1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 12
Текст из файла (страница 12)
(23)хх -+ +0,-+ +0.Это равенство не является верным, и поэтому функцияfне дифференцируема в точке (О; О).5)В этом случаеf(x;O)~f(O;y)~ о,fx(O;O)~fy(O;O)~ о.Гл.621.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхПусть функцияfдифференцируема в точке (О; О), тогдар == Jx 2 + у2 -+ о.д.! == f(x; у) == о(р),==Полагая у> О,х, где хд.! == f(x. х) ==,из(24) получаем2ln( (1(24)22+ х ) / (1 - х )) - 2х == о(х)(2х 2 )5/2Х -+ +0.'(25)Так как ln 1 + t == 2t + ~ t З + о(t З ), t -+ О, то из (25) следует, что1- t32х /3 + о(х )13 26D.f = f(x; х) =т. е. х==о(х), х625/2 х5= 2- / з- х+ о(х)= о(х),-+ +0.Таким образом, равенствобых х, У таких, что Р-+не может выполняться при лю(24)fО, и поэтому функцияне дифференцируема в точке (О; О).
АиПри м е р 4. Пусть f (и; v) - дифференцируемая в R2 функция,== ху, v == х 2 - у2. Выразить д! и д! через д! и д!дхА По формуламдf(6)дудuнаходимдfдfaafy == х д f _ 2у д f. ..дuav-дх == У дu + 2х дu 'Пример 5. Найти дифференциал функции fА Используя формулыdf==d(l+zх2+ у2) ==d(8)-(10),получаем22== (X +y2)dz-zd(Х +у2) ==(х2 + у2) 2zх2== 1+zj(x 2 +y2).+ у22xz2yz(22)2dx(22)2 dyх+ух+уПри м е р 6.
Пустьиavf (и; v) -1+ х+у22 dz.Адифференцируемая в R2 функция,== х j у, v == у j z.Найти df, если f~ и f~ известны.А Используя формулы (4) и (8)-(10), получаем+ f~ dv ==== f' d ( Х) + f' d (11) ==vZdf == f~ duиуf' у dx - х dyиу2+ f'vz dy - у dz ==Z2==!f~dx+(!f~X2f~)dY- zY2f~dz. АzуПри м е рции и==7.f(x;y),уНайти в точкечастные производные функ(1;1)заданной неявно уравнениемиЗ-2и 2 х+ иху -2==о.А Из уравнения найдем значение функции и в данной точке: и+ иху -Функция F(x; у; и)точкеи непрерывна в ее окрестности, а ее частные производ-ные(1; 1; 2)F~== -2и 2 + иу,F~==иЗ - 2и х==== f(l; 1) == 2.== их,2F~2 равна нулю в== 3и 2 - 4их + хуЧастные nроuзводные§ 3.1; 2) 1: о.
Следовательно, данным(1;1;2) определяется непрерывнотакже непрерывны, причем F~(l;уравнением в окрестности точки== f (х, у),дифференцируемая функция ирой можно найти по формулампроизводные функциито частные(11).== 2, F~ == 5,производные функции и == f(x;y) в этойf~ == 6/5, f~ == -2/5. АПри м е рфункцийчастные производные котоТак как в точке (1; 1; 2) частныесоответственно равныFF~63Найти в точке8.== f1(X;y)иF~== -6,и(1; о; 1; -2)== f2(X;y),Vточке равнычастные производныезаданных неявно системойуравнений+ yv - иЗ == о,х + у + и + v == о.хи{== хи + yvА Функции F 1точке(1; о; 1; -2)== Х + у + и + v- иЗ и F 2равны нулю ви непрерывны в ее окрестности, их частные произ-водные(F1) ~ == и, (F2) ~ == 1, ( F1) ~ == v, (F2) ~ == 1,(F1)~== Х3и , (F2)~2-==1, (F1)~== у, (F2)~ ==1также непрерывны, и якобианх- 3и 2у11не равен нулю в заданной точке.
Следовательно, данной системойуравнений в окрестности точки(1; о; 1; -2)определяются единственным образом непрерывно дифференцируемые функции и == f1 (х; у)и v == f2(X;y), частные производные которых можно найти по формуле (14). Значения частных производных функций F 1 И F 2 Вточке (1; о; 1; -2) соответственно равны(F1) ~ == 1, (F2) ~ == 1, (F1) ~ == - 2 , (F2) ~ == 1,(F1)~По формуле== -2,(14)искомые значения( (Л)~(f2)~(f1)~(f2)~При м е р9.(F2)~== 1,(F1)~==о, (F2)~== 1.находим матрицу, элементами которой являютсяпроизводных:~~-i )) (-~ ) ( ~)=-(=~ ( -~-21) -1 (-21Преобразовать уравнениеХ2az + 2 -az __ Z2-дхуду,xYZ-1IО,1/2-3/2-1О)..Гл.641.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхприняв за новые независимые переменные иза новую функцию w == l/z - l/х.Найти решения данного уравнения.azА Найдем выражения производныхизводные функциидхпо переменным и иw==v == 1/ у - 1/ хх,иazичерез частные продуv.
Для этого продиффе--ренцируем обе части равенства 1/ Z - 1/ х == w по переменным х и у.При дифференцировании функции w воспользуемся формулами (7)для частных производных сложной функции. Получим_ ~ az + ~Z2 дхх==21 дz _- Z2 ду -дш дu+ дш av ==дш+ ~ дшav дх дu х av 'дш дu + дш av _1 дш.дu дуav ду - - у2 av 'дu дх2следовательно,дz-==Z2(дхдш1az1 дш)-------х2дuх2av 'Z2у2дуПодставив найденные выражения для производныхное уравнение, будем иметьX2Z2дш---av·azдхиazдудш == о.дuОсталось заменить х и Z новыми переменными. Так как х==иuш+1, тоиuш==о, находим22+1Полученное уравнение легкодшдu==и, Z==в новых переменных исходное уравнение принимает вид(ниеВ дан--д)~==oдuрешается.w == f(v),где.Интегрируяf -поиуравне-произвольная дифферен-цируемая функция. Возвращаясь к исходным переменным, получаемрешения исходного дифференциального уравненияl/zоткудаZ-l/х== f(l/y== x/(xf(l/y --l/х),l/х)+ 1).АПри м е р10.
Найти в точке (7Г /4; 7г /4) дифференциалния f: R ---+ R З с координатными функциямиотображе2иl == 2 cos хl cos Х2 ,и2 == 2 cos хl sin Х2 ,из ==J2 sin хl .А Координатные функции непрерывно дифференцируемы в R2 .Следовательно,дифференциалданногоотображениякаждой точке, и его можно найти по формуле(17):-2 sin хl cos Х2-2 sin хl sin Х2-2 cos хl sin Х22 cos хl cos Х2J2 COSXlОсуществуетвЧастные nроuзводные§ 3.65в заданной точке получаем=; -~ ) ( ~~~ ) =~~;X: ~~~ ) .df ( : ; :) = (При м ерх= (Найти якобиан ;~;,':: ;~ отображения11.== r cos ер cos ф,А Согласно формулед(х, у,(18)cos ер cos Фsin ер cos Фz) _д(т, ер, ф)у== r sin ер cos ф,получаем-Тsin ер cos Фr cos ер cos Фsiпф-Тcos ер sin Ф-Т sin ер sin ФrсоsфОsln ер== r 2 cos Ф ( sin Ф - cosер+ соsф- )~:~~~:$ ~~~~== r sin ф.Z= r2- cos ер sin Ф- sin ер sin Ф+соsф(siп2 Ф + cos ф) = r соsф .
•22ЗАДАЧИ1.Найти частные производные первого порядка функции2) f= x(x~y);1) f=x 3 +y3_3xy;f(x;y):3) f=sinx-x 2 y;у4)f ==5) f == е Х ( cos уsin х cos у;ух+ у2 - Х6) f == ln vJ х 2 + у2 + Х .' 7) f ==8) f == (1 + sin 2 х) ln у .. / х22.+ х sin у) ;arcsinх2_х2+ у2 'у2•Вычислить частные производные первого порядка функцииfв данной точке:1) f == х / у2, (1; 1); 2) f == ln (1 + х / у ) , (1; 2);3) f == xyeSinnxy, (1; 1); 4) f == (2х + у)2Х+У, (1; -1).3.f(x;у;НайтичастныепроизводныепорядкафункцииZ):2)1) f==xy+yz+zx;4) f =~+4.
Найтиnх Е R :arctg ;1) f =+f ==Jxarctg :;12+ у2 + Z25) f = zXY;3)zхf == - + -;zх6) f = ( : ) z.частные производные первого порядка функцииnL sin2Xi;2) f = ехр {i=l5первогоПод ред. Л.Д.Кудрявцева, Т.3nL х;}.i=lf(x),66Гл.1.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхд!5. Вычислить х fu+у2) l==ln(x 2 +xy+y2).1) l==xjvx2+y2;д!6. Вычислить дх1 ==1)(ху) (у-д!ду' если:+д!ду+д!az' если:х);- z) (z -д!д!+ д!ду + az+ уЗ + zЗ - 2xyz);7.
Вычислить дх1 == lп(х1)З48. ВычислитьLi=l1 == х + (х -2)дjх·2)1 == ln(l + х + у2 + zЗ).хl хз-1,Решить систему уравнений ~9.- z).в точке (1; 1; 1), если:1 ==-д' еслиу) j (у=Х2+*Х4Х4 -хlХ2хз=-.О, если1 == xYV9 - х 2 - у2.приращение .6.1 и дифференциалВ10. Найтиdl функции 1 == х 2 уточках:1) (1; 1); 2) (1; О); 3) (О; О).11. Найти .6.1(х;У) и dl(x,y) функции 1 == х з - у2.12. Верны ли для функции l(х), х Е R n , следующие утверждения:1) если функция в некоторой точке имеет частные производныепо всем переменным, то l(х) непрерывна в этой точке;2)если функция в каждой точке пространстваRnимеет частныепроизводные по всем переменным, то она непрерывна в3)Rn ;если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этойточке у функции существуют частные производные по всем переменным;если у функции в некоторой точке существуют частные про4)изводные по всем переменным, то функция дифференцируема в этойточке;5)если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этойточке у функции существуют непрерывные частные производные повсем переменным;6)если у функции в некоторой точке существуют непрерывныечастные производные, то функция дифференцируема в этой точке.13.1)3)Найти дифференциал функции l(х; у), если:1 == 2х 1 == у +4х+ хЗу;4) 1 ==3х 2 у 2х;у1 ==arctg ху1 ==х;vx26) f=ln(x+vx 2 +y2);8)2)+ arctg у;х+ у2+ 2х у + 3)4;5) 1 == 2- У / Х ;(уЗ7) f=lnsin9)1 ==2х;/;arctg х+у ;х-уЧастные nроuзводные§ 3.67f == (1 + ху) у .1О)14.fНайти точки, в которых дифференциал функцийравен ну-лю, если:1) f(x; у) == (5х + 7у - 25)е-(х +ху+у );2) f(x; у; z) == 2 у 2 + Z2 - ху2 - yz + 4х + 1.15.
Найти дифференциал функции f(x;y)21) f_ у2= х 2 +у2'х22) f =Jx2а) (1;1), б) (0;1);+ х,Уcos(x - 2 ),cos (х + 2у )у3)f === 2 tg (1ГХ/(Х+3 у2 )) , (1; 1);5)4)f6)f ==8)f == еy(2·,1)·,arccos Jx 2Х2у, (1; 0,18);-1-Найти дифференциал функции1) f == Jx 2 + у24) f == x y / z .+ Z2;2) f ==t Х7; 2)f=arctgуl+х(1; О);2'(1; -1);(vГз О ) ;-2;х2Х2+у+z2'(х у + :) z,f(x;у;z), если:3) f == (xy)Z;f(x),х ЕRn , если:(1 - ~ ) / (1 + ~ ) ) .= ln (Найти дифференциал функцииff ==exysinz;Найти дифференциал функции1) f = sin3));arcctg ln( УХ + у4), (е 2 ; О).16.1) f ==4 ; 7г.3f == ln arcsln(x+ у),6хуf ==18.(1Г4J2; х - х у ,1 cosy= ln7)2х + Зу , (1; 1); 9)1- arctgf10)17.в данной точке, если:(1; О; 1);ff ==2)в заданной точке, если:arctg х;, (3; 2; 1);zn(1; 1; 1);f4)= lnLхi,(1; 2; ...
; n) .i=l19.fДоказать, что функциядифференцируема в точке (О; О), ес-ли:1) f =4)6)х( {j1 + VТYТ -lyl sinx;f == ~(cos lfY - 1);1);2)ff == ch WY; 5)f == ln(2 - Ix1 7 / 6 + lyI5/4);8) f == {xsin(y/M),О,=7)f ==W3)f= (sinx+ ijXY)2;arctg М;х 1: О,х == О;9) f == у3/5 arcsin М; 10) f == у + ch ijх 2 + у2;2y 4.11) f == J1 -lxI 2 / 3 IyI5/6; 12) f == 1 + ху + sinVx20.5*Доказать, что функцияfнедифференцируема в точке (О; О),Гл.681.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхесли:1) 1 == v!xYТ; 2) 1 == VX2 + у2; 3) 1 == Vх З + уЗ;4) 1 == Vsin х (1 - cos ху ) ; 5) 1 == sin (1г / 4 + {Гxi});6) 1 == ln(3 + ~); 7) 1 == sin(3x + Vх З - уЗ);8) 1 == ln(l + х + Vх З + 27 у З); 9) 1 == arctg (2х + Vх З10) 1 == arcsin(y + Vх З + 8 у З).21.Найти частные производные функции1-27 у З);в точке (О; О) и ис-следовать ее на дифференцируемость в этой точке, если:1) l==yV1+ Ы; 2) 1== Vх З +у4; 3) 1==2y+xcosf!XY;4) 1 == у + cos Vx 2 + у2; 5) 1 == Vsin 4 х + cos 4 у;6) 1 == у + ln(3 + ~); 7) 1 == arcsin(xy + V~х-З-+-у-З;8) 1 == arctg (ху + у + ~);2З9) 1 == { (уЗ - х )/(х + 2 у 2), еслих210) 1 == { (х + у) arctg (х/у)2,1Гх /2,уО,1-22.Найти- {еслиеслиеслиО;==+ у2 I-1- О ,О,если х + у2 == о.дифференциал функции 1 в точкеe-l/(x2+y2)11)+ у2 1: О,х + у2 == О;у 1: О,2х2если,2(1; О), если:2) 1 == ху + sin V(x - 1)2 у 4;1) 1 == VI(x - l)у З I - ху;3) l==x-у+lп(2+vl(х-1)У З I;4) l==x+2y+eVr--(х---l)2-у .Доказать, что функция23.
1)1== {(х 2 +y2)sin(1/(x 2 +у2)),О,еслих 2 +у2еслих21: О,+ у2 == О,дифференцируема, но не непрерывно дифференцируема в R2 ;2) доказать, что функция1 =={ (х 2+ у2)а,О,если х, у - . .раr:иональные числа,если по краинеи мере одно из чисел х, уиррационально,при(1>1/2 дифференцируема только в точке (О, О) и не являетсянепрерывно дифференцируемой в этой точке.24.Найти все значенияруема в точке (О; О), если(1,при которых функция1(0; О) == О, а при х2+ у21 дифференци1: О функция 1задается формулой:хl+ 1IxlalyI5-2а.1) 1==lх+Уlза+IУI4-а; 2) 1== I2+ У 2; 3) 1== ~~за4)1 ==Ixyla1-1n(x 2 +y2)·х71УаIxl + lyl 'Частные nроuзводные§ 3.Исследовать25.цию l(х; у), еслина дифференцируемость1(0; О) == О, а при х269в точке+ у2 > О(О; О)функэта функция задается формулой:1)1 ==Ix 3 yll/2(х+ ху + у2)СХ2'32)3)4)26.fх у2=1 ==1 ==(х 6 + у6)а' СУ-=+ у2)СХху'2(х у)4/3(х 4+ у4) сх'1== -2'1(х 2 у 3)3/5(х 2СУСУ -СУ1== _.4'2"2' СУ = "3;СУ== 1,1-"2 'СУСУ-1== _.2'3-"4 .Найти все точки, в которых функция l(х;У) дифференцируема, если:1)4)27.1 == xlyl + Ylxl;1 ==2)1 ==(у - Ixl)2;3)1 == Ix 2-у 2 1;11 + Ixyl·Исследоватьцию l(х; у), еслина дифференцируемость1(0; О) == О, а при х2в точке+ у2 > О(О; О)функэта функция задается формулой:1)2)3)1 ==1 ==1 ==4)1 ==5)1 ==+ х) + (ху/2)(у - х) .(х2 + у2)3/2'xshy - yshx + (ху/6)(х _ у2) .----~--(х2 + у2)5/2'Х arctg у - у arctg х + (ху/З)(у2 - х ) .--------(х2 + у2)5/2'хе - уе + у - х + (ху/2)(х - у) .------(х2 + у2)3/2'y!l + ху - е ХУ / 2(х 3 у + у5)1/3.6)1==+ 2у .(х 2 + у2)3/2'Ixl + lylх ln(l- у ln(l22Ув задачах1(и; v; ш)+ у)Х3.28-3.30предполагается, что функции1(и), 1(и; v),дифференцируемы и их производные 1~, 1~, 1~ известны.28.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
