1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Пусть функции f(x), CPi(X), i==1,2, ...... , т, Х Е Rn , дважды непрерывно дифференцируемы в окрестноститочки х О , и пусть в этой точке выполняются необходимые условиясуществования условного экстремума функциияхf (Х)при ограничени(4).Тогда, если при выполнении условийdCP'l.( Х О) --nLk=lвторой дифференциал2aepi(XO) dXk -- О ,aXkd L(xO)nLd2 > О,Xk(9)k=lфункции Лагранжа является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой, то функцияf(x)в точке х О имеет условный строгий минимум (максимум).Э1iсmремумы ФУН1iЦUЙ§ 5.115Если при условиях (9) второй дифференциал d2 L(x O ) являетсянеопределенной квадратичной формой, то в точке х О условного экстремума нет.3.Наибольшее и наименьшее значения функции.
Для функции, непрерывной на ограниченном замкнутом множестве, существуют на этом множестве точка, в которой функция принимает наибольшее значение, и точка, в которой функция принимает наименьшее значение (теорема Вейерштрасса). Функция, дифференцируемаяв ограниченной области и непрерывная на ее границе, достигает своего наибольшего и наименьшего значений либо в стационарных точках,либо в граничных точках области.ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИПри м е р1.Исследовать на экстремум функцию двух перемен-ных+ 3ху 2u == х 3- 39х - 36у+ 26.А Найдем частные производные 1-го порядкадuдх==3х2+ 3у 2 -дuду39,==6ху- 36.Согласно необходимым условиям экстремума (формулы{22Х + у == 13,ем систему уравненийхудх 2(3)(3; 2), (-3; -2),Вычислим частные производные 2-го порядка:д2 uМатрицаполуча-== 6.Решив эту систему, найдем все стационарные точки:(2; 3), (-2; -3).(1))== 6х,д2 uдх дуд2 u== 6у,ду 2== 6х.в данном случае имеет вид( 6Х6У)6у6х.Ее главные миноры ~1 и ~2 равныд.l = 6х,В точке(3; 2)д.2 =6х6у6у6х= 36(х - у2).2они положительны; следовательно, в этой точке функция имеет строгий минимум и(3;2)== -100.В точке(-3; -2)минор1-го порядка отрицателен, 2-го порядка положителен; следовательно,в этой точке функция имеет строгий максимум и( -3; -2) == 152.
Вточках (2; 3) и (-2; -3) минор 2-го порядка отрицателен, поэтому вэтих стационарных точках экстремума нет.При м е р2.АИсследовать на экстремум функцию трех перемен-ныхu == 3х 38*+ у2 + Z2 + 6ху -2z+ 1.116 Гл. 1. Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхА Найдем частные производные 1-го порядка:дuдu2дх==9х +6у,дuду==2 у +6х,az==2z-2.Решив систему3х2у+ 2у == О,+ 3х == О,{ z-l==O ,найдем стационарные точки(2; -6; 1)и (О; О;1).Вычислим частыепроизводные 2-го порядка:д2 uд2 uдх2 == 18х,Матрицад2 uду 2az 2 == 2,д2 uдх ду == 6,в данном случае имеет вид(3)(l~X ~ ~)в точке(2; -6; 1)~1==ее главные миноры18х,~2==36(х~3- 1),72(х==- 1)положительны.
Следовательно, в этой точке функция имеет минимум и(2; -6; 1) == -12. Для исследования функции в точке (О; О; 1)нельзя использовать критерий Сильвестра, так как ~1 == о. Легковидеть, что в этой точке экстремума нет. В самом деле, и(О; О; 1) ==== О, а в сколь угодно малой окрестности точки (О; О; 1) функция принимает как положительные, так и отрицательные значения. Например, и(Е; О;1)При м е р> О,3.если Е> О,И и(Е; О;1)< О,если ЕНайти условные экстремумы функции< о. АU == xyzотносительно уравнений связих+ у + z == 6,х+ 2у + 3z == 6.А Разрешим уравнения связи относительно переменных х и у:х== z + 6,у== -2z.Подставив найденные значения х и у в выражение для и, сведем задачу к исследованию на обычный (безусловный)экстремум функции== -6z(z + 4), и" == -12(z + 2), и"(О) == -24, и"( -4) == 24,то в точке z == О функция имеет максимум u == О, а в точке z == -4 минимум u == -64.
Следовательно, исходная функция при заданныхограничениях имеет один условный максимум и(6; О; О) == О и одинусловный минимум и(2; 8; -4) == -64. АПример 4. Найти условные экстремумы функции u == f(x;y) ==== 6 - 5х - 4у относительно уравнения связи ер(х; у) == х 2 - у2 - 9 == о.так как и'А Функциирица Якоби(6)fи ер дважды непрерывно дифференцируемы. Матв данном случае имеет вид (2х-2у), и ее ранг равен§ 5.Э1iсmремумы ФУН1iЦUЙ117единице во всех точках, удовлетворяющих уравнению связи. Следовательно, можно применить метод Лагранжа.
Запишем функцию Лагранжа:СогласноL(x;y) == 6 - 5х - 4у + л(х 2 - у2 - 9).необходимым условиям (7), (8) получаем систему~~= -5+ 2лх = О,aL-ду == -4 х2-у22лу- 9 ==== О ,О,из которой находим х == -5, у == 4 при л == -1/2 и х == 5, у == -4и л == 1/2. Таким образом, функция f может иметь условный экстремум только в двух точках: (-5; 4) и (5; -4). Вычислим второйдифференциал функции Лагранжа. Так какaLa2дх 22L2л 'дх ду====a2LО, д 2у== -2л ,тоd2L == 2л(dх 2 - dy2).Найдем первый дифференциал функции ер:dep ==хdx -уdy.В точкахвомрой(-5; 4) и (5; -4) дифференциалы dx и dy связаны равенст5 dx + 4 dy == О (условие (9)).
При выполнении этого условия втодифференциал функции Лагранжа в точке (-5; 4) являетсяположительно определенной квадратичной формойd 2L ==а в точке(5; -4) -~ dx 216'отрицательно определенной формойd 2L == - ~ dx 2.16Следовательно, функциямум и( -5;== -3.4) == 15,fа в точкев точке(-5; 4)имеет условный мини(5; -4) -условный максимум и(5;-4) ==АЗАДАЧИИсследовать функцию и(х; у) на экстремум1.2)4)2.3)5)3.3)5)(1-8).1) u == х 2 + ху + у2 - 12х - 3у;u == 3 + 2х - у - х 2 + ху - у2; 3) u == 3х + 6у - х 2 - ху + у2;u == 4х 2 - 4ху + у2 + 4х - 2у + 1.1) u == 3(х 2 + у2) - Х З + 4у; 2) u == 3х 2 у + уЗ - 12х - 15у + 3;u == 2х З + ху2 + 5х 2 + у2; 4) u == 3х З + уЗ - 3у 2 - Х - 1;u == х з + уЗ + 3аху.1) u == х 2 у 2 - 2 ху 2 - 6х 2 у + 12ху; 2) u == х 4 + у4 - 2х 2 ;u == х 4 + у4 - 2 (х - у) 2; 4) u == 2х 4 + у4 - х 2 - 2 у 2;и== ху 2(12-х-у), х>О, у>О; 6) u==х 2 у З(6-х-у).118 Гл. 1.
Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менных4. 1) U == (х + у)/(ху) - ху; 2) U == 8/х + х/у + у;3) U == 81(1/х + l/у) - (х 2 + ху + у2); 4) U == ху + а/х5.1) u==зх 2 -2хуГу+у-8х;+ Ь/у.2) u == xv!l + у + yv!l + х, х > -1, у > -1;3) и==1+х 2 + ij(y+2)2; 4) и==1+у2- V(x-2)4;5)U== xyJ12 - 4х 2 - у2;6) u == ах + уЬ + сJl + х 2 + у2'а 2 + ь 2 + с 2 > о.6. 1) u == (х + у2)е Х / 2 ; 2) u == (х 2 - 2 y 2)e X - У ;23) u == (8х 2 - 6ху + 3у2)е2Х+ЗУ; 4) u == (5 - 2х + у)е Х -У;25) u == х З /3 + 3х 2 е У - е-У;6) u == (25 - 5х - 7у)е- ( Х 2 +ху+у 2) ;+ Ь у 2)е-(х +у ), а > о, Ь > о.1) u == х + ху + у2 - 41nx - 101ny;u == 1081nx - ху2 + уЗ /3; 3) u == х + у227) u == (ах 2227.22)- 321n(xy);24) u == xyln(x +у2).8. 1) u == sin х + cos у + cos (х - у), х Е (О; 1г / 2), у Е (О; 1г / 2) ;2) u == sin х sin у sin (х + у), х Е (О; 1г ), У Е (О; 1г ) ;3) u == х + у + 4sinxsiny; 4) u == (1 + е У ) cosx - уе У .9.
Найти все стационарные точки функции u == х 4 + у4 - 2х 2 Иисследовать ее на экстремум. Можно ли использовать при этом достаточные условия строгого экстремума?10. Доказать, что функция u == (у2 - х)(у2 - 2х):1) вдоль каждой прямой, проходящей через точку(о; о), имеет вэтой точке минимум;2) не имеет11. Можетминимума в точке (о; о).ли непрерывно дифференцируемая функцияи(х;у)иметь бесконечное множество строгих максимумов и ни одного минимума?12.Верно ли утверждение: если непрерывно дифференцируемаяфункция и(х;у), (х;у) Е R2, имеет только одну стационарную точку (ха; Уа), в которой У нее локальный минимум, то справедливо не-2равенство и(х;у) ~ и(Ха;Уа), (х;у) Е R ?Исследовать функцию и(х; у;z)на экстремум(13-15).13.
1) u == х 2 + у2 + (z + 1)2 - ху + х;2) u == 8 - 6х + 4у - 2z - х 2 - у2 - z2;3) u == х 2 + у2 - Z2 - 4х + 6у - 2z; 4) u == х З + у2 + Z2 + 6ху - 4z;5) u==zyz(16-x-y-2z); 6) u== ху 2 z З(49-х-2у-3z).214. 1) u2== ху + xz + у z + х + 1;xyzЭ1iсmремумы ФУН1iЦUЙ§ 5.3) u ==у2х22Z2119у2Z2+ -4х + -у + -;4) u == - + - + -.ZYZxzхуu == sin х + sin у + sin z - sin (х + у + z), х, у, zх15. 1)2) u == (x+7z)e- ( х 2+ у 2+ z 2) ;3) u == 21nx + 31ny + 51nz + ln(22 - х - у - z).16. Исследовать функцию и(х), х Е Rn , xk > О, kэкстремум:1)Е (О; п) ;== 1,2, ...
,n,наnU=Xlx~ ... x~(l- Lkxk);k=ln2) u ==Lk=O17.Xk+l ,XkИсследоватьфункциюu ==хо == а > О, х n +l == Ь > о.на экстремум непрерывно дифференцируемуюи(х;у), заданную неявно условиями:1) х + у2 + и 2 - 4х - 6у - 4и + 8 == О, u > 2;2) 25х 2 + у2 + 16и 2 - 50х + 64и - 311 == О, u < -2;3) х 2 + 4 у 2 + 9и 2 - 6х + 8у - 36и == О, u > 2;4) (х 2 + у2 + и 2 )2 == 8(х 2 + у2 - и 2 ), u > О;5) (х 2 + у2 + и 2 + 9)2 == 100(х 2 + у2), U < о.18.
Исследовать на строгий экстремум каждую непрерывно дифференцируемую функцию u == и(х;у), заданную неявно уравнением:1) х 2 + у2 + и 2 + 2х - 2у + 4и - 3 == О;2) 2х 2 + 2 у 2 + и 2 + 8уи - u + 8 == О;3) х 3 - у2 + и 2 - 3х + 4у + u - 8 == О;4) (х 2 + у2)2 + и 4 - 8(х 2 + у2) - 10и 2 + 16 == о.19. Найти условные экстремумы функции u == f(x; у) относитель2но заданного уравнения связи:1) u == ху, х + у - 1 == О; 2) u == х 2 + у2, 3х + 2у - 6 == О;3) == х 2 - у2, 2х - у - 3 == О; 4) u == ху2, Х + 2у - 1 == О;5) u==cos 2 X+cos 2 y, х-у-п/4==0.20.
Относительно уравнения связи х/а + у/Ь - 1 == О найтиловные экстремумы функции u1) u == ху;21. Найти2) u == х2+ у2;== f(x;y):3) u == х 2 -усу2;условные экстремумы функции4) u == ху2.u == f(x; у) относитель-но заданного уравнения связи:1) и==5-3х-4у, х 2 +у2==25; 2) и==1-4х-8у, х 2 -8 у 2==8;3) u == х 2 + ху + у2, х 2 + у2 == 1;4) u == 2х 2 + 12ху + у2, х 2 + 4 у 2 == 25;5) и==х/а+у/Ь, x 2 +y2==r 2, r>O.22. Исследовать функцию u == f(x; у) на условный экстремум призаданных уравнениях связи (выяснить, можно ли при этом использо-120 Гл. 1. Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхвать метод Лагранжа):1) u == (х - 1)2 + (у + 1)2, а) х 2 + у2 - 2ху == О, б) х - У == О;2) u == х 4 + у4, (х - 1)3 - у2 == о.23.Исследовать функциюu == f(x;у) на условный экстремум призаданных уравнениях связи:1111-Х1 + -,+==-;уху281) u == 1 +24.f (х; у)2) u2== ln ху,х3+ ху + у3 ==Верно ли для непрерывно дифференцируемых функцийf(x;о.у),следующее утверждение: точка условного локального экстремума функцииотносительно уравнения связи ср(х;у)f(x,y)==О является стационарной точкой функции ЛагранжаL(x; у) == f(x; у)25.+ лср(х; у)?Найти условные экстремумы функцииu == f(x;у;z)при за-данном уравнении связи:u == 2х 2 + 3 у 2 + 4z 2, Х + у + z == 13;u == ху2 z3, Х + у + z == 12, х > О, У > О, z > О;u == х 2 у 3 z4, 2х + 3у + 4z == 18, х > О, У > О, z > О;u == sin х sin у sin z, х + у + z == 7г / 2, х > О, У > О, z > О;5) u == х - 2у + 2z, х 2 + у2 + Z2 == 9;6) u == х - у + 2z, х 2 + у2 + 2z 2 == 16;7) u == xyz, х 2 + у2 + Z2 == 3; 8) u == ху + 2xz + 2yz, xyz == 108;9) U==X 2 +y2+ Z2, x2/a2+y2/b2+z2/c2==1, а>Ь>с>О;10) u==x+y+z, a/x+b/y+c/z==l, а>О, Ь>О, с>О.26.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
