1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхточке (ха; Уа) второго порядка находятся из уравуненияохРис.6.6например угловые тОЧJliИ или3.Огибающая. Пусть семейство плоских кривых задано уравне-ниемF(x; У; С)где F С-тОЧJliИ nреJliращения.==О,(11)непрерывно дифференцируемая в области G С R 3 функция,параметр семейства.Огибающей семействаназывают кривую, которая в каждой(11)своей точке касается по крайней мере одной кривой семейства.Если семейство кривых(11)имеет огибающую, то координаты ееточек удовлетворяют системе уравненийF(x; У; С) == о,{ Fb(x; У; С) == О.Системе(12),(12)помимо точек огибающей, могут удовлетворять и другие точки кривых семейства(11).ДИСJliриминантной Jliривой семейства (11) называют кривуюD(x; У) == О, полученную из системы (12) исключением параметра С.Аналогично определяется и находится огибающая семейства поверхностей.ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИПри м е р1.Найти уравнения касательных плоскостей к поверх-ностиХ2+у22-z +1==0в точках пересечения ее с прямой х==У== 2.А Прямая пересекает поверхность в точкахНаходим частные производные функции Fточках:F~ (2; 2;F~ (2; 2;3) == 4,F~ (2; 2;3) == 4,-3) == 4,F~ (2; 2;-3) == 4,х(2; 2; 3)+уF~ (2; 2;2-иZ2(2; 2; -3).+ 1 в этих3) == -6;F~ (2; 2;-3) == 6.По формуле4(хили- 2)+(3) получаем4(у - 2) - 6(z - 3)==22хПри м е р+ 2у 2.3z+ 1 ====О,О,4(х2х- 2)+ 4(у -2)+ 2у + 3z + 1 ==+ 6(z + 3) ==О,О.
АНаписать уравнение нормали к винтовой поверхностих== u COS v,У== u SlП V,Z==V§ б.Гео.меmрuчеСffuе nрuложенuяв точке с параметрамиА Так как,X v ==то по формуле--и SlПVoио cos Vo,==.уuSlПy~v,'оv,Zu== u COS v,== ;Z~ == 1,получаем(6)Slllт..cos Voиоv == vo.ио,, == COS v,хuх==U133у-иоSlllz - VoVoООCOS11-ио SlllVoCOSVo-иоVoSlllSlllVoVoVo COS Voе.х-иоSlllПри м е рcos VoуVoах 2+хF~ах 2ио3у2-+х== 2ах + Зх 2 ,F~==о.==ах 2А В данном случае F(x; у)ет видz - VoVoSlll- COS Voнием(9)иоИсследовать особые точки кривой, заданной уравне-3.то система-3-у2. Так как== -2у,для определения координат особых точек кривой име-+ х3 -у2== О , 2ах + зх 2 == о,- 2у == О .Эта система при любом а имеет единственное решение х==о, у==о.Следовательно, данная кривая может иметь только одну особую точку(о; о).цииВычислим частные производные второго порядка функF в точке (о; о) :F~'xТак как F~~1: о,==2а,F~'yо,==F~~== -2.то при любом а точка (о; о) является особой точкой 2-го порядка.
В точке (о; о) определитель ~а< о,то ~> о,==-4а. Поэтому еслии, следовательно, точка (о; о) является изолированууу11оохРис.6.7Рис.Рис.6.8ной точкой кривой (рис. 6.7); если аявляется узловой точкой (рис. 6.8).> о,хто ~< о,6.9т. е. точка (о; о)134 Гл. 1. Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхЕсли акоординат==-О, то ~==О. в этом случае у кривой у2точка возврата первого рода (рис.для данной кривой имеет вид 2al2-2k2==6.9).==х 3 В началеУравнениеО.
При а>ем, что касательные в узловой точке имеют направленияРис.== Оа <ОПри а(10)О получа(1;±уГа).6.10касательная к кривой в точке возврата совпадает с осью х.Приуравнение не имеет решений (кривая в изолированной точке не имеет касательной).
АПри м е р4.Найти огибающую семейства кривых(уА Система(12)- с)2 == (х - С)3.в данном случае имеет вид(у{ -2(у --С)2 - (х - С)3С) + 3(х - С)2====О,О.Исключая параметр С, получаем дискриминантную кривую 4(у-х)+ 27(у -Прямая ух)2====х -О, т. е. (у-(рис.4/27мейства кривых, прямая у== хх)(у6.10)-х+ 4/27) == О.является огибающей данного седает множество особых точек кривыхсемейства (точек возврата первого рода).
АЗАДАЧИНаписать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке1. 1) z==(1-3).ху, (2; 1; 2);2) z==х2+ у2,(1; 1; 2);§ б.Гео.меmрuчеСffuе nрuложенuя1353) Z == 2х 2 - 4у 2, (- 2; 1; 4); 4) Z == (х - у) 2 - Х + 2у, (1; 1; 1);5) z==х З -3ху+уЗ, (1;1;-1); 6) z==JX 2 +y2- ху , (-3;4;17);7) z == Jx 2 + у4, (О; О; О); 8) z == х - у + v!xyт, (О; О; О);9) z == ln Jx 2 + у2, (О; 1; О); 10) z == sin(xjy), (п; 1; О);11) z == eXcosy, (1; О; е); 12) z == arctg (yjx), (1; 1; пj4).2.
1) х 2 + у2 + Z2 == 169, (3; 4; -12);2) ху2 + zЗ == 12, (1; 2; 2);3) х З + уЗ + zЗ + xyz == 6, (1; 2; -1);4) xYZ(Z2 - х 2 ) == 6 + у5, (1; 1; 2);5) Jx 2 + у2 + Z2 == Х + у + z - 4, (2; 3; 6);6) e Z - z + ху == 3, (2; 1; О); 7) z == у + ln(xj z), (1; 1; 1);8) 2x / z + 2Y / z == 8, (2; 2; 1).3. 1) х == и + v, у == и 2 + v 2 , Z == иЗ + v З , (3; 5; 9);2) х == и , у == и 2 - 2uv , z == иЗ - 3u 2v , (1·3·4)·",3) х == и + ln v, у == v -ln и, z == 2и + v, (1; 1; 3);4) х == cosuchv, у == sinuchv, z == shv, (ch1jJ2; ch1jJ2; sh1).4.Написать уравнение касательной плоскости к поверхности взаданной ее точке (ха; уа;Za) :221) х ja + у2 jb + Z2 jc 2 == 1 (эллипсоид);2) х 2 j а 2 + у2 jb 2 - Z2 j с 2 == -1 (двуnолосmный гиперболоид);3) х 2 j Р - у2 j q == 2z (гиnерболичеСJliИЙ параболоид).5.
Написать уравнения нормали к поверхности в данной ее точке (ха; Уа; Za):1) х 2 j а 2 + у2 j ь 2 - Z2 j с 2 == 1 (одноnолосmный гиперболоид);2) х 2 j Р + у2 j q == 2z (эллиnmичеСJliИЙ параболоид);3) х 2 j а 2 + у2 jb 2 - Z2 j с 2 == О (JliOHYC).6. Написать уравнение касательной плоскости к поверхности вданной точке (ха; Уа; Za) этой поверхности:1) xn+yn+zn==a n , nЕ N, а>О;2) (х 2 + у2 + z2)2 == а 2 (х 2 - у2 + z2), а i- о.7. Написать уравнение касательной плоскости к поверхности:1) х == и cos v, У == и sin v, z == и;2) х == 3 cos и cos v, У == 2 cos и sin v, z == sin и, в точке с параметрамии == иа, v == Va. Выразить коэффициенты полученного уравнения черезкоординаты Ха, Уа, za точки касания.8.
Написать уравнение касательной плоскости к поверхности:1) х == (Ь + а cos Ф) cos ~, У == (Ь + а cos Ф) sin ~, z == а sin Ф, Ь?2?а> О;х==siп~соsф, у==siп~siпф, z==lntg(~j2)+cos~ в точке спараметрами ~ == ~a, Ф == Фа.2)136 Гл. 1. Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менных9.Написать уравнения касательных плоскостей к поверхностих2+ 2у2+ ху + yz -- зz 22xz+ 16 == О== 1, у == 2.z == ху - х 2 + 8х - 5,в точках ее пересечения с прямой х10. Доказать, что поверхностикасаются друг друга в точке (2; -3; 1),z == е х + 2у + 4и найти уравнение общей касательной плоскости.11.Найти на поверхности точки, в которых касательные плоскос-ти к ней параллельны координатным плоскостям:1) х 2 + у2 + Z2 - 6у + 4z == 12; 2) х 2 + у2 - Z2 - 2х == О;3) х 2 + 2 у 2 + 3z 2 + 2ху + 2xz + 4yz == 8.12.
Написать уравнения тех касательных плоскостей к поверхности, которые параллельны данной плоскости:1) х 2 + 2 у 2 + Z2 == 1, х - у + 2z == О;2) Z2 + ху + xz == 1, х - у + 2z == 1;3) 4х 2 + 6 у 2 + 4z 2 + 4xz - 8у - 4z + 3 == О, х + 2у == о.13. Написать уравнение касательной плоскости к поверхности,проходящей через точку М и параллельной данной прямой:1) х 2 - у2 == 3z, М(О; О; -1), х == 2у == z;2) 90х 2 + 160у2 + 576z 2 == 2880, М(12; -3; -1), х == О, У == о.14. Написать для данной поверхности уравнение касательнойплоскости, перпендикулярной данной прямой:1)х2+ у2 + Z2 == 2х ,{x-y-z-2- ,2х - 2у - z == 4;2) z == ху, х == у == -2z.15. Для поверхности 2х 2==О+ 5 у 2 + 2z 2 -2ху+ 6yz -4х - у - 2z==написать уравнение касательной плоскости, проходящей черезпрямуюх/5==16.
Для эллипсоида х 2 / а 2у/4== (z - 1)/0.+ у2/Ь 2 + Z2 / с 2 == 1написать уравнениекасательной плоскости, отсекающей на положительных полуосях координат равные отрезки.17.Доказать, что касательные плоскости к поверхностиxyz==a 3,образуютскоординатнымиа>О,плоскостямитетраэдрыпостоянногообъема. Найти объем тетраэдров.18.Доказать, что касательные плоскости к поверхностиvx + УГУ + vгz == УГа,отсекают19.накоординатныхосяхотрезки,а> О,суммакоторыхДоказать, что касательные плоскости к поверхностих2 /3+ у2/3 + Z2/3 == а 2 / 3 ,а> О,равнаа.§ б.отсекаютнаГео.меmрuчеСffuе nрuложенuякоординатныхосяхотрезки,137суммаквадратовкоторых2постоянна и равна а .Найти расстояние от начала координат до касательной плос20.кости к поверхностиz == arctg (у / х)Za).Доказать, что все плоскости, касательные к поверхности21.z == х fгдев ее точке (ха; уа;(у / х),дифференцируемая функция, имеют общую точку.f(u) -22.
Для поверхности х 2 - Z2 - 2х+ 6у -4==О найти уравнениянормали, параллельной прямой+ у - z + 1 == о,+ 3z + 9 == о.+ 6 у 2 - Z2 - 4xz + 6х -х{ 3х - 5у23. На поверхности х 2найтиточки,в==плоскости укоторыхнормалькповерхности20у- 2z - 1 == Оперпендикулярнао.24. В каких точках эллипсоида х 2 /20+ у2 /15 + Z2 /14 == 1 нормальк нему образует равные углы с осями координат?Найти углы, которые образует нормаль к поверхности25.z == arctg (х/у)в точке(1/4; 1/4; 1г /4) с осями координат.Найти точку пересечения нормали в любой точке (Ха; уа;26.поверхности вращенияz == f (гдеf(u) -za)J х 2 + у2),дифференцируемая функция,f'(u)1: о,с осью вращения.Определить, под каким углом пересекаются поверхности:27.1) Z2 == ху, х 2 + у2 + Z2 == 1; 2) ху == az, х 2 + у2 == Ь 2 , Ь > о;3) ху == az, Vx 2 + Z2 + y 2 + Z2 == Ь, Ь > о.JДоказать ортогональность поверхностей28.xyz == аЗгде2z 2 == х 2и+ у2 + f(x 2 _у2),дифференцируемая функция.f(u) -Найти углы между нормалями в точках, принадлежащих всем29.трем поверхностям2~930.+2~6+ Z2 ==1'-Х24+ У2Z2-4 ==1'-х22-у26Доказать попарную ортогональность поверхностей:1) х + у2 + Z2 == 2ах, х 2 + у2 + Z2 == 2Ьу, х 2 + у2 + Z2 == 2cz, а 1: о,2ь1: о,с2) х3) х 221: о;+ у2 + Z2 == а+ у2 + Z2 == а, у == Ьх, х 2 + у2 == с 2 z2, а2, ху == bz 2, 2х 2 + Z2 == с(2 у 22> о, с > о;+ Z2), а> о,с> о.138 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
