1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 33
Текст из файла (страница 33)
1)Пусть п n ,ЕnJ f (х) dx == а.J1 Х Лхлпоследовательность открытых шаровN, -с центрами в начале координат и с радиусамиf== +00.Пусть функцияшару п n , n Е N, и limх---+ооRn >lim R nО,n---+ооn==определена на R , интегрируема по любомуf(x) == а. Доказать, чтоlimn---+оо2)ХДоказать, что(1 )limл---+о==J1(~)nJ f(x) dx == а.r2 nДоказать предыдущий результат, заменив последовательностьшаров П N такой произвольной последовательностью измеримых открытых множеств Х n ,00U Хn ==n=1RnnЕN, что JL(Xn )Хn С Хn + 1 ,nЕN, и.71. Пусть Х==[О; 1] х [О; 1], хна Х.
Найтиlimn---+ооПод ред. Л.Д.Кудрявцева, Т.3==(Х1;Х2), функцияJf(x~; x~) dx.х13> О,fнепрерывнаГл.19472.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.Указать измеримое множество Х и интегрируемую на немфункцию, у которой множество содержащихся в Х точек разрыванеизмеримо по Жордану, но имеет нулевую меру по Лебегу.fПусть функция73.интегрируема на множестве Х,т(Х)==>== {X j , j == 1, ... , N} -разбиение Х. Пусть о"О, а Хо- - объединение всех элементов X j Е т(Х), на каждом из которых колебание~ 0". Доказать, что для любого с> О и любого б> О сущестw(f;Xj )IT(X)I <вует такое разбиение т(Х) с мелкостьюДоказать74.критерийб, чтоЛебега интегрируемости/L(Xo-) <с.ограниченныхфункций.Вычислить повторные интегралы:75.х7r /2! ! + у)3) !!5) !! !1)dxcos(xоdyХdxООvu uv2 -v2dv;у-хdysin-7rиdu!1cos7r- у)е У dx;2уsin хrsincp ·lnrdr;О! ! (х4) !-1cos ер2dcpх(x+y+z)dz.у+хПусть функция76.dy; 2)о7r /У1непрерывна на отрезке [О; а].
Доказать,f(y)что:! !а1)хdxо! (а аf(y) dy =о! !аx)f(x) dx; 2)оаdxо!аf(y) dy =хyf(y) dy.ОПусть функция ф(х) непрерывно дифференцируема на отрез77.ке [О; а] и m ~ ф(х) ~ М на [а; Ь], пусть функция f(y) непрерывнана отрезке [с; d], где О Е [с; d], [т; М] С [с; d]. Доказать, чтоаф(х)! !f(y) dy = аdxо!!ф(О)о!аf(x) dx+о! (а - х)f(ф(х))ф'(х)dx.ов задачах78-81 для заданного множества G записать интегралf (х; у) dx dy в виде повторных интегралов с разными порядкамиGинтегрирования.78. G1) х ==3) у ==5) х ==6) х ==7) у ==-треугольник, ограниченный прямыми:О, У====О, ах+ Ьу == с;2) х == О, У == а, тх - nу == Ь;4) х == 2а, у == 2а, х + у == а;+ lx == О, а > О, k > О, l > О;О, Уkx, х == а;а, у - kx == О, уа, у - kxh, ау====О, у - lxhx, ау====О, а4ah - hx,> О, l > k;а > О, h > О;Кратный интеграл Ри.мана и его свойства§ 8.== 2kx, у == -kx, 2kx + у == 2а, k > О;== lx, у == kx, х + у == (k + 1)и + 1), l > k.у8)9)195учетырехугольник, ограниченный прямыми (а79.
G -> О):1) х == О, У == О, У == а, х + у == 2а;2) х == О, х == а, у == х, х + у == 3а;3) у == О, У == а, х + у == О, х + у == 2а;4) 2у == х, 2у == х + 6, у == 2х, у == 2х - 3;5) х == О, У == О, х - у == а, х + у == 2а.80. Gограничено линиями:1) у == х 2 , Х + у == 2; 2) х == О, х == -уГу, х == -V2 - у;3) у == О, х == угу, х + у == 6;4) х == О, х == sin у, х == cos у (О ~ У ~ 7г / 2) ;5) х == J 4 - у2, Х == J 4у - у2, У == 2;6) х == О , х == 1, х == у2 , У == е Х ,•7) х == О, х == 7г / 2, у == sin х, у == 2 + cos х (О ~ х ~ 7г / 2) .81.
G1)4)6)7)8)задано неравенствами:х + у2х 2 + у2х 2 + у2х 2 + у2х 2 - у22ах; 2) х 2 + у2 ~ 2Ry, х ~ О; 3) х 2 + у2 ~ 4х, у ~ х;R 2, Х + у ~ R; 5) у2 ~ 2рх + р2, У ~ х;R 2, Х + у ~ О;R 2, х 2 + у2 ~ 2Rx, у ~ О;а 2 , х 2 + у2 ~ 3а 2 .~~~~~2Записать повторный интеграл или сумму повторных интегра82.лов в виде двойного и нарисовать множество интегрирования:1arccosу2а3а-хеХеJdy J ЛХ;У) dx; 2) Jdx J ЛХ;У) dy; 3) Jdx JЛХ;У) dy;4) Jdy J f(x;y)dx; 5) Jdx Jf(x;y)dy+ Jdx J f(x;y)dy;J2y_ y6) JdyJ f(x;y)dx+ Jdy J f(x;y)dx;1)оо2ооу+2-J2y_ y217)f(x;y)dx+о2-уJdy J f(x;y)dx;О1J2y_ y2_ J2y_ y212-J2y_ y22Jdy J-21уо113*arcsinJdy Jо8)-22у14х1у21ох-а2f(x,y)dx+у'2-уJdy J1-у'2-уf(x,y)dx;lnхх2х-4Гл.196Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.V2x-x 21/29) J dxJо-V2x-x2f(x,y) dy10) J dx J ЛХ, у) dyоJf(x,y) dy;-V1-x2У'Х4+ J dx J ЛХ, у) dy;-у'ХО+ J dx1/2У'Х1V1-x 21х-21УОУ2111) J dy J f(x,y)dx+ J dy J f(x;y)dx+ J dy J f(x;y)dx;-1-11J1- y 21/212) J dyЛХ;У) dx.О1/22yИзменить порядок интегрирования в повторных интегралах:83.аху2+ у11) J dx J j(x;y)dy, а> О; 2) J dy Jооо(7х+10)/623) J dxJ-12х5) J dxJ-6х 2 /4-1О2Vy+1f(x;y)dy; 6) J dy2(х-1)/32 3+2х-хlnx-1J-1f(x; у) dy;sin7rхf(x;y)dx; 12) J dx J f(x;y)dy;J12- y 213) Jdxх2х 2 -17r1+V1-x 213/4cos х2хJf(x;y)dy; 14) JdxJf(x;y)dy;х2122х -115)Jdx J84.J2+ J 4- у 2J dy-1cos7r /29) J dx J f(x; у) dy; 10) J1sin х7r3хvГзf(x;y)dx;f(x; у) dy; 8) J dx J f(x; у) dy;2-vГзJJ1- y 2-1J1-1-7r7) J dx2cos хЛХ; у) dy; 4) J dx J f(x; у) dy;log2 х4f(x;y)dx;о7r2-х211)у-1J1- y 21ЛХ;У) dx + J dy JJVl -о1у-1х2х2у'Х2f(x;y)dy; 16)JdxОJf(x;y)dy.V2x-x 2Выразить сумму повторных интегралов через один повторныйинтеграл,переменив порядок интегрирования:§ 8.2у1111)Кратный интеграл Ри.мана и его свойстваdyо4у/2узх/2dxоdydy+dxу) dx +О3п /2dx-п/24-у1 1 у)1 1dyf(x;5п /2f(x;y)dy+1dxп/2-1dx;О3sin хdy;vx 2 -з4f(x;1х/21 1 Лх;у)lоgз уdyf(x;y) dx;у/2уз1 14) 113)1 12о3211 1Лх;у)2)+f(x;y) dx197f(x;y)dy.sinxВычислить повторные интегралы, переменив порядок интег85.рирования:V1-x 21 1 (1 - у2)3/211)dxо1 1Si:X7rdy; 2)7rdyооdx;у1dx 1(а - у2)О: dy, а > О, СУ > О;4) 1dx 1(1 - у2)О: dy, СУ > О;аа23)ох11-1vrxт1ifY5)1 1v1 dydx; 6)VYО86.1х311 1dxоПусть функцияДоказать, чтоfy2J y 4vx(1 ЛХ) dx)2 :::;(Ь - а)азадач6, 7,х 2 dy.интегрируема по Риману на отрезке [а; Ь].ьу к а з а н и е.-ь1f2(X) dx.аМожно,например,воспользоватьсярезультатамиа) и рассмотреть интеграл11 и(х) - f(y))2 dxdy,GG == [а;Ь] х [а;Ь].87.
Пусть f(x;y) == 1/у2, если 0< х < у < 1; f(x;y) == -1/х 2 , еслиО < У < х < 1; f(x; у) == О в остальных точках квадрата Х == [О; 1] хх[О; 1]. Доказать, что существуют оба повторных интеграла,где111dx 1f(x;y)dyоо1и11dy 1ЛХ;У) dx,ооГл.198Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.и они не равны друг другу. Доказать, чторате [О;если хне интегрируема на квад1] х [О; 1].Пусть88.ff(x;у)==у, если х-рациональное число;нерациональное число.
Доказать, что-прямоугольнике [О;интегралов1]1х11f(x; у) dy,==О,не интегрируема на11 dy-1оу)и что существует один из повторных[-1; 1]11 dxff(x;-11f(x;y) dx,Оа другой не существует.89. Пусть f(X1; Х2) == 1, если xi == pi/q, где Pi < q, Pi Е Z, Pi ~~ О, q Е N, pi/q - несократимые дроби, i == 1,2, и f(X1; Х2) == О востальных точках. Доказать, что, хотяте [О;1]х [О;1](задача22,4)fне интегрируема на квадраэтого параграфа), существуют равныемежду собой повторные интегралы111и 1 dX21dxl1f(Xl;X2)dx2оооВычислить двойные интегралы11f(Xl;X2) dx l'о(90-94):11 +ycosx) dxdy, G= [о; ;] х [о; ;];2) 11 ;2 dxdy, G {о < х, х ::::: у::::: х };11 х у 2 dx dy, G ограничено линиями х у2, Х4) 11 xy 2 dxdy, G {х +у2::::: а , х?:: о};5) 11 (х + уЗ) dxdy, G {х + у2 ::::: R 2, у?:: о};6) 11 (х + 2у) dx dy, G ограничено прямыми у х, у90.1)(xsinyG2з=G23)= 1;=G=22GЗ=2G=Х== 3;7)у==2х, х = 2,G11 (хGа, у8)===2+ у2) dx dy,G ограничено прямыми у = х, у = х+ а,3а;11 Jx - у dx dy, G ~ х ::::: у ::::: х, 1::::: у ::::: 4};11 1Г(х - у) dx dy, G - треугольник с вершинами= {G9)sinG(-1; -1/2), (7/2; 17/2).(-4; 1),§ 8.Кратный интеграл Ри.мана и его свойства19991.
1) / / e X - У dx dy, G ограничено прямыми х = -1, х = 1, у = х,у==G2х;2) / / (х+ у) dx dy,G = {х 2+ у2::::; R 2, У ;? х};G3) / / xydxdy, G ={х 2 + у2 ::::; 25, 3х + у ;? 5};G4) / / х dx dy, G = {х 2+ у2::::; 2, х 2 - у2 ::::; 1, х;? О, У ;? О};G5) / / у dx dy, G = {О ::::; У ::::; 6, х< 6, ху > 3, у - х - 2 < О};G6) //(2y-x)dxdy, G={y(y-x)::::;2, х(х+у)::::;З};G7) / / х 2 у 2 dxdy, G = {у > О, ху < 1, х 2 - 3ху + 2 у 2 < О}.GJj92. 1)XdXdY,х2+ у2Gограниченолиниямиу==хtg х,У==х,GО ~ Х< 7г /2;1112) / / еох2dxdy; 3) / / sin(x 3уоо/УГУ1tg (у2+ у) dy dx;5) /(х-l)/26) / / J y 2 -==1) dxdy;-О14) /1Оl-у/ е 2х -х2dx dy;Ох 2 dx dy; G ограничено прямыми у= 1,у=х, у =G-х.93.
1) / / (х 2+ у2) dxdy,G2) //Iyldxdy,2G = {а::::;Ixl : : ; Ь, а::::; lyl : : ; Ь}, о::::; а::::; Ь;2G={~6 + ~ ::::;1, х 2 + у2 ;?1};G3) //(2-x- y )dxdy, G={2Y::::;X 2 +y2::::;4};G4)//lxYI dxdy,G = {а 2 ::::; х 2+ у2::::; Ь 2 }, ОG5) //JIY-Х2Idхdу, G=[-1;1]x[0;2].G< а < Ь;Гл.2002.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы11 min{x,y}dxdy, G [О; а] х [О; а], а> О;2) 11тах{sin х, sin у } dx dy, G [О; 1Г] Х [О; 1Г] ;94. 1)=G=G3) Ilsigп(2а-2х-у)dХdу, G=[O;a]x[O;a], а>О;G4)11sign (х 2 - у2G = {х 2+ 2) dx dy,+ у2::::: 4}.G== ср(х), х Е [а; Ь], задана== a(t), у == f3(t), t Е [t 1;t 2],Пусть функция у95.
1)хгдевозрастает и непрерывно дифференцируема наa(t)a(tl) ==ПустьнаG.параметрически:G ==а,a(t2) ==Ь,~ Оf3(t)на[t 1;t 2].{х Е [а;Ь], О ~ у ~ ср(х)}, а функцияДоказать, что[t 1;t 2],f(x;y)непрерывнаjЗ(t)t211 j(x;y)dxdy 1a'(t)dt 1j(a(t);y)dy;=G2)Оtlдоказать, что если в дополнение к условиямнепрерывно дифференцируема наt211 Х; у)j(G96.1)dx dy =[t 1;t 2]tи fЗ( tl)==1)функцияf3(t)О, то1а' 1 а(t) dttlj ( (t) ; (3 (s ) )(3' (в) ds.tlВычислить двойные интегралы:11 (:: + ~:) dx dy, G ограничено линиями х=О, У = О и х =G== а sin t,2)у11== Ь cos t, t Е [О; 1г /2];(х - у) dxdy, G ограничено осями координат и дугой астGроиды х3)== а cos 3 t, у == а sin 3 t, О ~ t ~ 1г /2;у dx dy, G ограничено аркой циклоиды х11= a(t - sin t),у=G==а(l-4)cost), t Е [0;21Г] И осью Ох;11 хdx dy, G ограничено кривой х = а sin t, у = ь sin 2t, t ЕGЕ [0;1Г];5)11 ху dx dy, G ограничено осью Оу и кривой хG== 2t - t 2, tЕ [О; 3];= 3t -~, у=Кратный интеграл Ри.мана и его свойства§ 8.11 (х + у)6)201ограничено осью Ох и кривой х = 2t(1 - t),dx dy, GGу== 4t - t 3 , t Е [О; 2];7)у2 dx dy, G ограничено осью Ох и кривой х = sin(3t/2), у =11G== sin t, tПусть множество97.ды хЕ [О; 1Г] .==а( t- sin t),11У==Gа(lограничено осью Ох и аркой циклои- cos t), txyndxdy = 7raGхyndxdy,n;::О.G98.
Пусть функция f(x;y)[О; 1]. Доказать, что,,~~oo11Е [О; 21Г]. Доказать, что}z. 11 (ху(l -непрерывна на квадратеQ==[О;1]хх)(l - у))" f(x; у) dx dy = f (~; ~),G1где J"=1(х(l - х))"dx.о99.Доказать, что формула замены переменного в интеграле поотрезку (см.[2, § 6])переменных в кратномявляется частным случаем формулы заменыинтеграле.11 (х; у)В интегралеfdx dyперейти к полярным координатам иGзаписать его в виде повторных интегралов, расставив пределы интег-рирования в разных порядках, если(100-102)все параметры положительны.100.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
