1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 15
Текст из файла (страница 15)
1) 3; 2) 3/2. 8. о.9. (О; О), (±yI3; ±yI3), знаки берутся произвольно.10. 1) д.! == 2д.х + д.у + д.х 2 + 2д.хд.у + д.х 2 д.у, df == 2dx + dy;2) д.! == д.у + 2д.хд.у + д.х 2 д.у, df == dy; 3) д.! == д.х 2 д.у, df == о.11. д.! == 3х 2 д.х - 2уд.у + 3хд.х 2 - д. у 2 + д.х 3 , df == 3x 2dx - 2у dy.12. 1), 2) Неверны, если n > 1; 3) верно; 4) неверно, если n > 1;§ 3.5)неверно;Частные nроuзводныеверно.6)+ 3x 2y)dx + (х - 6x 2y)dy;4(уЗ + 2х у + З)З(4хуdх + (2х + 3y2)dy);х - у2 (dx- - -dy ) ; 4) у(х 2 + у2)-З/2(у dx з13. 1) (8х - 6ху 2З2)812223)хух5) 2-y/xln22 (ydx-xdy); 6)х7)_1VYх dy);уJ1х2+ у2(dx+Хydy+Jх2+ у2);t х + 1 (d _ х + 1 d ).
8) О. 9) х dy - у dx .с g vyх2уу,,х2 + у2 '10) (1 + xy)Y-l(у 2 dх + (ху + (1 + ху) ln(l + xy))dy).14. 1) (1; 3), (-1/26; -3/26); 2) (7/4; 2; 1), (7/4; -2; -1).31Г1ln 215.1) а) dx - dy, б) О; 2) "2dx; 3) 4dy; 4)4dy252dx5) -2"-4; 6) 12 (dy-dx); 7) 5(dx+dy);8) (~ - 1Г) dx + ~ dy· 9) ~ dx· 10) -! e- 2dx.1Г'5410'16.1) xdx+ydy+zdz;Jx 2 + у2 + Z2(dx - 2dy);42) exysinz(ysinzdx + xsinzdy + xycoszdz);3) (xy)Z-l(уzdх + xzdy + xyln(xy) dz);4) ! xy/z(ydx +lnxdy _ Ylnxdz).zхnnz17.1) 2( cos (Lxn) LXidxi;i=l2) (2i=l~ Xi dXi) / ( ~ (~X7 -18. 1) - dz.
2) 2 dx2 '+ 3 dy -n12 dz.37'1) ) .3) 2 dx+ ln 4 dz·,4) n (2" dXi.n+1 ) '~i=l21. 1) f~ == О, f~ == 1, дифференцируема;2) f~ == 1, f~ == О, дифференцируема;3) f~ == 1, f~ == 2, дифференцируема;4) f~ == О, f~ == 1, дифференцируема;5) f~ == f~ == О, дифференцируема;6) f~ == О, f~ == 1, недифференцируема;7) f~ == f~ == 1, недифференцируема;8) f~ == О, f~ == 1, недифференцируема;9) f~ == -1, f~ == 1/2, недифференцируема;10) f~11) f~6== 7г /2,== f~ ==f~==О, недифференцируема;О, дифференцируема.Под ред. Л.Д.Кудрявцева, Т.382Гл.1.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менных22. 1) Не существует; 2) dy; 3) dx - dy; 4) dx + 2 dy.24. 1) а Е (1/3; 3); 2) а Е (1; 4); 3) а Е [О; 5/2]; 4) а Е [1/2; +(0).25.
1) Недифференцируема при а == 1/2, дифференцируемапри а == 1/4;2) дифференцируема при а == 1/2, недифференцируема при а ==== 2/3;3) недифференцируема при а == 1, дифференцируема при а == 1/2;4) дифференцируема при а == 1/2, недифференцируема при а ==== 3/4.26. 1) {( О; О)} U {( х; у ) : ху # О}; 2) {( О, О)} U {( х; у ) : х # О};3)27. 1)-6)28. 1) f~2)# у2}; 4){(О; О)} U (х; у): х 2f' Х-{(О; О)} U {(х; у): ху# О}.Недифференцируема.==2xf~, f~==зх + у223 v I( х 3 + ху 2)2.3е У f~;f'и'2хуf' У -3 v I( х 3 + ху 2)2.3f' .и'3) f~ == 3siп6хсоs З 2yf~, f~ == -3sin 2 3xsin4ycos2yf~;f~l' = f~+ ln у) 2' УУ (1 + (х + ln у) 2) .29.
1) f~ = yf~ + ! f~, f~ = xf~ - Х2 f~;2) f~ == 2xf~ + уе f~, f~ == -2yf~ + хе f~;3) f~ == cos yf~ + sin yf~, f~ == -х sin yf~ + х cos yf~;2х14) fx' ==f'+ух У - f'f' == х У ln xf' .v1 - х 4 иv'Уv4)l'Х= -1 + (хууХУ30.1)ХУf~(y- ~:)dx+f~(x+2:)dy;(2xf~ - (x:y)2f~)dx+ Cx:y)2f~ -3у2f~)dУ;3) - 2 У 2 f~dx + (2У f~ + 2 Х 2 f~) dy;х +ух +у4) (2xf~ + f~ + yzf:n)dx + (2yf~ + f~ + xzf:n)dy++(2zf~ + f~ + xyf~)dz.11х + у2Х33. u == 2х(у - х ) + - (уЗ - х ). 34. U == - ln+2 arctg -.3 2 4у2)26237. Неверно.
38. Неверно.39. 1) 2J2; 2) -1; 3) 62; 4) 5/9; 5) 2; 6) 4Jn/15.+ 2(1 + ln 2)j; 3) _ i + 2~3k ;14 14eXo+xoYo+xoYozo ((1 + уо + yozo)i + (хо + xozo)j + xoyok);40. 1) -2i + 3j; 2) i4) i/4; 5)6) 2 xoi + 2yojхб+ 3zok+ 2У5 + 3z5 -1.41.1) (-2; 1; 1); (-2; 1; -1); 2) (t;t;t), t Е R.42. 1) О; 2) 1/(2а).
43. 1) -18; 2) 52/5; 3) 1/5; 4) о.44. 1) -1/J2; 2) vГз/2; 3) -l/vГз; 4) (2 + J2)/6;Частные nроuзводные§ 3.835) Jr 2 /(2VJr 2 + 16); 6) 2Jx5/a4 + У5/Ь4 + z5/c4.45.1) 2уС; 2) 2е- С / 2 . 46. -J2c(a 2 + b2)/labl.48. 1) V290; 2) V29/2; 3) 7/6; 4) J137/8.47. -1/2.50. 10001Г.49. 1) -4i + 5j . 2) i - j . 3) 2i + 4j - y'3k . 4) i - 6kV4i'у'2 ,у'23'vГз7.51. 1) arccos( -l/уТО); 2) arccos(7J2/10);3) arccos( -8/9); 4) 1г /2.52.
1) arccos 37/ (5V194); 2) 1г /2; 3) 1г /2; 4) 1г /2.56.1) -х/(х 2 + у2); 2) (х + z)/(3~X2 + Z2); 3) 4(х+ 2у + 3z)4;4) О; 5) (xy/z)(l +lnx) +xcp(y/x;z/x).59. Неверно.6 О 1) ди·дх3) дидхдиду1== ,ди11 + ио 'ду4) ди == 5 и одх+ arctgа)дидх2) -Оди'ду==ln 2 .2'з_ 4U O , ио -корень уравнения u == 1 +gдуди == -2дхди10. б) ди'дуЗио + и5 - и~ди2 + 2ио + и~' дуди= О,диду= -1,еслидидихудх''ду'дх62. дхдидх== 2 ди == -3.__ 1'дуди'ду,__2.2 + 1г'+ и62 + 2ио + и~ .диu(1; -2) = О; дх = -1,иодиду1= '2'если12-2) == -2; -д == 1, -д == -, если и(l; -2) == 2.63. 1) dx + dy;2)иО (dx + Uody), ио 1 + иО64.
1) а)2)2dx - dy9==2 dx -1г d у1Г-2'1) == -1; du ==корень уравнения u- 1 == 1 + ln и.,б) не существует;а) не существует, б)65. duи(l;==ио - корень уравнения и + ln и == О;== -cos1 -ди == -1· 3)) дии(l;2) дидхЗ .61. 1)4диg'uО==;-dx - (14)/(9) dy.е сл и и (1· 1) == 1· du == 2 dx - 1г d уО, если и(l;,1) ==,2-1Ге сл ио.Uб(dх + dy) - z5 dz ио - корень уравнения иЗ - 3(Хо +· ио(ио - 2хо - 2уо) ,+ уо)и 2 + z8 == о.67. 1) -2; 2) -1.68. ((у + z)(z + 1) + (у - х)(х + l)e X - Z ) dx +(у + Z)2(Z + 1)z((у - х)(у + l)e Y - (х + z)(z + 1)) dy+(y+z)2(z+1).666*84Гл.691.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менных+ (f~(f~ - f:n) dx- f~) dyf~ - ffп•диди75.
дх == О, ду ==+ dy dv76. du == dxav1av+ (! +== _ dx2'1дх == -1, ду-3'231Г) dy.24278. dz == 3(у - х ) dx77. dz == 3dx - dy.2+ 3х dy2 2 'с2) dz ==·а2sign sh v+)/jx2Yd yЬ2а2+ sinvody);uo(cosvodx80.1)83(XdX+ у2 -1Ь2у>х-.2'2) luol.(ди/дх ди/д у )_av/ax av/Jy _1- - a(f, g)/a(u, v)84. дш == дРдхдудуТ._+дш == дРдх'(J(j, g)/J(x, v)J(j, g)/J(u, х)a(g; Р)/д(и; v) д!a(f;g)/a(u;v) ду·dr _ .85.
1) w - dr/dcp' 2) dcp - т, 3)4) -drdt==Т3ди==Т _ .дт 'd(()== -1· 5) w'dt'_'1"'7) w == (ди)2+ ~ (ди)2;т2дтдер86.1) u == j(x 2 + у2), j -J(j, g)/J(y, v))J(j,g)/J(u,y) .( dr )dcp2 _-1 - sin 2ерsin2cp2.т,.ди6) w ==rcos2(() -ди - sln2(()_.8) w =rдтr дер'.!. д(u,v).rд( т, ер)произвольная дифференцируемая функ-ция.az _ и.azaz _ .av - е sh v, 2) ди - av - О,azaz3) (2и + v - z) ди + (и + 2v - z) av == u + v - z;az87.
1) ди4)V(Z2 -+и) ~~=Z(Z2+ и).88. 1) z == j(x + у); 2) z == xj(y/x); 3) z == х + j(y - az);4) z == Jx 2 + у2 + Z2 + j(y/x), где j - произвольная дифференцируемая функция.89.(и ~: )2 + (v ~: )2 = ш2~: ~: .91. дхди+92. 1) z ==90.~:x-zуду == u .avveX+Y+f(x2+y2);2) z == ху+ j(yz -х), где j -произ-вольная дифференцируемая функция.93. w == j(y функция.х;z-х), гдеj -произвольная дифференцируемая§ 4.94.Частные nроuзводные. Формула Тейлорадшдшt-дш+++3ш + е + e + е == о.дuav atи)95.
( дuдт21(дu) 285V1(дu ) 2+ т2 дф + т2 cos2 Ф дер~. 96. L.... (grad Yi)2(дuaYi)2.1,=197.asat+ 2 dy-dy + dz98. ( dxuvtzdy99.xdz( ydx) .(~ ~), дифференцируемо;100. 1)2)+ ydz+ zdx+ xdy).(~ ~), недифферен-цируемо.101. f' - единичная матрица порядка n.102. f' == (aik)' i == 1,2, ... , т; k == 1,2, ... , n.103. 1) 9(х 2 + у2)2; 2) (ch 2х - cos 2у) /2. 104. pr(sin <р cos <р )р-1.105. pqr 2(sin <р cos <р )р-1 (cos Ф )2 q-1 (sin Ф )q-1 .106.1) ху2; 2) (1- т 2 )-Б/2.пппП107.
1)(Xi-Xk); 2)(I+Lх.~а.)П(Хi-аi).i=li,k=l, i>k§ 4.1,1,i=lЧастные производные и дифференциалы высшихпорядков. Формула Тейлора и ряд ТейлораСПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ1. Частные производные высших порядков. Пусть функцияu == f(x), х Е Rn , в окрестности точки х == (Х1; Х2; ... ; х n ) имеет частдu-дXkную производную первого порядкануюФункциидu-д'-' xiпо переменнои.Тогда частную производ-называют.,частнои nроизвод"ноиXkвторого nорядJliа по переменным xk и xi И обозначаютд2 uaXk aXi 'j"илиXkXiТаким образом, по определению2д u2В случаеi==д uk производную д дЧастной производной nорядJliаXkXkmЕ N2д uобозначают -д2•Xkназывают частную производную первого порядка по какой-либо переменной от любой частнойпроизводной порядкаm - 1 (при этом под частной производной нулевого порядка понимается сама функция).
Например, для частныхГл.86Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менных1.производных третьего порядка по определению имеем3ди3д (д и)ди2дх 3дх дх 2 '-Частнуюсмешанной2д идх 2рядка:дид (д и)д у 2 дх - дх д у 22дх 2 ду - ду дх 2 'производнуючастнойпеременных3д (д и)могутпоразличнымпроизводной.существовать2переменнымНапример,четыредля'д иуд 2Т е о р е м а.называютфункциипроизводные2И т. д.второго2д иИ две смешанные производныеду дхдвухпо-2ид идх дуЕсли две смешанные nроизводные nорядJliа т,чающиеся лишь nорядJliОМ дифференцирования, непрерывны в.отлиHeJliOmO-рой тОЧJliе, то их значения в этой тОЧJliе совпадают.Функцию, все частные производные которой до некоторого порядкаmвключительно непрерывны в некоторой точке (или на некотором множестве), называютраз непрерывно дифференцируемой вmэтой точке (соответственно на этом множестве).2.Дифференциалы высших порядков.
Дифференциалы высших порядков для функции нескольких переменных определяютсятак же, как и в случае функции одной переменной (см.Пусть функция u== f(x; у)п.[1, § 15,2]).дважды непрерывно дифференцируемана некотором множестве G с R2 . Ее дифференциалдиdu == -дхdx+ -дидуесть функция четырех переменных: х,ныхdxиdyдифференциалdyу,dx, dy.При фиксированявляется функцией только х и у. Дляduэтой функции вычислим дифференциал, причем в качестве приращений ~x и ~y независимых переменных возьмем те же самые приращения, которые были выбраны при нахождении первого дифференциала.Вычисленныйпри этом условиидифференциал отпервогодифференциала называют вторым дифференциалом или дифференциалом второго nорядJliа функции u== f(x; у)и обозначают d2u или d2 f.Таким образом, по определениюd2 u == d(aU dxдх+ диdy) == d(aU)dx + d(aU)dY ==дудхдуд и22д ид и2д и222== дх 2 dx + дх ду dy dx + ду дх dx dy + д у 2 dy ,равенство (при сделанных относительно функции u ==или, учитывая== f(x; у) предположениях) смешанных производных, получимд U2д Uд U2d u= дх 2 dx +2dxdy+ д 2 dy.222дхдуАналогично в случае, когда функция u2у== f(x; у)(1)являетсяпрерывно дифференцируемой, ее дифференциал порядкаmmнеопределяется как первый дифференциал от дифференциала порядкаm - 1§ 4.Частные nроuзводные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
