1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 29
Текст из файла (страница 29)
, nМ .. - т .. ~ ~ . 32~~ ~ 4n25825nИспользуя эти неравенства, получаеми теперь, исходя изn == 2.точно взять(26), находим 4/(25n)< 0,1, n > 1,6,т. е. достаВ этом случае11 - 1*1~ (ВТ - 8 т )/2 ~ 2/25 == 0,08.Отсюда видно, что погрешность вычислений 8 т и ВТ не должна превышать0,02.Это условие заведомо будет выполнено, если, например,вычисление ffiij иM ijвести с тремя знаками после запятой с последующим округлением до двух знаков.Вычисления (например, с помощью мини-ЭВМ, таблиц и др.) дают21,""8 т == 4" ..~11,,)=211 + i J·/16=='""4~16+i·J.. 11,,)=2ST ="4 .~1 '""1,,)=111 + (i - 1)(j - 1)/16417221+ 9" + 9" + 5" ~~ 0,235 + 2 . 0,222 + 0,200 == 0,879,==Гл.168Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.111== 4 + 4 + 4 +1*417 ~ 3 . 0,25+ 0,235 == 0,985,== (0,879 + 0,985) /2 == 0,932 ~ 0,9.Учитывая погрешность последнего округления и то, что погрешностьвычислений ВТ и ВТ не превышаетоцениваем истинную по0,005,грешность 1*:11 - 1* 1~(0,985 - 0,879) /2 + 0,005 + 0,033 == 0,091 < 0,1.Ответ: 1 ~ 0,9.
АПример 2. Пусть Х N == [n -1;n] х [О;n], n Е N. Доказать, чтоJj e-XIX~limn---+ооdXl dX2== о.(27)ХnА Пусть 0<Хn,б6 < 1;n Е- 1; n] х [о;== [n== 6,6], n Е N; X~ == ХN \ Хn,б,2- 6 и О < е- Х1Х2 ~ 1 приN. Очевидно, JL(Хn,б)JL(X~) == n(Xl; Х2) Е Хn,б, а XIX~ ~ (n - 1)62 и e-XIX~ ~ е-(n-l)б при (Xl; Х2) Е2Е X~. В силу аддитивности интеграла11 e-XIX~ln =dXl dX2Х n ,8где1n11 e-XIX~(27).По свойствам11dXl dX2:::::;Х n ,811 e-XIX~ndXl dX2,Е N,x~интеграл из-11 e-XIX~+6), 1)и1 dXl dX2 =4)д,интеграла имеемЕ N,n(28)Х n ,811 е-(n-l)бdXl dX2:::::;x~2dXl dX2 = (n -д)е-(n-l)б~Е N.nx~(29)Изи(28)1n ~ 6 + (nПусть Егоn>> последует, что(29)- 6)е-(n-l)бо. Возьмем22е-(n-l)б )== 6(1 -6< Е/2,+ nе-(n-l)б << 6 + nе-(n-l)б22,n ЕN.а по выберем так, чтобы для любобылоnе-(n-l)б2< Е/2.2ЭТО возможно, так как для фиксированного 6 lim nе-(n-l)б == о.Тогда для любогоlim 1nn---+оо==>по<1nЕ/2+ Е/2 ==Е, а это означает, чтоо.
АПри м е ртак,nn---+оо3.На квадрате Х==[о;1]х [о;1]определена функцияfчтоесли Xl и Х2 рациональны и Xl == Pl/ql, Х2 == P2/Q2, где Pl/Ql иP2/Q2 - несократимые дроби, Pl,P2, Ql, Q2 Е N, иf(x) ==ОКратный интеграл Ри.мана и его свойства§ 8.fв остальных точках х. Доказать, чтоfчислить интеграл отА Пусть Траты169интегрируема на Х, и выпо х.== {X ij , i, j == 1, ... , n} -разбиение Х на равные квадпрямымиX ijХlХ2== i/n,i,j Е Z,== j/n,ПустьN Е N, N ~ 2. Сначала обратим(Pl/ql;P2/q2) из квадрата Х, в которыхf(Pl/qq;P2/q2) == l/qln Е N.внимание на точки вида+ 1/q2~ l/N.Покажем, что хотя таких точек и бесконечно много, но мера объединения квадратов разбиения Т, содержащих такие точки, будет достаточно малой при достаточно большихимеется не более чем== 1,Учитывая еще Хlзнаменателямиql - 1ql~Со знаменателемрациональных чисел Хl==ql~NРl / ql Е (О; 1).получаем, что всего рациональных чисел Хl соимеется не более чемNN1+n.2:>~ql - 1) = 1 +N (N - 1).ql=2Каждое из таких чисел принадлежит не более чем двум отрезкамвида [(i - 1)/n; i/n], i == 1, ...
, n. Значит, мера объединения всех этихотрезков, содержащих точки Хl == Рl / ql С ql ~ N, не превосходит2(1/n)(1+ N(N - 1)/2) == (2 + N(N -Из разбиения Т выделим совокупностьQ1))/n.всех квадратов, содержащих точки вида (Pl/ql; Х2), где ql ~ N (каждый из указанных вышеотрезков дает полоску длины 1 из таких квадратов). Мера объединения квадратов этой совокупности не превосходит(2Вкаждомоставшемся+ N(N -квадрате1))/n.изразбиения(Рl / ql; Х2) будет выполнено неравенствоqlТдляточеквида> N.Из этих оставшихся квадратов выделим совокупностьквадратов, содержащих точки вида (Хl; Р2 / q2) Сq2~Q2всехN. Рассуждаяаналогично, получим, что мера их объединения также не превосходит(2Пусть счтобы-+ N(N -1))/n.произвольное положительное число. ВозьмемN ~ 2, N> 4/с,(2а затем возьмем+ N(N -Оценим верхнюю сумму Дарбу от1))/nfnЕNЕNтак,так, чтобы< с/4.по Х для выбранного выше разбиения т.
На каждом квадрате разбиения, входящем вsup fNQlилиQ2,1. Совокупность всех оставшихся квадратов Т обозначим т' ==== Т \ (Ql U Q2). На каждом из них по условию f(x) == О, если Хlили Х2 - нерациональное число, а в точке вида (Pl/ql;P2/q2) имеем~f(Pl/ql;P2/q2) == l/ql+ 1/q2~ l/N+ l/N ==2/N,Гл.170Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.и, значит,sup 1< 2/N.Мера объединения квадратов из т'не превосходит1.ОтсюдаnLВт(1) ====Mij/L(Xij )i,j=lLXiJ"Mij/L(Xij )Х ij ЕEQlL<Xij<L+1nEQlQ2L/L(Xij ) +Xij/L(Xij ) +вт/L(X ij ) <Е2ЕЕ+ n (2 + N(N - 1)) + N < 4 + 4 + "2 == Е.==функцияО, получаем11f(x) dxО ДЛЯ любого т, то и=<Xij Ет'3т(Х): Вт(1)IVMij/L(Xij )Ет'L~EQ2Учитывая, что (очевидно) 8 т (1)Значит, по критериюXiJ"1(2 + N(N - 1))VE > ОLMij/L(Xij ) +ХЗ а м е ч а н и е.
Функция1-8 т (l)< Е.интегрируема на Х, и так как=о .•из этого примера непрерывна только вточках вида (Хl;Х2), (0;Х2), (Хl;О), где хl и Х2 -нерациональныечисла, во всех остальных точках квадрата Х эта функция разрыв1не является мноне менееинтегрируемана. Значит, множество точек разрыва функциижеством жордановой мерыпо Хнуль.Тем1(ср.
с указанным выше достаточным условием интегрируемости).уПри м е р4 _________АIj =у=2х4.Вычислить11 fj(x; у) dx dy,Xjесли:1) 11(х;у)==(1+х+у)-2, Х 1 -треугольник,ограниченныйпрямымих====2у, у==2х, х+у==6;12 (х; у) ==у2, множество Х2 ограничено линиями х == у2, У == х - 2;2)о2Рис.А1)3) 1з (х; у)х==х, множество Х З заданонеравенствами 2тх ~ х 28.4<<2тR.Треугольник Х 1 изображен на рис.8.4.+ у2~R 2, О <Отрезком АВ разде-лим Х 1 на два треугольника, ~1 и ~2, элементарных относительнооси Оу. Тогда11 =11 Л(х;у)dхdу+ 11 Л(х;у)dхdу.дlд2Кратный интеграл Ри.мана и его свойства§ 8.По формуле(14)171находим2х2211 Л(х;у)dхdу= 1 1(1+~Y+y)2 = 1( -1+d:+JI:~2 =dxдlОх/2О2==1( о11 + 3х) dx == - -1 ln 7 + -2 ln 4+ 1 +13х /23з'6-х4/1 Л(х;у)dхdу= 1 1(1+~Y+y)2dxд2=х/224=11)22dX=-"7+з(lп7-1п4);1( -"7+1+Зх/2212)2"7'11 == "3 ln 7 -следовательно,Множество Х 2 изображено на рис.сительно оси Ох:Х2ВычисляемЬпо формулеу+22=12Оно элементарно отно-у~ у ~ 2, у2 ~ Х ~ у== {-18.5.+ 2}.(15):: х=у+221dy 1у2 dx 1у2 (XI~-:2) dy =1у2(у + у2) dy ~~.=у2-1Х-122-==Рис.8.5-1у3)Множество Х 3 -неконцентричноекольцо-изображено на рисления1зпроизводим следующим обра8.6.зом.
Обозначим К 1 - круг х 2у2 ~ R 2,К2 - круг х 2у2 < 2тх. Тогда Х3 ==== К 1 \ К2 . Продолжим функцию 1з с Х3на К2 , полагая Iз(Х; у) == х для (х; у) Е++RХВычисЕ К2 . Тогда[3 =11 xdxdy - 11 xdxdy;КlРис.второй8.6первыйинтегралК2здесьобозначим-А 2 . Круги К 1 И К2 зададим в видеК1== {-R ~ у ~ R, _JR2 - у 2 ~ Х ~ JR2 - у 2 },К2 == {-Т ~ у ~ Т, r - Jr 2 - у 2По формуле(15)находим< х < r + Jr 2 - у 2 }.А1 ,Гл.172Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.RА1JR2_ y 2Jdy J=О,xds =-JR2_ у 2-Rтак как функция х во внутреннем интеграле нечетна,r+Jr 2 _ y 2rА2J=-rх dx== А 1 -А2JJ= 2rr-Jr 2 _ y 2Следовательно, [3При м е рJdyrr2у2 dy-3Kr .=-r==-1Гт 3 .
АПеременить порядок интегрирования в повторном ин5.теграле7гх2 sinJdx J f(x;~_~y=2sinxоу)dy.оА Неравенства О ~ х ~ 1Г,~2 sin хна рис.оа(у){3(у)Рис.7гх8.7О ~ У ~задают множество Х, указанное8.7.Проекцией Х на ось Оу является отрезок [О; 2]. Каждая прямая у ==== const Е [О; 2) пересекает множество Хпо отрезку с концами а(у) и jЗ(у), которые находим как решения уравнения у== 2 sinxиз отрезка [О; 1Г]: а(у)== arcsin(y/2),jЗ(у)==1г==arcsin(y/2).-Таким образом, множество Х задается неравенствамиО ~ у ~По формулеarcsin(y /2) ~ х ~ 1г2 sin хJ Jdxо2f(x;y)dy =оПеремена-arcsin(y /2).имеем(16)7г2,n-arcsin(y /2)JопорядкаJdyАf(x;y)dx.arcsin(y/2)в повторноминтеграле иногдасущественноупрощает его вычисление.При м е р6.1I =Вычислить1Jdx Jv1-оy'l\1у2 dy.11 VIVVх//А Внутренний интеграл не является элементарнойПределывторномник(рис.функциейх:интегрированияинтеграле8.8),неравенствами(см.в[2,с.данномопределяют39]).1,Г-Г-~II'потреуголькоторый можно задать иО ~ У ~11'/О ~ х ~ у.у=х/~~"1~I--хОРис. 8.8Кратный интеграл Ри.мана и его свойства§ 8.173Следовательно,У11I= / dy/V1-y2dx=оПри м е ро/V1-y2ydy=~ .о7.
Доказать, что при lalJ+ln(a 21- 2acosip) dip=1: 1{~~ln lal,l(а). С помощью замены ер ==== l(а), т. е. l(а) - четная функАОбозначим данный интеграл7г - Ф легко проверить, что 1( -а)1(0) ==ция. Очевидно,ln( а 2+1-о. Пусть а2а cos ер)1 (а)> 1,< 1.lallalо==.&> 1;тогда== 21n а + ln( ai + 1 == 27Г ln а + 1 (а1),2а1 cos ер),где а1 == l/а, 0< а1 < 1. Для вычисления интеграла l(а) при а Е (О; 1)используем сведение его к двойному интегралу. Для а Е (О; 1) имеема2+1-2acosepdda-ln(a2+1-==(а- 1)22acosep)поэтому+ 2а(1 -==cosep) ~ (а - 1)22 (а - cos ер)а 2 + 1 - 2а cos ер> О,l(а; ер);а7rI(a) = / dip / f(t; ip) dt.оФункция1(t, ер)непрерывна на прямоугольникеQпоэтому1о=={О ~ ер ~ 7Г, О ~интегрируема наQ~ аt< 1},и двойной интеграл равен любому изповторных.
Значит,1 (а) ==Jj 1(t; ер) dt dep == /Qа7rdt /ооt22 (t +1-c;st ер)cos ерdip.Внутренний интеграл здесь можно вычислить, например, с помощьюзамены u == tg (ер/2) (см. также задачу 186 из [2, § 6]). Он равен нулю, поэтому и l(а) == О, О < а < 1. Отсюда следует требуемое. АПример 8.
Вычислить интеграл I j= / / / fj(x;y;z)dxdydz,где:Xj11 (х; у; z) == х + у + z, множество== О, У == О, z == О, х + у + z == 1;1)х2)~де12(Х; у;z) == у,множество Х 2 задано неравенствамиz ~ 1, z ~ у, х + у2 + Z2 ~ 4.А 1) Множество X i тетраэдр,2(17):Х 1 ограничено плоскостямиIxl ~ z,О ~который можно задать в виХ 1 =={(х;у) ЕХ', O~z~l-x-y},Гл.174Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.где Х' == {О ~ х ~ 1, О ~ у ~По формуле (19) имеем11-хI 1 = / dx /отреугольник (рисdy /(х + у + z) dz =о11-х= / dx /о1-х~(x+y+z)21~-X-Ydy=~/ dx / (1-(x+y)2)dy=о=="218.9).1-х-уо11 - х} -оо/1 (у-з(х+у)13) 1 о1 - Х dX=="21 /1 (1-х- з1 (1-х)3) dx==S'1оо2) Неравенства Ixl ~ z, О ~ z ~ 1 задают треугольник Х' на плоскости Oxz (рис.
8.10). Решим исходную систему неравенств отноухY=V4-x2-z2z2x=z1 zx=-zхРис.сительно у.zРис.8.9Рис.8.108.11Из второго и третьего неравенств следует, что у ~ О,поэтому третье и четвертое неравенства равносильны системеz ~ у ~ J 4 - х 2 - z2.Эта система имеет решения, если только у!4 - х 2(30)- Z2 ~ Z. Этомуусловию удовлетворяют все точки треугольника Х', так как для нихJ 4 - х 2 - Z2 ~ J 4 - 2z 2 ~Значит, система(30)имеет решения для любой точки из Х'. Поэтомумножество Х 2 имеет вид (рис.По формуле,Ь1z-z8.11)X 2 =={(x;Z) ЕХ', z~у~J4-Х2_Z2}.аналогичной (19), имеем= / dz / dxоJ2 > 1 ~ Z.V4-x 2 -z 2/z1zydy = / dz / ~y21:4-X2_Z2 dx =O-zКратный интеграл Ри.мана и его свойства§ 8.1751=J(4z - ~ z3) dz=~~.•оПри м е р9.ВычислитьJ]J (X+y+Z)3 '1 ==dxdydzGгдемножество, ограниченное плоскостямиG -4х+ 3z ==4х12,+ z == 4,А Данное множество4у+ 3z ==4у12,+ z == 4,z ==О.пирамида с вершиной в точке (О; О;4),основанием которой является квадрат 1 ~ х ~ 3, 1 ~ у ~ 3 (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
