1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 25
Текст из файла (страница 25)
n == 3, кривая особых точек не имеет.38. 1) 4у == х 2 ; 2) у2 == 4х; 3) у == 1 + ln х;4) у==хагсsiпх+V1-х 2 ;5) параметрические уравнения огибающей х== - f'(t),у== f(t) -- tf'(t);6) х 2 + у2 == р2; 7) 9у 239. 2ху == ±В.40. х 2 / 3 + у2/3 == а 2 / 3 .42.==Дуга эпициклоиды х4х 3 ;8)8у 3За==27х 2 .а== 4 cos t - "4 cos 3t,sin t - ~ sin 3t It I < 1Г.У == За44'2х2у2ху == О, х + у2 # О; 4) 2R2 + R2 == 1.43.1) у2== ±R; 2) у == ±х; 3)44.
х 3 + ху2 + у2 == о.45. (х - з)2 + у2 == 9, х == -2.46. Астроида х 2 / 3 + у2/3 == d2/ 3 без вершин.47. 1) у == О, У == 4(х - 1); 2) у == ±х/2; 3) у == 4х 2 /3;4) огибающей нет; 5) у == О, У == (х/2)4, х 2 + у2 # О; 6) у == -х 4 /4.48. у == v6/(2g) - gx 2 /( 2v6)·49. 1) у == -4х; 2) у == 1/4х 2 ; 3) парабола х == у2 без вершины;4) у == -х ± 2; 5) у == ех, кроме точки (О; О); 6) у == ±2е ;7) у == х ± 1; 8) у == (tg 2 x)/4.50. 1) х(у + х) == О, состоит из двух прямых семейства, огибающейнет;2) у == О, является огибающей;3) у == О, состоит из особых точек кривых семейства, являетсяХогибающей;4)у==О, состоит из особых точек кривых семейства, огибающейу==хнет;5)± 2,является огибающей;144 Гл. 1. Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менных6)(у- х)((у - х)2 - 4) == о, состоит из огибающей у == х ± 2 ипрямой у==х, содержащей точки перегиба кривых семейств;7) у == ±2х 2 , является огибающей;8) х(х + 2) == о, состоит из огибающейх== -2содержащей узловые точки кривых семейства;9) х(х 3-4)== о, состоит из огибающей х ==и прямой хWипрямой х==о,== о,содержащей узловые точки кривых семейства;10) у(5 5 у - 28)==== о,состоит из огибающей уо, содержащей точки возврата второго рода.== 28/55И прямой У51.
1) (х - 1)2 + (у - 2)2 == Z2; 2) х 2 + у2 == R 2;3) х 2 + у2 + Z2 - ху - yz - xz == 3R 3 /2;4) х 2 + у2 + Z2 - 2ху - 2yz - 2xz == о, х 2 + у2 + Z2 1: о.52.1) (Т ± у'х 2 + у2)2 == R 2 - Z2; 2) (z ± у'х 2 + у2)2 == 2R 2.53. Ixyzl == V/(41ГvГз).==ГЛАВА2КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕИНТЕГРАЛЫ§ 7.Мера Жордана. Измеримые множестваСПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯРазбиение'м (иногда сетью) рангаkпространстваRnназываютсовокупность всех замкнутых кубов видаQ == {Х: mi/10k ~ Xi ~ (miгдеmi - любыеJliуба,Ми ранга k, k+ 1)/10 k ,i==1, ... ,n},i == 1, ... , n; сами эти кубы называют0,1,2, ... Кубы в R1 являются отреЗJliа,Ми, в R2 -целые числа,==Jliвадрата'мИ.Если два куба ранговk1иk2имеют общую точку, то либо одиниз этих кубов (большего ранга) содержится в другом, либо пересечение кубов является гранью одного из них или общей гранью обоихk 1 == k 2 ), в частности вершиной.Число 10- kn называют 'мерой Jliуба ранга k (длиной в R1 , площадью2nв R , обое,Мо,М в R , n ~ 3) и обозначают J-L(Q) , т.
е.(приJ-L(Q) == 10- kn .ВместодинениярангаkSJ-L(Q)(1)используют также обозначениеконечной совокупностиестьNкубовmes Q. Мера объеQj, j == 1, ... , N, одногоJ-L(S) == N . 10- kn .Для объединенияS(2)счетной совокупности кубов одного ранга полагают J-L(S) == +00.Меру пустого множества считают равной нулю, т. е.Для произвольного множества Х Срангаk, k== 0,1, ... ,Rnk,о.объединение всех кубовлежащих в Х, будем обозначатьдинение всех кубов рангаJ-L(e;) ==Sk(X),а объеимеющих с Хнепустое пересечение-Эти множества могут быть, в частности, и пустыми.
Множество Sk(X) иногда называют nОJliрытие,М Х кубами ранга k.Sk(X).Верны включенияSk(X)С Х сSk (Х)Sk(X)10~Под ред. Л.Д.Кудрявцева, Т.3СSk(X),Sk+l (Х),Sk+l (Х),k == 0,1, ...(3)(4)(5)Гл.146(2)2.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралыОбозначим для краткостиследуют неравенства~ЧленыSk == Sk(X).Изтов-силу+00.последовательностиинеотрицательности+00. ЕслиJL(Sk) есть +00, точислаилиJL(Sk)(6)либо не-Если эти последовательности чисмонотонностинеотрицательныеи ее предел есть(4), (5),JL(Sk+l),отрицательные числа, либопределыИJL(Sk) ~ JL(Sk+l), k == 0,1, ...последовательностей JL(Sk) и JL(Sk), k == 0,1, ...
,JL(Sk)ловые,Sk == Sk(X)илиониимеютсредичленовсчитают, что+00.Конечный или бесконечный предел последовательности JL(Sk(X))называют внутренней (или нижней) мерой Жордана множества Х иобозначаютJL*(X)илиJL* (Х)JL(X),т. е.JL(X) == lim JL( Sk (Х)).-(7)k---++CX)Конечный или бесконечный предел последовательностиJL(Sk (Х))называют внешней (или верхней) мерой Жордана множества Х и обозначаютJL*(X) или JL(X), т.
е.JL* (Х)JL(X) == lim JL(Sk (Х)).(8)k---++CX)О п Р е Д е л е н и е м еры Ж о р Д а н а. Если внутренняя и внешняямеры Жордана множества Х конечны и равны, т. е.JL* (Х) == JL* (Х) == JL(X),то числоJL(X)(9)называют мерой Жордана множества Х, а само множество называют измеримым по Жордану.Для пустого множества это определение совпадает с прежним,т. е.JL(e5) ==о.Меру Жордана множества в R 1 называют длиной, в R 2 - плоnщадью, в R , n ~ 3, - обоемом.Вместо термина "измеримое" в R2 употребляют также термин"ffвадрируемое", а в R 3 "ffубируемое".
Для указания размерностипространства меру Жордана множества Х вютRnиногда обозначаJLn(X).Для краткости часто будем говорить "мера" и "измеримое множество", подразумевая, если нет дополнительного указания,Жордана" и "измеримое по Жордану множество""мера.Непосредственно из определения вытекают следующие простейшие свойства меры:мера всякого измеримого множества неотрицательна;всякое измеримое множество ограничено;еслиJL(X) ==JL(X) ==о, а Х 1 С Х, то иJL(X 1 ) ==о;еслио, Х - замыкание Х, то и JL(X) == о;если Х 1 и Х 2 измеримы и Х 1 С Х 2 , то JL(X 1 ) ~ JL(X 2 ) (монотонность меры).§ 7.Мера Жордана.
Измеримые множества147Справедлив следующийКритерий измеримости. Для того чтобы множество Х былоизмеримым, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниченными чтобы мера его границы была равна нулю, т. е. М(дХ)дХ==О, гдеграница Х.-Верны следующие утверждения о мере Жордана.Объединение и пересечение конечной совокупности измеримыхмножеств, а также разность двух измеримых множеств являются измеримыми множествами.Мера объединения конечной совокупности попарно непересекающихся измеримых множеств равна сумме мер этих множеств (аддитивность меры).Пусть Х' с{хRm, Х" сn(х'; х") Е R : х'====Rn -(Х1;m.
Множество... ; х т )Е Х', х"==(Х т +1;... ; х n )Е Х"}называют произведением множеств Х' и Х" и обозначают Х' х Х".mЕсли множество Х' измеримо в R , а множество Х" измеримоn mn, то множество Х' х Х" измеримо в Rв R иМn (Х' Х Х")==Х' х [а; Ь] с основанием Х' измерим вМn (Х)Если Х'Rn- m-Мт (Х') .
Мn-т (Х").измеримое множество в R n -В частности, если Х' цилиндр Х====(Ь1Rnто всякий,и- а) . Мn-1 (Х').ограниченное множество вRm,а мера множества Х"вравна нулю, то и Мn(Х' Х Х") == о. В частности, если мераnоснования цилиндра равна нулю, то и мера цилиндра в Rравнанулю.График любой непрерывной на компакте*)функции измерим, иего мера равна нулю.Всякая спрямляемая кривая вRnизмерима, и ее мера равна нулю.Раз б и е н и я и з м е р и м о г о м н о ж е с т в а. Пусть Хмое множество вnR.-измериКонечную совокупностьТ(Х)== {X j , j == 1, ...
, N}непустых измеримых множеств называют разбиением Х, если:1) M(X k n X i ) == о, k1: [,nk, l == 1, ... , N;U X j == Х.2)j=lДля всякого разбиения Т(Х) верно равенствоNLM(Xj )== М(Х).j=lЧислоIT(X)I ==m~x diamXj,J*)10*l\омпакт -ограниченное замкнутое множество.Гл.148гдеКратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.diam X jдиаметр множества-X j , j == 1, ... , N,называют мелJliосmью разбиения т(Х).Пусть т(Х) И т' (Х)разбиения измеримого множества Х и-для каждого множества Х} Е т' (Х),жествоX kjЕ т(Х),1~~kjj== 1, ... , N',такое, что Х} сN,существует мно-X kj ;тогда разбиение т' (Х) называют вписанным в разбиение т(Х) и пишут т' (Х)>->-т(Х) И т(Х) -< т' (Х).Если т(Х) -< т' (Х) и т' (Х) -< т" (Х), то т(Х) -< т" (Х).ДЛЯ любых двух разбиений т' (Х) и т" (Х) измеримого множества Х существует такое разбиение т(Х) этого множества, что т(Х) >>- т' (Х) и т(Х) >- т" (Х).ДЛЯ всякого измеримого множества существуют разбиения скольугодно малой мелкости.Для любого открытого измеримого множества существуют разбиения сколь угодно малой мелкости, все элементы которых имеютположительную меру.ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИQ ранга ko в Rn измерим по Жордану и его мера Жордана совпадает с введенной в (1) мерой, т.
е.При м е рравна1.Доказать, что куб<k o,10- kon .А ЕслиQ; поэтомуSk(Q) == о, JL(Sk(Q)) == о. Если k == k o , то Sko(Q) == Q, JL(Sko(Q)) ==== 10- kon . Если k > k o , то опять-таки Sk(Q) == Q и JL(Sk(Q)) == 10- kon .kЗначит,то никакой куб рангаkне лежит вlim p,(Sk(Q)) = 10- kon ,J14(Q) =k-+CXJДанный кубQесть множествот·mi + 1.1}'~ == , ... , n ,== { Х: 10;0 ~ xi ~ 10 kогде mi Е Z, i == 1, ... , n. При k ~ k o JL(Sk(Q)) - некоторые положительные числа. Пусть k > k o . Объединение Sk(Q) всех кубов ранQгаk,имеющих сQSk(Q) =={непустое пересечение, есть множествот·1х: 10;0 - 10 k ~xi~mi+110ko+1}10 k .Этот куб с ребром длины10 k- ko + 210 ko + 10 k10 kсодержит (10 k- ko + 2)n кубов ранга k.
Поэтому12(1JL(S (Q)) == (10 k - kО + 2)n . 10- kn == 10-kon +2) nk10 k- ko'JL* (Q) == lim JL(Sk (Q)) == 10- kon .k-+CXJТаким образом, p,*(Q)=p,*(Q) = p,(Q) = 10- kon , •Мера Жордана. Измеримые множества§ 7.При м е р149Доказать, что на отрезке есть открытое множество,2.неизмеримое по Жордану.А Укажем такое множество на отрезке [О;1],следуя идее Г. Кантора.Сначала отметим, что если а и Ь-концы отрезков рангасередина отрезка [а; Ь] является концом отрезка рангавительно, а==m10-k'Ь==n10-k '1где т, n Е Z, и - (а2каждое число такого вида есть конец отрезкаk + 1.тоДейст-+ n)5(т+ Ь) ==ранга k + 1.k,10k+1'аОпишем процесс индуктивного построения требуемого множества.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
