываетсяцелесообразным при рассмотрении выражений, содержащих какие-либо функции и их производные,перейти к другим независимым переменным, а иногда и к другимфункциям, которые связаны с исходными переменными и функциями определенными соотношениями о Целесообразность такого перехода объясняется обычно либо той ролью, которую играют новые переменные в изучаемом вопросе, либо тем, что в новых переменныхданное дифференциальное выражение значительно упрощаетсяо Призамене переменных используются правила дифференцирования сложных и неявно заданных функций (СМо ППо7.по2, 5)0Дифференцируемые отображения.
Отображение (СМо§ 2,4)с координатными функциямиUi == fi(Xl; Х2;Х n ),i == 1,2, 000' т,называют дифференцируемым в mОЧJliе х О == (X~; Xg; 000; X~), если существуют такие000;числаi==1,2,ooo,m,A ik ,k==1,2,ooo,n,что приращенияд.fi == fi(x7функцийfi+ д. Х l;000 ;X~+ д.Х n )-fi(x7;000;X~)В точке ХО представимы в виде/).!i =~Aik/).XkЕсли отображениеведливы формулыf(15),+О(Jf~ /).Х%) ,/).Xk---+о.(15)дифференцируемо в точке х О , то ео если спрато произведение матрицыЧастные nроuзводные§ 3.на столбец_(~~1) _(d~l)dx -..-..~Xndx n1называют дифференциалом отображенияют dl(x O ).Таким образом, если верно равенствоdl(x O) == (.Если равенствасR,(15)то отображениев тОЧJliе х О и обознача(15),то(~~~ .... :....
~1.~.) d~l)А т1n59А тn...(16)dx nсправедливы в каждой точке множества Е с1 называютдифференцируемым отображениеммножества Е.Теорема4.1:Если отображениеЕ---+ R m ,Е сR n , с Jliоординатными ФУНJliЦИЯМИUi == li(X1; Х2; ... ; х n ),i== 1,2, ... , т,дифференцируемо в тОЧJliе х О == (x~; xg; ... ; x~) и его дифференциал вэтой тОЧJliе определяется формулой (16), то в тОЧJliе х О существуютчастные nроизводные ФУНJliЦИЙaf1af1afmafmдХ1дхnli,причемТаким образом, в каждой точке, где справедливы равенствадифференциал отображенияaf1dl ==1может быть вычислен по формулеaf1(17)afmafmдХ1дхnДля дифференцируемости отображения1(11; 12; ...
; 1т)в некоторой точке достаточно, чтобы частные производные функций== 1,2, ... , т,(15),li,i==были непрерывны в этой точке.Отображение 1(11; 12; ... ; 1т) называют непрерывно дифференциnруемым отображением множества Е с R , если его координатныефункции непрерывно дифференцируемы на множестве Е.Матрицу (~!:),i = 1,2, ... , т, k = 1,2, ... , n,составленную изчастных производных координатных функций отображения 1, называют производной отображения 1 и обозначают 1'.60Гл.1.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхФормулу(17) для дифференциала отображенияв видеfможно записатьdf == f' dx.в случаеm == nпроизводная отображенияf(f1; f2; ... ; fn)являетсяквадратной матрицей, и ее определительaf1If'l ==af1afnafnдХ1дхnназывают ЯJliобиано,М отображенияa(f1, f2, ...
, fn)д(Х1, Х2, ... , хn)(18)f.ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИПри м е р1.Найти частные производные функции+ у2 + ln(x + у2).f(x; у) == х> -х.у2 > -х.А Функция определена в области у2ную у, находимд!== 1 +дх1х+ у2 'Фиксируя перемен-Фиксируя переменную х, получаемд!2ду == УПри м е р2.+ 2уДоказать, что функцияf(x; у) == хдифференцируема в точке (О;А В примереВ точке (О;1)у2 > -х. Ах + у2 '1+ у2 + ln(x + у2)и найти1),df(O; 1).найдены частные производные данной функции.обе частные производные непрерывны. Следовательно,fфункциядифференцируема в точке (О; 1), и ее дифференциал вэтой точке можно вычислить, применив формулу (4). Так какaf(O; 1) == 2дхтоaf(O; 1) == 4'df(O; 1) == 2 dxПри м е рфункцию,ду+ 4 dy.А3.
Исследовать на дифференцируемость в точке (О; О)f(x;у), если:1)3)4)5)f(x; у)f(x; у)f(x; у)f(x· у),== ijXY; 2) f(x; у) == cos ijXY;== arctg (5 + х 4 / 5 у2/7);== arcsin(xy + {/х з + уЗ);== ln((l + ху)/(l - ху)) - 2ху х 2 + у2 > О, f(O·, О) == о.А1) Найдем приращение д.! функции(х2+ у2)5/2'fчислим ее частные производные в этой точке,в точке (О; О)и выпользуясь тем,чтоf(x, О) == О и f(O, у) == о. Получим д.! == ijXY, fx(O, О) == fy(O, О) == о.Частные nроuзводные§ 3.61fПредположим, что функциядифференцируема в точке (О, О); тогда справедлива формула (2), которая в данном случае имеет видр ~ Jx 2 + у2 -+ о.ijXY ~ о(р),(19)Равенство(19) должно выполняться для любых х и У таких, что2Jx + у2 -+ о.
Пусть у ~ х их> О; тогда р ~ xV2 и из формулы (19)следует, что~ ~ о(х),х -+ +0.(20)fТак как утверждение (20) не является верным, то функцияне дифференцируема в точке (О; О).2) Здесь f(x; О) ~ 1, f(O; у) ~ 1, и поэтому fx(O, О) ~ fy(O, О) ~~ 1. Докажем, что функциядифференцируема в точке (О; О), т. е.удовлетворяют условию (2), которое можно записать в видеfд.! ~ cos ijXY - 1 ~ о(р), р ~ Jx 2 + у2 -+ о.(21)Так как cost -1 ~ -2sin 2 (tj2), а I sintl ~ Itl, то, используя неравенства Ixl ~ р, lyl ~ р, получимILlfl : : :; ~ IxI2/3IyI2/3 : : :; ~ р4/3.Отсюда следует, что условиециявыполняется, и поэтому функ(21)f~ cos fIXY дифференцируема в точке (О; О).3) В этом случае f(x;O) ~ f(O;y) ~ f(O;O) ~ arctg5, и поэтомуfx(O; О) ~ fy(O; О) ~ о.
Докажем, что функция f дифференцируема вточке (О; О), т. е. удовлетворяет условиюд.! ~ arctg (5 + х 4 / 5 у2/7) - arctg 5 ~ о(р), р ~Используя неравенства I arctga из (22) получаемJ х 2 + у2 -+ о.arctgbl ~ la -bl,(22)Ixl ~ р, lyl ~ р,Iд.fl ~ IxI 4 / 5 IyI2/7 ~ р4/5+2/7 ~ р38/35.Условие (22) выполняется, и поэтому функцияма в точке (О; О).4)Так какf(O;O) ~1, fy(O;O) ~ 1.о,~Предположим, что функцияfx(O;O)~f(x;O)ffдифференцируеarcsinx, f(O;y)~arcsiny,тодифференцируема в точке (О; О).Тогдад.! ~ arcsin(xy + {/х 3 + у3) ~ Х + у + о(р),Если у ~ х, где х> О,то Р ~xV2,и равенство (23) примет видarcsin(x 2 + -V2x 3 ) ~ 2х + о(х),откуда следует, что(3м)( )y2-2x~ox,Р ~ Jx 2 + у2 -+ о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
