1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Доказать неизмеримость по Жордану множества:1) рациональных точек отрезка [О; 1] в R1 ;2) точек квадрата [О; 1] х [О; 1], обе координаты которыхрациональны;3) точек квадрата [О; 1] х [О; 1], одна из координат которых рациональна, а другая нерациональна.41. Указать в R3 неизмеримое по Жордану множество.42.Пустьмножеств в{X j }nR,последовательность измеримых по Жордану-не имеющих попарно общих внутренних точек, и00пусть Х== U X jограниченное множество. Доказать, что ряд-j=l0000L JL(Xj ) сходится и JL*(X) == L JL(Xj ).j=lj=l43.Доказать, что для любого открытого ограниченного непустого множества Х СRnесть такая последовательность кубовQjран-00гов k j ,j Е N, не имеющих общих внутренних точек, что Х00== U Q jj=lиJL*(X) == LJL(Qj)·j=l44.Пусть Х n -измеримые по Жордану множества меры нуль,00nЕN, и пусть Х== Un=1Хn-измеримое по Жордану множество.§ 7.JL(X) ==Доказать, что45.М ера Жордана.
Измерuмые множества155о.Указать счетную совокупность множеств жордановой мерынуль, объединение которых не является множеством меры нуль поЖордану.46.Указать неизмеримое по Жордану множество, замыкание которого измеримо по Жордану.47.Доказать, что объединение двух непересекающихся множеств,одно из которых измеримо, а другое неизмеримо по Жордану, естьмножество, не измеримое по Жордану.48.Указать два неизмеримых множества, объединение которыхизмеримо.49.Доказать, что всякое замкнутое счетное ограниченное мноRnжество визмеримо по Жордану и его мера равна нулю.У к а з а н и е.
Можно воспользоваться леммой Бореля опокрытиях.50. Пусть Х' - измеримое по Жордану множество в R n . Доказать, что цилиндр Х == Х' х [а; Ь] измерим по Жордану в Rn +1 иJLn+ 1 (Х) ==(Ь-а). JLn (Х') .51. Каждая из проекций множества Х С R 2 на оси координат измеримое множество в R 1 . Обязательно ли само множество Х будетизмеримым в R2 ?52. Указать в R2 ограниченное неизмеримое множество, у которого сечение любой прямой, параллельной одной из осей координат,1есть измеримое в R множество.53. 1)Доказать, что мера Жордана графика непрерывной на компакте функции равна нулю;2)указать функцию, определенную на компакте, график которойнеизмерим по Жордану;3)указать непрерывную на области определения функцию, графиккоторой неизмерим по Жордану.54.Доказатьграницаизмеримостькоторогоестьвсякогообъединениеограниченногоконечноймножества,совокупностимножеств, каждое из которых является либо графиком непрерывной накомпакте функции, либо частью цилиндра с основанием меры нуль.55.
Доказать измеримость по Жордану:1) круга в R2 ; 2) параллелограмма в R2 ;3) эллипсоида в Rn , n ~ 3; 4) параллелепипеда в Rn , n ~ 3.56. ПустьХХn=={(Хl; Х2): (Хl - 1)2+ x~~ 1},== {(Хl; Х2): (Хl - 1/n)2 + x~ ~ 1/4 2n },nЕN.00Доказать измеримость множества Х\U Хnn=1и найти его меру.Гл.1562.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралыДоказать измеримость множества57.< хl{(Хl;Х2): О~ 1/7Г,О ~ Х2 ~Доказать, что спрямляемая кривая в58.Isin(l/xl)I}·Rnимеет жорданову меру нуль.59. Пусть [2 - замкнутое ограниченное выпуклое множествоmв R , функции CPi(Y), i == 1, ...
,n, непрерывно дифференцируемынаQ.Доказать, что т-мерная поверхность, заданная параметрически в видеxi == CPi(Y), i == 1, ... ,n,Rn нулевую меруУ Е [2, имеет вЖордана.60. Указать непрерывную кривую х == cp(t), Уимеющую в R2 положительную меру.61. Указать измеримое по Жордану множествона нем функциюj==ф(t), а ~t~ Ь,Х и непрерывнуютакие, что множествоХ+=={ХЕХ:j(x»O}неизмеримо по Жордану.62. Указать область в R2 неизмеримую по Жордану.63. Пусть функция j непрерывна и неотрицательнана отрезке [а;Ь].Доказать, что криволинейная трапецияФ=={(Хl;Х2): a~Xl~Ь, O~X2~j(Xl)}измерима по Жордану иьJL(Ф)=J!(Хl) dXl.аПусть функция Т( ср) непрерывна и неотрицательна на отрез64.ке [а;/3],О ~ а< /3 < 27Г.Доказать, что секторФ=={(r;ср): a~cp~/3, O~T~T(CP)}измерим по Жор дану и(3JL( Ф) =~Jт (<р) d<p.2а65.Пусть Х-измеримое множество вХа-=={х: х==Rn , а Е Rn , иа+х', х' Е Х}множество, полученное сдвигом Х на а.
Доказать, что Ха измеримо и66.JL(X a ) == JL(X).Пусть Х-измеримое множество вRn ,А-(nХ n)-ортогональная матрица, ХА == {х: х == Ах', х' Е Х} - множество, полученное ортогональным преобразованием А множества Х (поворотом, симметриями, их композициями). Доказать, что ХА измеримоиJL(XA) == JL(X).М ера Жордана. Измерuмые множества§ 7.67.157Доказать, что мера Жордана не зависит от выбора прямоугольной декартовой системы координат.68.Доказать, что для всякого измеримого множества существуютразбиения сколь угодно малой мелкости.69.Доказать, что для всякого открытого измеримого множествасуществуют разбиения сколь угодно малой мелкости, все элементыкоторых70.имеют положительную меру.Пусть Хоткрытое измеримое множество, ах-ница, Х 1 С ах. Доказать, что для множества Хразбиенияскольугодномалоймелкости,всеU Х1-его грасуществуютэлементыкоторыхимеют положительную меру.71.Указать вRnмножество положительной меры, для которогоне существует разбиений сколь угодно малой мелкости, все элементыкоторых72.имеют положительную меру.Доказать, что для любого измеримого множества Х существует последовательность вложенных разбиений {Тn(Х)}, Тn +1 (Х)>- Тn(Х), n Е N, смелкостями, стремящимися к нулю:lim ITn(X)1n--+оо73.Множество Х Слюбого Е>О==>-о.R n имеет меру нуль по Лебегу, если длясуществует не более чем счетная совокупность замкну00тых прямоугольных параллелепипедов{Pj }такая, что Х сU Pjj=l00И LJ-L(Рj ) < Е.j=lДоказать, что:1)если множество имеет меру нуль по Жордану, то оно имеетмеру нуль и по Лебегу;2)Е>если множество Х имеет меру нуль по Лебегу, то для любогоО существует не более чем счетная совокупность открытых параллелепипедов{Pj }такая, что00Х сU Pjj=l3)00иLJ-L(Рj )< Е;j=lесли компакт Х имеет меру нуль по Лебегу, то он имеет мерунуль и по Жордану.74.
Доказать, что множество всех рациональных точек отрезка[о; 1], неизмеримое по Жордану в R1 (см. задачу 40, 1)), имеет в R1меру нуль по Лебегу.75. Доказать, что множество:1) из задачи 40, 2) имеет меру нуль по Лебегу;2) из задачи 40, 3) имеет меру нуль по Лебегу.76. Доказать, что объединение счетной совокупностимножествГл.158Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.нулевой меры Лебега также имеет нулевую меру Лебега.77.Указать множество Хнулевой меры Лебега, замыкание Хкоторого не является множеством меры нуль по Лебегу (что, отметим, невозможно для множеств нулевой меры Жордана).ОТВЕТЫ5.1) Ь - а; 2) Ь - а; 3) аЬ; 4) аЬ; 5),6) аlа2 ... аn. 65.
141Г/15.Кратный интеграл Римана и его свойства§ 8.СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ1.Определение интеграла Римана, его свойства. Пусть наизмеримом по Жордану множестве Х СRnопределена функция!,т == т(Х) == {X i , i == 1, ... , N} - разбиение Х, 8 т == {~(i), i == 1, ... , N} произвольный набор точек ~(i) Е X i , i == 1, ... , N. Величинуnат == ат(!; 8 т ) ==L!(~(i))JL(Xi)(1)i=l!называют интеграЛЫ-lОЙ суммой Римана ото п р е Д е л е н и е.
Числопо Х сVE >Rn,1по Х.!называют интегралом Римана отеслиО 36> О VT(X)38 т(IT(X)I < 6*11 -ат(!; 8 T )1< Е),(2)и записываютlim () т (!; 8 т) == 1.ITI---+OФункцию!(3)называют в этом случае интегрируемой по Римануна множестве Х (или по множеству Х) (далее, для краткости,интегрируемой на Х (по Х)). ДЛЯ указания размерностиRn-иногда употребляют термин n-Jliратный интеграл Римана.
Двукратныйинтеграл часто называют двойным, трехкратныйИнтеграл Римана отl j (x)dXх!-тройным.по Х обозначаютилиlf.Jj(x 1 ; ... ;x n )dx 1 ... dx n ,х1ЛХ) dX.а иногда иВ R2 И R3 часто используют обозначения11 j(x;y)dxdy, 111 j(x;y;z)dxdydx.DGКратный интеграл Ри.мана и его свойства§ 8.159в терминах последовательностей определение интеграла, равносильноеданномуРимана от1ранее,по Х стаково:R,числоназывают1интеграломесли для любой последовательности разбиений тт(Х), У которойlim ITm(x)1т---+оо==О, И для любой последова-тельности наборов точек 8 Trпlim(J"т---+ооКритерийКошит rп(1; 8 тrп) == 1.(4 )интегрируемостифункции1помножеству Х:Vc> о :36 > О VTl(X) VT2(X) V8 T1 V8 T2(I Tl(X)1 < 6, IT2(X)1 < 6:::} I(J"T1 (1; 8 т1 ) -аТ2(1; 8T2)1 < с).(5)Интеграл Римана определен лишь по множествам, измеримым поЖордану, поэтому далее указание на это свойство множеств иногдане повторяется.Пусть ХО с Х, Хизмеримое по Жордану множество, т(Х)--разбиение Х.
Обозначимто==то(Х)Е т(Х):== {X iLато(1; 8 т ) ==X i n ХО ==о},(6)1(~(i))JL(Xi).(7)i:Xi ЕтоТеорема1Если ФУНJliЦИЯ1.ограничена на измеримом множес1тве Х, ХО с Х и JL(X o) == О, то интеграл Римана отпо Х существует тогда и тОЛЬJliО тогда, Jliогда существует lim ато (1; 8 т ),ITI---+Oи если этот предел существует, тоJl(х) dx ==Хlim ато (1; 8 т ).(8)ITI---+OИз теоремы следует, что если функция1определена и ограничена на измеримом множестве Х, то при нахождении предела ее интегральныхсуммможноисключатьизнихслагаемые,соответствующие тем элементам разбиений, замыкания которых содержат точкификсированного множества меры нуль.
Таким множеством является,например, граница измеримого множества. Из теоремы следует также, что если две ограниченные функции, определенные на измеримоммножестве Х, различны лишь на множестве меры нуль, то они обелибо неинтегрируемы по Х, либо интегрируемы и интегралы от нихпо Х равны.Теорема2.Если1интегрируема на Х, то существует maJlioeподмножество ХО с Х, JL (ХО)(См. также задачу 50.)Теорематве,3.==о, что1ограничена на Х\ХО.Если ФУНJliЦИЯ интегрируема на OmJliPblmOM множес-то она ограничена на нем.(См. также задачу47.)Гл.160Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.ОпределениецияfсуммиинтеграловДарбу. Пусть функопределена и ограничена на измеримом множестве Х, т(Х)== {X i , i == 1, ... , N} - его разбиение,mi == inf f,M i == sup f,XiСуммыi== 1, ...
, N.XiN8т8TL mi/,L(X(f) ====n(9)i),i=li=lназывают соответственно нижней и верхней суммами Дарбу, а[*(f)[*[*(f;X) == sup 8 T(f),(10)[* (f; Х)(11)т(Х)[* (f)[*-== infт(Х)ВТ (f)соответственно нижним и верхним интегралами Дарбу откри тери иЦ И й.и нтегри руемост иогран и чен н ыхfпо Х.Ф у н кДля того чтобы ограниченная на измеримом множествеfфункцияХбыла интегрируема на нем, необходимо и достаточно выполнения одного из следующих условий.1.limIT(X) 1---+0(ВТ (f)-8 т (f))==о.N11.L w(f; Xi)/L(Xi ) == О,limIT(X) 1---+0 i=lколебание- f(x")1 111.[* (f)1У.VE >==fна элементегде w(f; X i ) ==X i , i == 1, ... , N,supх' ,х" EXiIf(x')-разбиения т(Х).[* (f) (н;ритерий Дарбу).О 3т(Х):ST(f) -8T(f) < Е.При выполнении для ограниченной на измеримом множестве Хфункцииffпо Хinf ST m(f) == lim ST m(f),Tm (f) == mENт---+СХ)(12)хотя бы одного из этих условий для интеграла отсправедливы формулыl ! (х) dx ==Хlim (J"T m(f; 8 Tm )т---+СХ)== limт---+СХ)где тт(Х),условиемm Е N, lim ITm(X)1т---+СХ)8== sup 8 Tm (f) ==mENкакая-либо последовательность разбиений с==о,8 Tm -какая-либо последовательностьнаборов, соответствующих этим разбиениям.Д о с т а т о ч н о е у с л о в и е и н т е г р и р у е м о с т и.
Ограниченнаяна замкнутом измеримом множестве Хфункция, у которой множество точек разрыва имеет меру нуль по Жордану, интегрируемана Х. (Более общее условие интегрируемости функции дает теоремаЛебега.) В частности, непрерывная на замкнутом измеримом множестве функция интегрируема на этом множестве.§ 8.Кратный интеграл Ри.мана и его свойства161Свойства*) кратного интеграла Римана.Пусть Х1)измеримое множество; тогда-J dx1р,(Х).=хПусть функция интегрируема по множеству Х; тогда она ин2)тегрируема и по любому измеримому подмножеству Х.Пусть Х,Х1 ,Х2 -измеримые множества, Х==Х 1 U Х2 ,/L(X 1 n Х2 ) == О; тогда для интегрируемости функциипо Х необходимо, а при ограниченностина Х и достаточно, чтобыбыла3)111интегрируема по Х 1 и по Х 2 , при этомJf(x) dx Jf(x) dx + Jf(x) dx=хХlХ2(аддитивность интеграла по множествам).1Пусть функции4)чисел а ии 9 интегрируемы по Х; тогда для любыхфункция аlf3+ f3gинтегрируема по Х иJ(af(x) + f3g(x)) dx а Jf(x) dx + f3 Jg(x) dx=ххх(линейность интеграла).1 и 9 интегрируемы по Х; тогда:произведение Ig интегрируемо по Х;если inf Ig(x) > О, то частное 1/ 9 интегрируемо по Х.Пусть функции 1 и 9 интегрируемы по Х и l(х) ~ g(x),Пусть функции5)а)б)1х6)тогдаJf(x) dx :::::; Jg(x) dx.х7) Пусть функциях1 интегрируема потегрируема по Х иIПусть функцияХ1 -1интегрируема на Х, неотрицательна на Х,JЛХ) dx :::::; Jf(x) dx.1Пусть функциявнутреннюю точку Ха,вучебникахограниченных11инизмеримое подмножество Х; тогда9)этого111хХl*)Х; тогда и функцияJf(x) dxl :::::; Jlf(x)1 dx.х8)х Е Х;иХинтегрируема на множестве Х, имеющемнеотрицательна на Х, непрерывна в точ-1учебныхфункций.пособияхВ задачеограничения.Под ред.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
