1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Найти условные экстремумы функции u == f(x, у, z) при за1)2)3)4)данных уравнениях связи:1)2)3)4)uuuu5) u+z ==== xyz, х + у - z == 3, х - у - z == 8;== xyz, ху + yz + zx == 8, х + у + z == 5;== ху + yz, х 2 + у2 == 2, у + z == 2, у > О;== х 2 + у2 + z2, х 2 /4 + у2 + Z2 == 1, х + у + z == О;== (х - 1)2 + (у - 2)2 + (z - 3)2, х 2 + у2 + Z2 == 21,3х+ 2у +О;6) u == х 2 /4 + у227.+ z2,х2+ у2 + Z2 ==1, х+ 2у + 3z == о.Найти условные экстремумы функции uпри заданном уравнении связи:nn1) u == Laix;, LXi == 1, aii=li=ln2) u ==nL xi , L2i=li=lnn3) u == Li=l> О;xf, Li=lX'_1,а·1,== 1, ai > О;xi == а, а> О, а > О;== f(x),х ЕR n , n> 1,§ 5.n4) u ==Э1iсmремумы ФУН1iЦUЙ121nа·_1, ,Li=lbiXi == 1, aiLХ·1,> О, bi > О, xi > О;i=lnппп5) u== П xriL,i=lxi== а,Qi> О, а > О;заданном множествеu== L aiXi, L Х; == 1.i=li=lНайти наибольшее М и наименьшее28. 1)2) u ==3) u ==4) u ==5) u ==6) u==хух - хузначения функцииu на(28-33).+ Х + У,2mi=l+ У, Ixl-2 ~ Х ~ 2, -2 ~ У ~ 4;~ 2, lyl ~ 3;х + у2 - 4х, -2 ~ Х ~ 1, -1 ~ У ~ 3;Х З + уЗ - 3ху, О ~ Х ~ 2, -1 ~ У ~ 2;Х З + 8 у З - 6ху + 1, О ~ Х ~ 2, lyl ~ 1;Х + Ix - yl, Ixl ~ 1, lyl ~ 2;х 2 - ху + у2, Ixl + lyl ~ 1;26) u ==7) u ==8) и==(х+у)е ХУ , -2~x+y~1.29.
1) u == 1 + х + 2у, х + У ~ 1, х ~ О, У ~ О;2) u == х + 3у, х + У ~ 6, х + 4у ~ 4, У ~ 2;3) u == х 2 - 2у + 3, У - х ~ 1, х ~ О, У ~ О;4) u == х 2 + у2 - ху - х - У, х + У ~ 3, х ~ О, У ~ О;5) u == ху(6 - х - у), х + У ~ 12, х ~ О, У ~ О;6) u==sinx+siny-sin(x+y), x+y~21Г, x~O, y~O.30. 1) u == 3 + 2ху, а) х 2 + у2 ~ 1, б) 4 ~ х 2 + у2 ~ 9;2) u == (х - 6)2 + (У + 8)2, х 2 + у2 ~ 25;3) u == х 2 - у2, х 2 + у2 ~ 2х; 4) u == х 2 у, х 2 + у2 ~ 1;5) u == у4 - х 4 , х 2 + у2 ~ 9; 6) u == (у2 - х2)еl-х2+у2, х 2 + у2 ~ 4.31. 1) u==х+ 2у + 3z,х+У~ 3, х+У~z, 3х+ 3у~z, х ~ О,У ~ О;2) u == 3z - У - 2х, х + У ~ 2, 3х + У ~ 6, О ~ z ~ 3, х ~ О;3) u==x+y+z, x2+y2~z~1;4) u == х 2 + 2 у 2 + Зz 2 , х 2 + у2 + Z2 ~ 100.n32. u==Lx;,i=lnLxi~l.i=l33.1) u==x+y-z, х 2 +у2==1, y+z==l;2) u == х 2 + 2 у 2 + Зz 2 , х 2 + у2 + Z2 == 1, х + 2у + 3z == О;3) u == 3х 2 + 4 у 2 + 5z 2 + 4ху - 4yz, х 2 + у2 + Z2 == 1;4) u == у2 + 4z 2 - 2ху - 2xz - 4yz, 2х 2 + 3у 2 + 6z 2 == 1.34.
Найти наибольшее М и наименьшее m значения функции1) u == (ху - 1)2 + у2; 2) u == Ix + yl - J1 - х 2 - у2;3) u == (2х 2 + у2)еl-х2-у2; 4) u == (х 2 + у2 + z2)e-(х +2 у2 +Зz ).22и:122 Гл. 1. Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менных35.Верно ли утверждение: если Р(х), Х Едостигает вIP(x) I36.RnRn ,-многочлен, тосвоего наименьшего значения?Доказать, что наибольшее и наименьшее значения функцииnUна сфере==LaikXiXk,aik==aki,i,k=lnL Х; == 1 равны наибольшему и наименьшему корню хаi=lрактеристического уравнения матрицы (aik).37.
Найти расстояние между кривой и прямой:1) у == х 2 , Х - у - 5 == О; 2) х 2 - у2 == 3, у - 2х == О;3) 9х 2 + 4 у 2 == 36, 3х + у - 9 == О;4) 2х 2 - 4ху + 2 у 2 - Х - у == О, 9х - 7у + 16 == о.38. Найти точку, для которой сумма квадратов расстояний отпрямых Х == О, У == О, Х + 2у - 16 == О наименьшая.39. Найти наименьшую площадь треугольника, описанного околоэллипса с полуосями а иЬ так, что одна из сторон треугольникапараллельна большой оси эллипса.40. Найти полуоси эллипса 7х 2 - 6ху + 7у 2 == 8.41. Найти наибольшее расстояние от центра эллипсас полуосями а и Ь до его нормалей.42.На плоскости Х+у -2z ==О найти точку, сумма квадратоврасстояний которой от плоскостей Х+ 3z -6==О и у+ 3z -2==Обыла бы наименьшей.Х43.
Найти расстояние от точки (О; 3; 3) до кривой х 2+ у + z == 1.44. Найти расстояние между поверхностямих 2 /9645.+ у2 + Z2 ==1и3х+ у2 + Z2 == 1,+ 4у + 12z == 288.Найти наибольший объем, который может иметь прямоугольный параллелепипед, если:1)поверхность его равна46.S; 2)сумма длин ребер равна а.Найти наибольший объем, который может иметь прямоугольный параллелепипед, вписанный:1)2)в полусферу радиуса R;в прямой круговой конус, радиус основания которого равен т,а высота Н;3)4)в эллипсоид, полуоси которого равны а, Ь, с;в сегмент эллиптического параболоидаz/c==x 2/a 2 +y2/b 2,47.z==h,а>О,Ь>О,С>О,h>O.Определить наибольшую вместимость цилиндрического ведра, поверхность которого (без крышки) равнаS.§ 5.48.Э1iсmремумы ФУН1iЦUЙ123Определить наибольшую вместимость конической воронки,поверхность которой равна В.49.сОпределить наибольшую вместимость цилиндрической ванныполукруглымпоперечнымсечением,еслиповерхностьванныравна В.50.Найти наибольший объем тела, образованного вращением треугольника с периметром р вокруг одной из его сторон.51.Найти наименьшую поверхность, которую может иметь прямоугольный параллелепипед, если его объем равен52.v.Определить наименьшее количество материала, необходимогодля изготовления шатра заданного объемаV,имеющего форму цилиндра с конической крышей.53.Тело представляет собой две пирам иды и прямоугольный параллелепипед,основаниякоторогосовмещенысоснованиямидвуходинаковых правильных пирамид.
При каком угле наклона боковыхграней пирамид к их основаниям поверхность такого тела будет наименьшей, если его объем равен54.V?Определить размеры открытого прямоугольного аквариума сзаданной толщиной стенокdи емкостьюV,на изготовление которогопотребуется наименьшее количество материала.55.> О,ЬНайти площадь плоской фигуры, ограниченной эллипсом (а> О,с>> О) :2 {AX+BY+CZ==O,1) {АХ + Ву + Cz == О,2222) x2ja2+y2jb2+z2jc2=1.x ja +y jb == 1;56. Число а > О разложено на n положительных множителейтак,что:1)2)сумма их кубов наименьшая;сумма их обратных величин наименьшая.Найти значения суммы.57.Пусть физические величины Х и У связаны неизвестной линейной зависимостью У==ах+ ь.в результатеnизмерений получены с некоторой погрешностью следующие пары значений: (Хl; Уl)'(Х2;У2), ...
, (Хn;Уn). Согласно принципу наименьших квадратов, наиболее вероятными значениями коэффициентов а и Ь считаются те,при которыхnL(Yi - aXi - ь)2i=lдостигает наименьшего значения. Найти наиболее вероятные значения а, Ь для коэффициентов а и Ь.58.В результате последовательных центральных соударений абсолютно упругих шаров с массами М> т n > т n -l > ... > тl > m124 Гл. 1. Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхтело с массойv ==гдеV -mприобретает скоростьmlт2mml mlт2+тnМ2n+1Vmn-l + тn тn + М'+скорость тела с массой М.
Как следует выбрать массы т1,т2, ... , т n , чтобы тело массыmприобрело наибольшую скорость?Найти значение наибольшей скорости.Для системы материальных точек (Х1;У1), ... , (Хn;Уn) с массами, соответственно равными т1, ... ,т n , найти точку (х;у), относи59.тельно которой момент инерции системы будет наименьшим.60.Решить задачу59при дополнительном условии: точка (х; У)должна лежать на окружности х 2+ у ==21.61. Для системы материальных точек (Х1;У1), ... , (Хn;Уn) с массами, соответственно равными т1,х... , т n ,+ у sin а -cos анайти прямуюр==О,относительно которой момент инерции системы будет наименьшим.62.Если в электрической цепи, имеющей сопротивлениечет ток1,то количество теплаQ,дов, сопротивления которых1тевыделяющееся в единицу времени, определяется законом Джоуля-Ленца:Как следует разветвить токR,на токиQ == Q o12 R, Qo -11, ...
, l nR 1 , ... , R n ,при помощиconst.nпровочтобы выделение тепла былонаименьшим? Найти наименьшее значениеQ.ОТВЕТЫ1.3)2.2)3)4)5)1) Минимум и(7; -2) == -39; 2) максимум и(1; О) == 4;экстремумов нет; 4) нестрогий минимум u == О при у == 2х+ 1.Минимум и(О; -2/3) == -4/3;минимум и(1; 2) == -25, максимум и( -1; -2) == 31;минимум и(О; О) == О, максимум и( -5/3; О) == 125/27;минимум и(1/3; 2) == -47/9, максимум и( -1/3; О) == -7/9;1)если а > О, то максимум и( -а; -а) == аЗ; если амум и( -а; -а) == аЗ; если а == О, то экстремумов нет.< О,то мини-3. 1) Максимум и(1; 3) == 9; 2) минимумы и(±1; О) == -1;3) минимумы и( J2; -J2) == и( -J2; J2) == -8;4) максимум и(О; О) == О, четыре минимума и(±1/2; ±1) == -9/8;5) максимум и(3; 6) == 324;6) максимум и(2; 3) == 108, нестрогий минимум и(О; у) == О, У ЕЕ (0;6), нестрогий максимум и(О;у) == О, У Е (-00;0) U (6;+00).4.
1) Максимум и( -1; -1) == -3; 2) минимум и(4; 2) == 6;3) максимум и( -3; -3) == -81;4) экстремум и( {/а 2 /Ь; {/Ь 2 /а) == з-vaь, если а 1: О, Ь 1: О; минимум, если Ь/а> О; максимум, если Ь/а < о.5. 1) Минимум и(2; 4) == -8; 2) экстремумов нет;§ 5.==Э1iсmремумы ФУН1iЦUЙ1253) минимум и(О; -2) == 1; 4) экстремумов нет;5) два минимума и(±1; =r=2) == -4, два максимума и(±1; ±2) ==4; нестрогий экстремум u == О в точках эллипса х 2 /3 + у2/12 == 1;минимум при ху> О,максимум при ху6) максимум и(а/с; Ь/с)==< О;Va 2 + Ь2 + с 2 ,если с>О; минимумu(a/c;b/c)==-Va 2 +b2+ c2, если с<О.6. 1) Минимум и( -2; О) == -2/е; 2) максимум и( -4; -2) == 8/е 2 ;3) минимум и(О; О) == О; 4) экстремумов нет;5) минимум и(О; О) == -1;6) минимум и(1; 3) == _e- 13 , максимум и( -1/26; -3/26)== 26e- 1 / 52 ,.О; если а > Ь, то два максимума и(±1; О) ==Ь, то два максимума и(О; ±1) == Ь/е; если а == Ь, то7) минимум и(О; О)==а/е; если а<нестрогий максимум==u ==а/ е== Ь/ ев точках окружности х 2+ у2 == 1.7.
1) Минимум и(1; 2) == 7 - 10 ln 2; 2) экстремумов нет;3) два минимума и(±4; ±4) == 32(1 - 41n2);4) два минимума u(±1/v"2e; ±1/v"2e) == -1/(2е), два максимумаu(±1/v"2e; =r=1/v"2e) == 1/(2е).8.1) Максимум и(7Г/3;7Г/6)2)3)максимумu(1г -1Г)_.3'3==3vГз/2;3vГз== -8'минимумu (21Г_. -21Г3' 3максимумы UС; + (k+n)w; ~; + (k-n)н)+ 2 + vГз, минимумы UС; + (k + n)1г; - ~; + (n -=) == - 3vГз-.8'7; +2kw+k)H) = -~++ 2n7Г - 2 - vГз, k, n Е Z; 4) максимумы u(2nk; О) == 2, k Е Z.9.Стационарные точки(±1; О),(О; О), минимум и(±1; О)== -1.Нельзя, так как d u в стационарных точках не является ни положи2тельно определенной, ни отрицательно определенной, ни неопределенной квадратичной формой.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
