1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Д оказать,где(х-а)az+ (у --дхf ( х - а ; у - Ь) == О, гдеz-cЬ)-z-cпостоянные, опре-z(x;y), то она удовлетворяетaz-дучто если уравнением== z Xlf ( -;ХNf(Ul;U2; ... ;и n )постоянные, опре-дифференцируемая функция, а, Ь, суравнениюс.Х2xn-lz); ... ; -; аХNХNдифференцируемая функция, а-гдеz(x;y), то она удовлетворяет73.
Доказать, что если уравнениемf (и; v) -ЬО,хn-==О,постоян-ная, определяется дифференцируемая функция z(xl; Х2; ... ; х n ), то онаnудовлетворяет уравнению'~Xk"""" дхazk=l== az.k(1; 2) частные производные дифференцируемых функций и(х;у) и v(x;y), заданных неявно уравнениями75.Найти в точкеxe u +v+ 2uv =ye U -1,76.Найти в точкех=V2e ujx cos;,V-1:v = 2х,u(1; 2) = v(l; 2) = О.(1; 1) дифференциалы для дифференцируемыхфункций и(х;у) и v(x;y), заданных неявно условиямиу=V2e ujx sin;,u(1; 1) = О,v(l; 1) = :.Найти dz(l;l) функции z == 2u+v, если и == и(х;у) и v ==v(x; у) - дифференцируемые функции, заданные неявно уравне-77.==ниямии+ ln v == х,v - ln и ==у.78. Найти dz(x;y) функции z == иЗ +v З , и 1: v, если и == и(х;у)и v == v(x; у) - дифференцируемые функции, заданные неявно уравнениямиu+v==x, u 2 +V 2 ==y.dz(x; у), если:1) z == с sin v, х == а cos и cos v, у == Ь sin и cos v;2) z == с sh v, х == а cos и ch v, у == Ь sin и ch v, а, Ь, с -79.Найтипостоянные.76Гл.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менных1.Пусть системой уравнений80.х cos v+ у sin v + ln u ==у cos vf (v ) ,-х sin v ==f' (v ) ,гдеf(v) - дважды дифференцируемая функция, в окрестности точки (xo;yo;uo;vo) определяются дифференцируемые функции и(х;у)и v(x; у).
Найти в этой точке: 1) du; 2) Igrad ul.Пусть системой уравнений81.(и- f(v))2 == х 2 (у2 - v 2),(и- f(v))f'(v) == x 2v,где f(v) - дважды дифференцируемая функция, определяются дифференцируемые функции и(х;у) и v(x;y). Доказать, чтодu дuдх ду == ху.82. 1)Пусть уравнениемf(x;у;z) ==О в точке (хо; уо;zo)определяются дифференцируемые функциих == х(у;Д оказать,дх(уо;чтодуу == у(х;z),z == z(x; у).z),zo) . ду(хо; zo) . az(xo; уо) --1azдх.2) Пусть уравнением f(Xl;X2; ...
;х n ) == О В точке х о == (X~;xg; ...... ; x~) определяются дифференцируемые функции... ,Д оказать,ОдХl(ХО) д Х 2(Х )чтодХ2дхзf(x;y;u;v) ==fхlПусть системой уравнений83.гдеОдхn(х ) _ (-1)n... д.иО,g(x;y;u;v) ==дифференцируемые функции, определяются дифферен9 -цируемые функции и(х;у)функций и(х;у) ииv(x;y).v(x;y).f(y;u;v) ==0,fНайти частные производныеПусть системой уравнений84.гдеиg(u;v) ==0,дифференцируемые функции, определяются дифференuдшдш9 -цируемые функции u(х; у) и v(x; у). Наити== F(x; у; и; v) -85. Перейтигая х == r cos ер,дхот декартовых координатух,у3)x(2y_x)(~~)2 +2xy~~ +y(2x-у)=О;{dJi..)/(1+(d Y _dxх=d; =ду' если w =к полярным, пола== r sln ер:ш==~;идифференцируемая функция.1)4)О,Ji..
dY );х dxу + х(х 2 + у2),-х + у(х 2 + у2);2)dydx== Х+У.х - Удu5) w == х дх+У,дuду;§ 3.6) w ==хди-у-дхЧастные nроuзводные8) w == д( и, v) .ди_.ду'д(х,у)диРешить уравнение х ду86.77ди== О,У дх-преобразовав его к поляр-ным координатам.Преобразовать уравнение, принимая87.иuvза новые независимые переменные:х ~;1)+J1+y2azaz(х + z) дх~: =ху,azaz+ (у + z) дуu=lnx, v=ln(y+J1+y2);./u=lnyx 2 +y2, v= arctg2) (Х+У)дх -(Х-У)ду =0,3)az + у -azдхду4) х -переменнымazдх2) х4)2х== - -У .2- z , vz-uazдуv:и=0, u=х+у, v=x-y;az + у дуaz == z, х == и, у == uv;azazдх + СУ ду = 1, и = х, v = у - CYZ,3)дхх aaz + у aa z == z + Jx 2 + у2 + Z2,89.;Решить уравнение, преобразовав его к новым независимым88.1)x= х + у + z, и = х + z, v = у + Z;х== -,u ==zУХУСУ = const;U ==Преобразовать уравнение, принявременные, аwу , v == z + Jx 2 + у2 + Z2.Хиuvза независимые пе-за функцию:(х ~;)2 + (у ~:)2 =Z2~; ~:'x=uewy=ve,azw,z=wew.az90.
Преобразовать уравнение (z - х) дх - У ду = о, приняв х заzфункцию, а у иза независимые переменные.az + (у + z) дуaz91. Преобразовать уравнение (у - z) дхх за функцию, а92.и w==Решитьw(u;v):az93.у- z, vуравнение,az1) у дх - х ду2)u ==az(ху + z) дх==у+zза независимые переменные.преобразовав2= о, принявегокпеременным12и,1== (у - х) z, u == х + у , v == х + у'w == ln z - х 2 az+ (1 - у ) ду = х + yz, и = yz - х, v = xz - у,w == ху -Решить уравнение-дшдх+-дшду+-дшaz==vу;z.О, преобразовав его к78Гл.1.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхновым независимым переменным==UХ,V==Уt == z -х,-Х.Преобразовать уравнение94.дшдш(y+z+w) дх +(x+z+w) ду +(х+у+ш)дшaz==x+y+z,приняв за независимые переменныеU == ln (Х -v == ln (У - ш), t == ln (z - ш).95. Записать (grad и)2, где u == и(х; У; z), в сферических координатах,ш),полагаяХ== r cos ер cos ф,96.
Записать (grad и)2,== r sin ер cos ф, z == r sin ф.где u == и(Хl; Х2; ... ; Х n ), в ортогональныхУкоординатахт.е.в координатах, удовлетворяющих условиям(grad Yi, grad Yk) == о,i, k == 1,2, ... , n,дшПреобразовать уравнение Х -д97.хняв за независимые переменныециюs==wjz.Найти в точке98.(2; 1; 1)i< k.дшдшху+ У -д+ z -д==w + -,zzуu == Х j z,v == У j z,t == z,при-а за функ== ХУ,V ==u == yz, v == zx, w ==ху.дифференциал отображения u== zjy.Найти дифференциал отображения99.100.Найти в точке (О; О) производную отображения и исследовать его на дифференцируемость в этой точке:1) u== У + J1 + IхI З lуIЗ/2, v ==у i- о,2) u == { ln:lyl'О,101.НайтиПустьУf -==v = {О,ХЗ /:-2 1-у-15 /-:-6;+ у''--S-lх-I-VIXYТ cos(ljy), У 1: О,О,у-о.тождественное отображение множества Е сRn .f'.102.ОтображениеnUi== bi +Lf:Rn ---+ RmaikXk,iс координатными функциями== 1,2, ...
, т,aik,bi== const,k=lназывают линейным. Найти производную линейного отображения.103.Найти якобиан ~~:: ~~ отображения:1) u == х(х 2 - 3 у 2), V == у(Зх 2 - у2); 2) u == ch Х cos У, v104.Найти якобиан ~~:,' ~~ отображенияХ== r cos P ер,У== r sinP ер,р ЕN.== sh Х sin у.Частные nроuзводные§ 30105.Х==Найти якобиан ~~:::";~ отображенияr cos P ер cos q ф,106.79== r sinP ер cos q ф,у~Наити якобианд(ид('vш)z== r sin q ф,1)UiН~аити=~якобианx,y,z000'отохn)б== х 2 + у2 + Z2 0ражения:nLxL,i = 1,2, ...nk=l2) Uiд(и1,и2,ооо,иn)д(Х1, Х2,q Е Noотображения:, )1) U == ху z, v == ху - ху z, w == у - ху;2) U == x/V 1 - т 2 , V == y/V1 - т 2 , W == z/V1 - т 2 , т 2107 .р,,n;== !2 Х? + '"""~akxk, ~о == 1 , 2 ,ооо,nо1,k=l,k:j:.i108.
Пусть Е 1 С R n , Е2 Е R m ,отображение1Е 1 ---+ Е2 , g: Е2 ---+ R k , причем1:дифференцируемо в точке Х Е Е 1, а отображение9дифференцируемо в точке l(х) Е Е2 0Доказать, что:1)композиция9о1дифференцируема в точке Х и производнаякомпозиции отображений равна произведению производных, то ео(g(1 (Х)) о 1 (х))'k == m == n якобиан== g' (1 (Х)) l' (Х);1в случаекомпозиции 9 ов точке Х равенпроизведению якобианов отображений 1(иl;и2; ооо;и n ) и g(Vl;V2;00. ; v n ), т. е.2)000a(V1,д(Х1,в частности109.,если9000'000'vn)a(V1,хn)д(и1,== 1- 1то000'000'д(Х1,'д(и1,vn)д(и1,иn)д(Х1,хn)000'О;х Е Е с RnU,000'д(Х1,Е Rзадается дифференцируемое отображениеa(J1,000,Jn)оказать,1.хn)чтод(и1,д(Х1,Доказать,что000'000'n,Uiиn) __ (-1)n a(J1, ooo,Jn) /д(Х1, ооо,х n )хn)если1 -непрерывноnRном, не обращающимся в нуль на множествеотображениеточки Х ЕG1==i == 1,2, ...
,n,Ui (Х), и пусть.отображение открытого в пространстве1)000'==1: Од(и1,ооо,иn)110.хn).,Пусть системой уравненийli(x;u) ==Д000'иn)д(и1,. - - -иn)-иn)000'000'a(J1, ooo,Jn) .д(и1,ооо,и n )дифференцируемоемножестваG,Gс якобиато:локально взаимно однозначно, т. е. для любойнайдется окрестность с центром в этой точке, которая взаимно однозначно отображается на некоторую окрестность точки l(х);Гл.80Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менных1.2) образ f(G) множества G есть открытое множество;3) если G - область, то f(G) также является областью.Привести пример непрерывно дифференцируемого отображе111.ния области, якобиан которого нигде в этой области не обращается внульикоторое не взаимно однозначно.ОТВЕТЫ~~1.
1)2) д!дхд!4) -дх1х.=3(х 2 - у), ~~2х - уд!== у2== -1 cos3(у2 - х);ху - 2х . 3) д!2'ду==ху- cos -у.=ууЗдх==. у+ -ху.Sln -хух'Sln --'2х2хуcosx== - -хд!дуу2д! == -х2.'ду,хуУХcos - cos - -у- - Sln - Sln - .ху5)~~х'= eX(xsiny6) д!+ siny + cosy), ~~д!ду2дх)х2+ у2'д! _ ху2)2х2 - 2 у 2= eX(xcosy - siny);2ху) х2 + у2 'д! _ ух 2 )"-2х-2--2у-2.7) дхIxl(x 4 - у4) 'дуlyl(y4 - х 4 ) ,8) д j == sin 2х ln у (1 + sin 2 х) ln у -1 , д j == ! (1дхдху+ sin 2 х) ln у ln (1 ++ sin 2 х).2.
1) 1, -2; 2) 1/3, -1/6; 3) 1 - 1Г, 1 - 1Г; 4) 2, 1.д!3. 1) дх = У2) д!х+ z,д!ду = zд!az = х + у;уд! == _ ~ r == . I x 2 + у2azr З ,у3) д! == ! _ ~ д! == О д!! _~дхzх 2 ' ду'azхZ2 '4) д! == О д! ==! д! == _ JL.дх'дуz' azZ2 'y5) д! == yzX ln z д! == xzxy ln z д! == xyzxy-l.дх' ду, az'6) д j == z f, д j == _ ~ f, д j == f ln х .дххдууazу- r З ' дудх4. 1)д!+ х,дд ! == sin 2Xi;XirЗ '2)дд ! == 2Xif,Xii+ Z2.,== 1,2, ... , n.5. 1) О; 2) 2. 6. 1) О; 2) 1. 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
