1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Преобразовать уравнение Лапласад2 uд 2Х== r cos ер cos ф,у== r sin ер cos ф,nПреобразовать уравнениеLk=lдх 2z == r sin ф.n-lд2 u-kд2 u+ у + az 2сферическим координатам, полагая63.хlхз;-1-- О1 дх·дх·1,)з2)уз:д2uL1)У2,д2 uLдч дЧ+l1 д2 u"2axi 'k=lпринимая за новые независимые переменныеiYi == LXk,i == 1,2, ... ,n.k=l64.Преобразовать уравнение+ (1 + (~; ) 2) ~~~=(122+ (aZ )2) a z _ 2 az az a z +дудх 2дх ду дх дуо при условии a(az~~:: ~;/дY) # О, применяяпреобразование Лежандра, т. е. принимая за новые независимые переменные65.u == az/ax, v == Jz/Jy,аw ==хи+ yv - zРазложить по формуле Тейлора функциюза новую функцию.f(x,y)ти заданной точки:1) f(x; у) == -х 2 + 2ху + 3 у 2 - 6х - 2у - 4, (-2; 1);2) f(x;y) == 2х 2 - ху - у2 - 6х - 3у, (1; -2);3) f(x; у) == х з - 2 у З + 3ху, (1; 2);в окрестнос-§ 4.Частные nроuзводные.
Формула Тейлора4) f(x; у) == х З-5х 2+ у2 + 10х + 5у,(2; -1).Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (ха; Уа)66.функциюа, Ь, с67.- ху101-f(x; у) == ах 2+ 2Ьху + су2,постоянные.Разложить по формуле Тейлора функциюf(x;у;z)в окрест-ности заданной точки:1)2)3)4)68.f(x; у; z)f(x; у; z)f (х; у; z)f(x; у; z)========(хх2+ у + z)2, (1; 1; -2);+ 3z 2 - 2yz - 3z, (О; 1; 2);ху z , (1; 2, 3);хЗ+ уЗ + zЗ- 3xyz, (1; О; 1).Выписать члены до второго порядка включительно формулыТейлора для функцииf(x;у) в окрестности заданной точки:vx1) f(x; у) == l/(х - у), (2; 1); 2) f(x; у) ==+ у, (2; 2);3) f(x;y) == arctg(x/y), (1; 1); 4) f(x;y) == sinxcosy, (Ха;Уа).69.
Разложить функцию f(x; у) == xv1 + у по формуле Маклоренадо о(р2), Р == J х 2 + у2; И записать остаточный член второго порядкав форме Лагранжа.70.Разложить функциюf(x;формуле Тейлора до о(р2), Ру) в окрестности точки (ха; Уа) по== J(x -Ха)2+ (у -Уа)2, и записатьостаточный член 2-го порядка в форме Лагранжа, если:ти1) f (х; у) == sin х sin у, ха == уа == 7г / 4;2) f(x;y) == х У , ха == уа == 1.71. Разложить функцию f(x; у) по формуле Тейлора в окрестносточки Ма(Ха; Уа) до о(р2), где р2 == (х - Ха)2 + (у - Уа)2, если:cos х1+х1) f(x; у) == - , Ма(О; О); 2) f(x; у) == arctg, Ма(О; О);1+уcos у3) f(x; у) ==v/ (1+ х)СХ + (1 + у)fЗ24) f(x; у) == arctg (х 2 у - 2e x -1),' а, j3 Е R, Ма(О; О);Ма (1; 3);5) лх; у) = arcsin (2х - ~xy), мо ( -1; 1);6) f(x; у) == cos(3 arcsinx + у2 - 2ху), Ма (1/2; 1);7) f (х; у) == ln (7Г - 4 arctg х + х 2 / у ), Ма (1; 1).72.
Разложить по формуле Маклорена до о(р2), Р == J х 2функциюf (х; у; z) == cos х cos у cos z - cos (х73.+ у2 + z2,+ у + z).Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (О, О;до о(р2), Р== Jx 2 + у2 + (z - 1)2,функциюf (х; у) == ln (ху+ z2).1)102 Гл. 1. Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менных74. Разложить по формуле Маклорена до о(р4), р == Jx 2 + у2,функциюJ,если:1) f= (l-X)\l-Y);f=J1-х 2 -у 2 ;J == е sin у; 6) J == е2)3) f=cosxcosy;2ХХ4) J == sin х / cos у; 5)ln (1 + у).75.
Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (О; 2)до о(р4), Р == Jx 2 + (у - 2)2 функцию J, если:1) J == х / у; 2) J == sin х ln у.76. Разложить по формуле Маклорена до о(рт), рmЕN,функциюJ х + у2,2==х-уJ==--(l-х)(l-у)·77. Разложить по формуле Маклорена до о(р2т), р == Jx 2 + у2,m Е N, функцию J == 1/J1- х 2 - у2.78. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1; -1)до о(рт), р == J(x - 1)2 + (у + 1)2, m Е N, функцию J == е Х + У •79. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1; 1)до о(р2), Р == J(x - 1)2 + (у - 1)2, функцию и(х; у), и(l; 1) == 1, заданную неявно уравнением:1) иЗ - 2хи + у == О; 2) иЗ + 3уи - 4х == О;3) иЗ + уи - ху2 - х З == о.80.
Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (2е; 1) доо(р2), Р == J(x - 2е)2 + (у - 1)2, функцию и(х; у), заданную неявно:и(l81.+ ln( и/у)) == х,Пусть функцияJ(x; у)и(2е; 1)в областиG==е.имеет непрерывные производные до 2-го порядка включительно. Разложить по формуле Маклорена до o(h 2 ) функциюf(x+h;y)+f(x-F(h) ='2;у+ VЗ h )з22+f(x-'2;у- VЗ h )22,(х;у) Е82.Пусть функцияJ(x; у)в областиGG.имеет непрерывные частные производные до пятого порядка включительно. Разложить поформуле Маклорена до o(h 5 ) функциюF(h) = f(x83.ми+ h; у) + f(x; у + h) :Пусть функцияпроизводнымидоJ(x; у)Доказать, что если+ f(x; у -h),(х; У) Е С.непрерывна вместе со своими частныпорядкаки (ха; Уа), и пусть Рт(х; У)f(x - h; у)m-Q(x; у) -включительновокрестноститочее многочлен Тейлора в этой точке.какой-либо многочлен степени не§ 4.Частные nроuзводные.
Формула Тейлора103m такой, чтоf(x; у) == Q(x; у) + o(pk), k ~ т, р == J(x - Ха)2 + (у - Уа)2 -+ О,то Q(x; у) == Рт(х; у).84. Разложить в ряд Маклорена функцию f и указать множествовышеточек сходимости ряда, если:1) f == 1 - х + у;l+х-у4) f ==7) f ==85.циюf1)3)5)6)3) f == sin х sin у;cos у; 5) f == cos х ch у; 6) f == ln (1 + х + у);V1 + х + у + ху; 8) f == arctg ((х - у)/(l + ху)).еХРазложить в ряд Тейлора в окрестности точки (ха; Уа) функи указать множество точек сходимости ряда, если:f==x/y, Ха==Уа==l; 2) f==1/(2-x-2y+xy), ха==l, уа ==0;f == е Х + У , ха == Уа == 2; 4) f == sin(x + у), ха == О, уа == п/2;f == sin(x +у2), ха == п/2, Уа == О;f==ln(2-x+2y-xy), Ха==Уа==l;7) f == ln86.2) f == cos 2 ( (х - у) /2) ;ху-ух-у, ха == О, Уа == 1;Пусть функцияf(x;8) f == lnxlny, ха == Уа == 1.У) в областиGимеет производные всехпорядков.
Разложить в ряд Маклорена функциюF(u; v) == f(x+ и; У + v)- f(x+ и; У)- f(x; У+ v) + f(x; у),(х;у) ЕG.104 Гл. 1. Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхд 1д 12д 1228) дх 2 == д у 2 == 4, дх ду == 6.3•" == f"УУ == О , f"ХУf ХХд 1_д 122Иf"УХз_4 · f"ху ==2д 1_не существуют.д 12_22-1, f"УХ == 1.д 1236.1) дх 2 -о, дхду -2yz, axaz -3у z, д у 2 -2xz, ayaz2== 6 xyz 2, -дaz12 ==2) - sin (х +д2+ z).д=2д 1'у217. 1) дх 26 ху 2 z·21ду 2д 1д21дaz 2 =д 1д 1axaz = О, д у 2=222) дх 2 = az 2 =8.1) -4; 2) 2(х+у)-З, х+у4) 8е 2У sin( е 2у - 2х).z з 2)9.1) -15j?--;810.хо;3) (148(Хl - Х З ):(Х 2 - Х4)2r21"9' дхду2_д21дr49 '22.о; 3) sinycos(x+cosy);=+ 3xyz + x2y2z2)exyz;64'1axaz ayazд 1д 1ayaz = е, дхду =2>2где r 2=4)о.(хl - хз)2 + (Х2-Х4)2.11 1) f ,.
2) 2( -l)Р(р + q - l)!(qx + ру) .·p.q.,(х - y)P+Q+l'3) (х 2 + у2 + 2рх + 2qy + р2 - Р + q2 - q)e x+ y ; 4) о.12. sin (qn / 2) .13. (х + р)(у + q)(z + r)e X +Y +Z •14.1) 2dxdy; 2) 2sin2ydxdy3) е ХУ ( ydx 2 + 2xdxdy+ 2xcos2ydy2;+ х2у2 -уз2ху + 2 d y 2) ;224) _.JL d 2 ~ d d . 5) 2 (у2 - x )(dx - d y2) - 4xydxdy .х 2 х + х х у,(х 2 + у2)2'233xy dx + 2 dx dy + х у dy26)(1 _ х 2 у 2)З/215.1) e- 1 (dx 2 +dy2); 2) e(6dx 2 -8dxdy+3dy2); 3) -2dxdy;4) 2(dx 2 - dy2); 5) -2(dx 2 - ndxdy); 6) 2(dx 2 - 2dxdy + 5dy2);7) (dx-dy)2; 8) 2(1+1n2)dxdy+21n 2 2dy2; 9) 2dxdy+n 2dy2;-"98 (7 dx 2 +4 dx dy + dy2); 11) -dx 2 + 4 dx dy - 2 dy2;12) 2dxdy; 13) 2(dxdy+dy2); 14) -2y'3dxdy+ln 2 2dy2.10)16. 1) Вся плоскость;2) вся плоскость, за исключением точки (о; о);3) счетное множество полос - х + 7г /2 + 2nk ~ у ~ -х + 37Г /2 ++2nk, k Е z.dx + dy + dz)217.
1) 2(dx dy + dy dz + dx dz); 2) - (.x+y+z§ 4.Частные nроuзводные. Формула Тейлора18.1) 6dz 2 - 4dxdy + 8dxdz + 4dydz;2) а(а - 1) dx 2 + /3(/3 - 1) d y 2 + ((! - 1) dz 2++ 2а/3 dx dy + 2/3! dy dz219. 1) (1/2) dx + (1/2) dy2 + 2 dx dy - dx dz - dy dz;2) 2(dy2 - dx dy + dy dz - dx dz).20.~2{(n-2)tdхТ-4 .. L1,=121.1) 6dx 2 dy;105+ 2а ! dx dz..dXidXj}.1,,)=1,1,<)2) 6(dx 3 +dy3+3dxdy(dy-dx));3) -8cos(x 2 +y2)(xdx+ydy)3-12 sin(x 2 + у2)(х dx4) 6 dx dy dz.22.1) 6dx 2 dy; 2) (2dx+dy)3; 3) -3dxdy2;4) 6(dx dy2 + dy dz 2 + dz dx 2).+ у dy)(dx 2 + dy2);+ y)(dx + dy)4; 2) 2(dx 4/x 3 + dy4/ y3 + dz 4/ z3).24. dx 6 - 15 dx 4 d y 2 + 15 dx 2 d y 4 - d y 6.( _1)n-l(n - 1)'25.1) eax+bY(adx + bdy)n; 2).
(dx + dy + dz)n.(х + у + z)n26. 1) 24(dx 4 + 4 dx 3 dy + 2 dx dy2 dz - 3 dx dy dz 2);2) 24(dx 4 + 5 dx 3dy + dx dz 3).27. 1) f" (u ) (dx + dу ) 2 ;2) f и) (х dX + У ~y )2 + l' (и ) (у dx - х dy)2 ;23. 1) cos(x11 (2Х +у3) f"(u)(yzdx(X 2 +y2)JX 2 +y2+ zxdy + xydZ)2++2f'(u)(z dx dy + х dy dz + у dz dx);4) 4f~u(x dx + у dy)2 + 4f~'v(x dx - у dy)2 + 4f~w(Y dx + х dy)2++ 8f~v(X2dx2 - y 2d y 2) + 8f~w(x dx + у dy)(y dx + х dy) + 8f~'w(x dx- у dy)(y dx+ х dy) + 2f~(dx2 + dy2) + 2f~(dx2- dy2)+ 4f~ dx dy.28. 2) A/t + В.35.2) а) у+ (х3- у3)/3, б) sinx37. х/2 - (х - t)3/422д uд u41. 1) д х 222)+ (х + t)3 /108.40.2) о.2д u4== д у 2 == -,д х д у == о;152д u+ у + ху(х + у)/2.2д uд uдх 2 == д у 2 == о, дх ду22д uд u2д uСаЬ .и42.
1) дх 2 = дхду = д у 2 = (1 _ u)3 ;2) д u =д u2дх 243.1) -2= Одхду632д u = 2(х - u)(у + 1)(х2'д у 2(х 22+ у2 + u 2 -2хu)+у2+ у 2_2хu-у)3·4dx 2 + 206 dx dy - 306 d y 2; 2) - 27 (dx 2 - 7 dx dy3) -4 dx 2 - 20 dx dy+ 26 dy;4) -2dx dy+ 3 dy2;+ d y 2);106 Гл. 1. Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менных-"215) 6dx 2 +6dxdy+2dy 2; 6)44.
1)ас42Ь 23и((у2 - b2)dx 2 - 2ху dx dyх+у+u2)(1 -3) (хх(dx- у - u)31+у -уu2Х+ (х2- а 2 ) d y 2);+ 2dxdy + dy 2 );)3 ((уu - х) dx 2 - 2(уu 2 - (и - l)(х+ (уи 3(2 и 2)2 (у dx - х dy)2.4)1dxdy - S"dy2.-(х+ 2у)и2+ у)) dx dy++ 2(х + у)и) d y 2);-у+ и{)2 f~~) (xfi + yf~)345 1) _ у2 u 2(m)2 f{f - 2f{f~f{~·2u(xf{+ yf~)(f{)2.'2) _ (f;)2(fii + 2fi~ + f~~) - 2(fi + f~)f; (fi~ + f~~) + (fi + f~)2 f;~(f;)346 1) - (f~)2 fii - 2fif~fi~.+ (fi)2 f~~ (dx _ dy)2.+ f~)3- 2fi f~ fi~ + (fi)2 f~~ (у dx _ х dy)2.(xfi + yf~)3·(fi2) (f~)2 fii5 о.
d 2U == - d 2V == - (8 / к 2 ) dx dy.49. 13/121.д2 u1 дu51. 1) д r 2'+ -r-дr1 д2 u+ 2"r2д2 uд2 u-д2 == О; 2) т д 2 == О; 3) -д2 == о.ерrерa 2za 2zaza 2zaz52. 1) auav == О; 2) 5 auav == av; 3) 2и дu 2 + дu == О;a 2za 2za 2zaza 2z2 2u4) дu 2 + av 2 + a e z == О; 5) av 2 + 2 дu == О; 6) 2и auav2222д zд Zдzд Zд Z7) дu av == О; 8) 2v av 2 + av == О; 9) дu 2 + av 2 == О;22) д Zaz10 ) (u + v av 2 == 2и дu .53. 1) z == е- 2 (у+3х) f(x + у)azav '2+х2), гдеции.fи 9 -a2z2) z == f(y - х 2 )+ g(y +произвольные, дважды дифференцируемые функ-a2z+ 2 auav55.
1) дu 2+ g(y + 3х);+a2zav2== О;( a z ) a 2z2) 1 - av auav+az a 2zav av2== 1.2д ш56. 1) дхду+ (с -д2ш2) w ( дх2д ш) == (дш) 2 (дш) 2ду 2дх + ду .2+д ш257. 1) дu 2 ==224)ab)w = О;(V) д шд ши av 2 ; 2) дu 221-a w + a w2 + (дш ) 2 + (дш) 2дu 2д ш2av6) auav == о.58. z == xf(x + у)дuгде2='fд ш2== О; 3) дu 2 + дu av == 2ш;2О' 5) a wwav+ yg(x + у),дифференцируемые функции.д ш2и9-дu av4 sin 2 (и - v) ,произвольные, дважды§ 4.Частные nроuзводные. Формула Тейлорад2х ) 259. 1) ( ду azд2 ш== д у 2д2 ш60. 1) дu 23д2 х д2 х+ av 2д2 uд u2 дu62. д r 2n63. {;-дr+ -rд2uaYk- 2) -4)дшav 2 + at 2 + av-== о.Уз1r 2 COSФд (cos Фar>/,tj/О.
64. (1 + u=дu )ar>/,tj/д2ш2)+21r 2 COS 2 Фд u-д2 == о.ерд2шдu 2 + 2uv дu av + (1 + vд2 ш2)av2=О.+ 2)2 + 2(х + 2)(у - 1) + 3(у - 1)2;f(x; у) == 2(х - 1)2 - (х - l)(у + 2) - (у + 2)2;f(x; у) == -9 + 9(х - 1) - 21(у - 2) + 3(х - 1)2 + 3(х - l)(у 12(у - 2)2 + (х - 1)3 - 2(у - 2)3;f(x; у) == 6 + 3(х - 2) + (у + 1) + (х - 2)2 - (х - 2)(у + 1) + (у +65. 1) f(x; у)2)3)+== о; 2) дu 2д2 ш2) ""§"2 = О.i=l2д2 шд2 uL ""§"2Yi = О;61. 1)2) д у 2 == о.д2 шat 2-д2 хaz 2 ;д2 ш107== 1 -(х+1)2+(х-2)3.f(x; у) == аХ5 + 2ЬХаУа + СУ5 + 2( аХ а + ЬУа)(Х - ха) + 2( Ьх а ++ СУа) (у - Уа) + а(х - Ха)2 + 2Ь(х - ха) (У - Уа) + с(у - Уа)2.67. 1) f(x; У; z) == (х - 1)2 + (У - 1)2 + (z + 2)2 + 2(х - l)(у - 1) ++2(х - l)(z + 2) + 2(у - l)(z + 2);2) f(x; У; z) == 2 - 4(у - 1) + 7(z - 2) + х 2 + 3(z - 2)2 - 2(у - 1) хx(z-2);3) f(x; У; z) == 6 + 6(х - 1) + 3(у - 2) + 2(z - 3) + 3(х - l)(у - 2) ++2(х -l)(z - 3) + (У - 2)(z - 3) + (х -l)(у - 2)(z - 3);4) f(x; У; z) == 2 + 3(х - 1) - 3у + 3(z - 1) + 3(х - 1)2 + 3(z - 1)2 - 3(х - l)у - 3y(z - 1) + (х - 1)3 + у 3 + (z - 1)3 - 3(х - l)y(z - 1).68.1) 1- (х - 2) + (У - 1) + (х - 2)2 - 2(х - 2)(у -1) + (У -1)2;66.х2) 2 + ~ (х - 2)(У - 2)2;3) 1г4+ ~ (у - 2) - 6~ (х - 2)2 - з12 (х - 2)(у - 2) -22+cos ха4COSУа(Х4-ха)'- sin ха sin Уа(У -х sinxo cosYo(x - хо)2 - cosXo sinyo(x - хо)(у - Уа) - ~-х+ !(Х-1)- !(у-1)- !(Х-1)2+ !(у-1)2.4) sin ха cos Уах (У614Уа)1- "2хsinxo cOSYo хУа)2.ху== х + 2" + о(р2),< () < 1.69.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
