1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Для функции 1(и) найти 1~ и 1~, если:1) u == х 2 + е У ; 2) u == Vх З + ху2; 3) u == sin 2 3хсоs З 2у;4) u == arcctg (х + ln у).29. Для функции l(u;v) найти 1~ и 1~, если:1) u == ху, v == х/у; 2) u == х 2 - у2, V == е ХУ ;3) u == х cos У, v == х sin у; 4) u == arcsin х 2 , v == х У •30.Найти дифференциал функции ер, если:1) ер == 1(и), u == ху + у2/ х ;2) ер == 1(и; v), u == у/(х + у), v == х 2 - уЗ;70Гл.1.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менных3) ер ==f (и; v), u == у2, V == arctg (у / х);4) ep==f(u;v;w), U==X 2 +y2+ Z2, v==x+y+z, w==xyz.31. Доказать, что если f(u) - произвольная дифференцируемаяфункция, то функция ер(х; у) удовлетворяет данному уравнению:1)<р =yf(x 2 -у2), у2 ~~ + ху ~;=х<р;2) ep==xy+xf(Y), х дер +у дер ==ху+ер;хдхду3)<р =4)<р = е У f (уе х2 /(2 у2 )) , (х 2sinx+ f(sinyДоказать, что если32.~~ + cosx ~;- sinx), cosyу2) ~~ + ху ~;-f(u;v) ер(х; у; z)мая функция, то функция== cosxcosy;ху<р.произвольная дифференцируеудовлетворяет данному уравнению:1) ер == f(x ;х 2У+У -+ 2yz дер + (2х 2 + у) дерZ2), 2xz дердхz22) <P=f(X;/;(x_ y )e- / 2 ),д2x z ~дх3)<р = ХО: f(yx{3; zx'Y), Х ~~(зу ~;-azду+ y2 z'"{z-дд~+ (х + у) ~az~~ = а<р.дудu33.
Найти решение U(Х; у) уравнения ду = 2х+ у2 ,==О;== О;удовлетво-ряющее условию и(х; х 2 ) == о.Найти решение и(х; у) системы уравнений34.дuхдхх2+ 2у+ у2 'удовлетворяющее условию и(О;дuду2) ==Ух- 2х2+ у2 'о.f дифференцируема в точке (Хl;Х2; ... ;Х n ), то в этой точке существует производная ~{ поДоказать,35.чтоеслифункциянаправлению произвольного единичного вектораn1==(COSQl;COSQ2; ...
;COSQn),LCOS2Qk== 1,k=lпричем~{36.Пусть функцияточке и1-L :! cosak·n=f(x),k=lkх ЕRn ,дифференцируема в некоторойпроизвольный единичный вектор. Доказать, что в этойточке:1)~~= (gradf, 1);2)тгх ~{= Igradfl;Частные nроuзводные§ 3.3)еслиgrad f -::f-О, то производная ~{ достигает наибольшегозначения приgrad fI gradfl·1 ==Верно ли утверждение: производная функции37.71ке (хо; Уо) по направлению векторав точf(x;y)(1; О)равна af(~r;; уа) ?градиентом функции f ==38. Верно ли утверждение:+ V1XYТ в точке (О; О) является вектор (1; 1)?39. Найти производную функции f по направлениюх+у +вектора1вточке М, если:f ==2) f ==1)3) f ==4) f ==5) f ==3х 2 + 5 у 2, 1 == (-1/J2; 1/J2), М(l; 1);х sin(x + у), 1 == (-1; О), М(7Г /4; 7г /4);х З + 2 ху 2 + 3 yz 2, 1 == (2/3; 2/3; 1/3), М(3; 3; 1);ln(x 2 + у2 + Z2), 1 == (-1/3; 2/3; 2/3), М(l; 2; 1);+ x~ - x~ + ха, 1 == (2/3; 1/3; О; -2/3), М(l; 3; 2; 1);xin6)f= Larcsinxk, 1=(Jn; Jn; ...
;Jn),k=lНайти градиент функции40.1)3)4)6)M(~; ~; ... ; ~), M(~; ~; ... ; ~).f==1+х у З, М(-l;l);2fв точке М, если:2) f==yx Y ,М(2;1);f==1/Jx 2 +y2+ z 2, М(1;2;3);f == arctg (ху / Z2), М(О; 1; 2); 5) f == eX+XY+XYZ, м(хо; уо; zo);f == ln(l - х 2 - 2 у 2 - Зz 2 ), м(хо; уо; zo), хб + 2У6 + 3z6 < 1.Решить уравнение41.1) f == 2z2) f == х Зgrad f==О, если:+ х + 2 у 2 + ху + 3х + уЗ + zЗ - 3xyz.2З42. Для функцииf ==Jx2у - 6zнайти:z2+ 1;+ у2 + Z21) inf I gradfl; 2) sup I gradfl в области О < а < z < А.43. Найти производную функции f в точке МО по направлениювектора МоМ, если:1)2)3)4)44.ffff== 5х + 10х 2 у + у5, Мо (l; 2), М(5; -1);== ху2zЗ, Мо (3;2;1), М(7;5;1);== arcsin(z/ Jx 2 + у2), Мо (l; 1; 1), М(l; 5; 4);== x2/(xi + x~ + x~ + ха), МО(О; 1; 1; О), М(3; 2; 1; О).Найти производную функцииfв точке М по данному направлению, если:1) f == 3х 4с осью х угол+ уЗ + ху,1350;М(l; 2), по направлению луча, образующего72Гл.1.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менных1 ==arctg (у/х), М(1/2; vГз/2) , по направлению внешней нормали к окружности х 2 + у2 == 2х в точке М;3) 1 == х 2 - 3yz + 4, М(l; 2; -1), по направлению луча, образую2)щего одинаковые углы со всеми координатными осями;1 == ln(e + е У + eМ(О; О; О), по направлению луча, образующего с осями координат х, у и z углы, соответственно равные 7г /3,4)XZ),7Г/4 и 7Г/3;1== tg xz, М (7Г / 4; 7г / 4; 1), по направлению градиента функции 11 == sinyz в точке М;6) 1 == х 2 / а 2 + у2/Ь 2 + Z2 / с 2 , М (ха; уа; Za), по направлению гра5)диента функции1в точке М.Найти производную функции45.мали к линии с-уровня функции1)1 == х2+у2, с> О;2)11 по направлению внешней норв каждой ее точке, если:1 == ln(x 2 +у2).46.
Найти в точке (а#;1 == х#),2/ а2с> О,+ у2/Ьпроизводную функции2по направлению внутренней нормали к линии с-уровня функции47. Найти1~(x;x2)для дифференцируемой функции1.l(х;У),удовлетворяющей условиямl(х; х 2 ) == const,д!дlНайти наибольшее значение48.1)3)4)1~ (х; х 2 ) == х.в точке М, если:1 == ху2 - 3х у 5, М(l; 1); 2) 1 == (х + VY)/y, М(2; 1);1 == ln xyz, М(l; -2; -3);1 == tgx - х + 3siny - sin 3 у + 2z + ctgz, М(7Г/4;7Г/3;7Г/2).49.4Найти единичный вектор1,по направлению которого ~в точке М достигает наибольшего значения, если:1) 1 == х 2 - ху + у2, М( -1; 2); 2) 1 == х - 3у + у'3ху, М(3; 1);3) l==arcsinxy+arccosyz, М(1;0,5;0); 4) l==xz Y , М(-3;2;1).50. Найти величину градиента функции1 == 10-3 sin( 7Г10 6 х 2 + у2 + Z2)Jв точке51.(2; 1 : 2)Найти угол между градиентами функции1в точках А и В,если:1 == ln Iу / х 1, А (1/2; 1/4), В (1; -1);1 == arcsin(x/(x + у)), А(l; 1), В(3; 4);3) 1 == х/(х + у2 + Z2), А(l; 2; 2), В( -3; 1; О);4) 1 == sin(x 2 + у2 - Z2), А(а; -2а; а), В(Ь; Ь; Ь), а + ь 1: о.52.
Найти угол между градиентами функций 11 и 12 В точке1)2)22если:2М,Частные nроuзводные§ 3.731) 11 == Jx 2 - у2, 12 == х З + уЗ - 3ху, М(4; 3);2) 11 == y2jx, 12 == 2х 2 + у2, М(Хо;Уо), ХО 1: О;3) 11 == х 2 - 2 у 2 + z2, 12 == (xyz)2, м(хо; уо; zo);4) 11 == sin(xz + yt), 12 == cos(xt - yz), м(хо; уо; Zo; to).53. Доказать, что угол между градиентами функций11 == х 2 + 2 у 2 + Зz 2 ,в точке м(хо; уо;12 == х 2 + 2 у 2 + зz 2 + 4х + 5у + 6zстремится к нулю, если точка М удаляется вzo)бесконечность.nПусть l(х), х Е G с R , дифференцируемая однороднаяфункция степени а (§ 2, (1)). Доказать, что частные производные54.функции1-55.
1)однородные функции степени а- 1.Доказать, что дифференцируемая в областиция 1 удовлетворяет втождеству ЭйлераGGnLXk : :k=l=СRnфунк-0:1 тогда иkтолько тогда, когда она локально однородная степени а в области(см.G§ 2);2)построить функцию, удовлетворяющую тождеству Эйлера в некоторой области, но не являющуюся однородной функцией в этой области.56.Используя тождество Эйлера (см.д!х дх+Уд!55),вычислитьд!ду+ z az 'если:1)4)5)1==х2х+ у2.2)'1-1 == (1п х - ln у ) у / z ;1 == хуln х + хер ( у ;zхx+z.<1х 2 + Z2 'z),х3) 1==(х+2у+зz)4;где ер( и; v) -дифференцируемаяфункция.57.Доказать, что функция l(х;У), имеющая ограниченные част-ные производные ~~ и ~~ в некоторой выпуклой областиG,равномерно непрерывна в этой области.58.Доказать, что если функция l(х;У) в некоторой областиGнепрерывна по х при каждом фиксированном у и имеет ограниченнуючастную производную ~~, то эта функция непрерывна в области G.59.Пусть l(х;У)некоторой областиG-непрерывно дифференцируемая функция ви ~~=о в областиG.Верно ли утверждение,что функция l(х;У) не зависит от у в области60.Найтивуказаннойточкечастныеи( х; у), заданной неявно уравнением:G?производныефункцииГл.741.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менных1) иЗ + 3хуи + 1 == О, (О; 1); 2) е и - хуи - 2 == О, (1; О);3) и + ln (х + у + и) == О, ( 1; -1);4) u/Jx 2 - у2 - arctg(u/Jx 2 - у2) -1 == О, (5;4).61.
Найти в указанной точке частные производныефункциии( х; у), заданной неявно уравнением:1) х 2 - 2 у 2 + 3и 2 - уи + у == О, а) (1; 1; 1/3), б) (1; 1; О);2) х cos у + у cos и + и cos х == 1, (О; 1; О);3) u-x==yctg(u-x), (п/4;п/4;п/2);4) u 2 1n(u+x) ==ху, (l;l;иа), иа - корень уравнения u 2 1n(1++и)==l.'-'дuдu62. Наити дх и ду в точке (1; -2) для каждой дифференцируемой функции и(х;у), заданной неявно уравнением иЗу2 - 4 == о.+63.- 4хи +Найти в указанной точке дифференциал функции и(х;у), заданной неявно уравнением:1)64.х+у-и==е и - х - у , (Ха;Уа);2) x-u==uln(u/y), (1;1).Найти в указанной точке дифференциал функции и(х;у), за-данной неявно уравнением:1) иЗ - хи + у == О, а) (3; -2; 2), б) (3; -2; -1);2) х З + 2 у З + иЗ - 3хуи + 2у - 3 == О, а) (1; 1; 1), б) (1; 1; -2).65.
Найти du в точке (1; 1) для каждой дифференцируемой функции и(х;у), заданной неявно уравнением пуи == 4arctgxu.66. Найти в точке (ха; уа; za) дифференциал функций и(х; у; z),заданных уравнением иЗ - 3(х67. Для функции и(х; у; z)дuводную дх' если:уравнением х 268.Найти+ у)и + zЗ == о.2==ху2 zЗ найти в точке (1; 1; 1) произ1) z(x; у); 2) у(х; z); -функции, заданные неявно+ у2 + Z2 == 3xyz.du==в точке (х; у), если иx+z(x·y)"y+z(x;y)аz(x; у) -функция, заданная неявно уравнением69.Пусть уравнениемze z ==хеf(x -у; уХ+ уеУ•- z; z -х)==О, гдеf(u; z; ш) -дифференцируемая функция, определяется дифференцируемая функцияz(x;y).Найтиdz(x,y).70.
Доказать, что если уравнением f(x 2 + у2 + Z2) == ах + уЬ + cz,где f(u) - дифференцируемая функция, а, Ь, с - постоянные, определяется дифференцируемая функцияуравнениюz(x;y),azazдхду(cy-bz)- +(az-cx)-то она удовлетворяет==Ьх-ау.Частные nроuзводные§ 3.f7571. Доказать, что если уравнением у f (z / у) == х 2 + у2 + Z2 , где(и) дифференцируемая функция, определяется дифференцируемая функцияz(x;y), то она удовлетворяет уравнению(х72.Доказать,f (и; v) -2у-что2- z 2) -azдхесли+ 2ху -az== 2xz.дуf(x - az; у - bz) ==уравнениемдифференцируемая функция, а,деляется дифференцируемая функцияуравнениюazа дхaz+Ьду == 1.деляется дифференцируемая функция74.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
