1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 34
Текст из файла (страница 34)
1) G2)3)4)6)8)9){а 2 ~ х 2==+ у2~ Ь 2 }, О< а < Ь;G=={x2+y2~a2, y~x};G=={a2~x2+y2~4a2, Ixl-у~О};G == {х 2 у2 ~ 2ау}; 5) G == {(х 2 у2)2 ~ а 2 (х 2 - у2), Х ~ О};G=={x2+y2~2ax, y~x}; 7) G=={a2~x2+y2~2ay};+G == {(х 2++ у2)2~ ау(Зх 2 - у2), Х ~ О, У ~ О};G=={x2+y2~a2, x+y+a~O};10) G == {х 2 +у2 ~ а 2 , у ~ V!XТ}.101.
1) G == {х 2 + у2 ~ 2ах, х 2 + у2 ~ 2Ьу};2) G=={(x-a)2+y2~4a2}; 3) G=={O~x~a, O~y~x};4) G == {-2 ~ х ~ О, х 2 ~ У ~ 2 - х};5) G=={x~y~O, x+y~2a};6) G == {О ~ У ~ 1, у - 2 ~ х ~ - у'У} ;7) G=={X2+y2~2, y~x2, x~O}.102. 1) G == [О; а] х [О;а]; 2) G == {х 2 +у2 ~ 2ау ~ 2а 2 , х ~ О};Гл.202Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.3) G == {О ~ х ~ а, О ~ У ~ а - х};4) G=={x2+y2~a2, x2+y2~2ax}; 5) G=={2X~X2+y2~2};6) G=={2ay~x2+y2~4ay, y~lxl}; 7) G=={x2/4-1~y~x}.Перейдя к полярным координатам, свести интегралы к однократным(103,104).103.1)11 f (JX 2 + y2 )dxdY, С={х2+у2::::;х, х 2 +у2::::;у};G11 f ( х 2 х: у2 dx dy, G {VIXТ : : ; у ::::; 1};3) 11 f(x 2 + у2) dx dy, G {О ::::; х ::::; 1, .Jз : : ; у ::::; vГзх};11 f ( ~ ) dx dy, G - множество, ограниченное петлей декар2)=)G=G4)G+ УЗ == 3ху;това листа х з5)11 f( ~) dxdy, G{х 2 + у2 ::::; Jбх, (х 2 + у2)2 ::::; 9(х 2 _ у2)}.=Gva -xа104.
1)21dx 1-аОоva -xа4)vГзlуlа21dx 1Оа2f(x+ у2) dy;1х22== {4Доказать, что~ (х2+ у2)2Вычислить(106-109).106.1)11 f (~ ) dx dyl/vГзJJ~ 4(х21=интегралы,перейдяку-l'111 ylxG2(~ ~ :;)2полярным2Gdxdy+2dy.f(t) dt,где- у2), Х ~ О}.11 COS(wJX 2 +y2)dxdy, С={хх2)-l/vГзG == {9 ~ х 2 +у2 ~ 25}·"'"""',G3)2а-хD2)х1dx 1f(Jx 2 +y2)dy; 6) 1dx 1f(ХооооJx + у2105.D11dx 1f(:) dy;f(Jx 2 +y2)dy; 2)1dy 1 f (~ ) dx;-15)1J 4- у 213)2dxdy, G = {а 2 ::::; х 2 +у2::::; 4а 2 };+у2<1};координатамКратный интеграл Ри.мана и его свойства§ 8.11 xy2 dxdy, G {х5) 11 у2 е х + dx dy, G+ у2)6 ) Jj4)=203+у2:::::; а 2 , х?:: О};2G2у2={х 2 + у2 :::::; 1, х ?:: О, у?:: О};G== { 1 ~Gln(x2х2+уd dХ у,2х2+ у2~ а2,у ~ О};G7)11(ах + Ьу)dx dy, G = {х 2+ у2 :::::; R 2, Х - у :::::; О};G8) II(x+ Y )dXdY, G={X 2 +y2:::::;R2, y-kх>О};G9)11 signydxdy, G={х 2 +у2:::::; 1, у - kx > О}.G107.1)Jjх2У2+у2dxdy , G=={x2+y2~ax}, а>О;G11у dx dy, G {х + у2 :::::; 2х, х > у};3) 11J;' dx dy, G {х + у2 :::::; 1, х2)2=GG4)2=22х +у11 (~)2dx dy, G = {1 :::::; х 2+ у2:::::;+ у2:::::;2у};2х};G11 xdxdy, G {ах:::::; х + у2 :::::; 2ах, у ?:: О}, а > О;6) 11 J а - х - у2 dx dy, G {ау:::::; х + у2 :::::; а , у?:: О, х ?:: О},5)2=G222=2Gа> О;7)11 y 2 dxdy, G={2х:::::; х 2 +у2:::::; 6х, у:::::; х}.GVl-x 21108.
1)1dx 1о12)ln(l+ х 2 + у2) dy;-Vl-x 2О1dx 1о14)1+Vl-x 21dx 1оl-Vl-x 2VYdy.оГл.204109. 1Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.) Jjdxdy+ у2)2(х 2G'ограничено линиями х22- у == 6, х == 3;G2)11 Ixyl dxdy,G = {(х 2+ у2)2:::::; х 2 - у2, Х ;? О};G3) 11X2dxdY, С={(х 2 +у2)2:::::;2ху, х;?О};G11 у dx dy, {О :::::; х :::::; (х + у2)3/2 :::::; 1, у О};5) Jjуdx dy== { ~ ау ~ х ~ ау2} а > о·6) 11 VX2 + у2 dxdy,{ах:::::; х + у2 :::::; а(х + VX2 + у2)},2G=4);?G.
/2уХ +уG22G'2""""2 -,,2G =Gа> о.2С={х 2 +у2:::::;у2110. 1) Вычислить интеграл 11 e -(Х + )dХdУ,G~R2, x~O, y~O};2)доказать неравенстваv; V1 -е- а21еа<х2dx < -УК2ОV11е--е-2а 2 •'+СХ)3) вычислить несобственный интегралх2dx.О111.Найтиlimn---+СХ)Ln2~2 '2 ' где сумма составлена по всем це+Z +Jлым значениям i и j таким, что i ~ О, j ~ О, i 2+ у2~ n 2.112. Пусть функция f(x; у) непрерывна в круге х 2+ у2~R2И2пФ(r)=1j(rcos ер; r sin ер) dep,о:::::; r :::::; R.ОДоказать, что функция Ф(r) непрерывна на [О;R].113. Пусть функция f(x;y) непрерывна на R2 иG(r) = {х 2 +у2:::::; r 2 },F(r) =11 j(x;y)dxdy,r;? О.G(r)Доказать, что:1) limr---+O3)еслиР(Т) == f(O; О);1Гт 22) F(r)дифференцируема, и найти F'(r);lim r 2 f(x;y)==a#0,гдеr==vх 2 +у2, тоr---++CX)limr---++CX)Р(Т) == 21Га.ln r'§ 8.4) еслиКратный интеграл Ри.мана и его свойстваlim т а f(x; у)r---++CX)== а 1: О, где r == Jx 2 + у2, а < 2, тоlimР(т)r---++CX) т 2 - а5) еслиществуют205== 21Га.2- а '== а 1: О, где r == Jx 2 +у2, а> 2, то суlim F(r) == F( +(0) иlim raf(x;y)r---++CX)r---++CX)lim r a - 2(F(r) - F(+oo))r---++CX)==21Га2-аСовершив заданную замену, записать данный интеграл в ви114.де повторного:Ь(3х1) / dx / f(x;ау) dy, где О ~ а ~ Ь, а < (3; и=х,v =~;ахdky+b2) /dY /сf(х;у)dх,гдес<d,а<Ь;u=х-kу,v=у;ky+a3) / / f(x; у) dx dy, где область G ограничена прямыми х = ту,хG== а, О < m < n, а > О; u == х + у, у == uv;4) / / f(х; у) dx dy, где область G ограничена прямыми х==nу, у=2у,Gу==2х, х+2у==2, 2х+у==4;1u==yjx, v==yj(2-x);2-х5) /dx /оf(x;y)dy;u=х+у, v=x-y;-2-х6) / / f(x; у) dx dy, где область G ограничена линиями у = ах 2 ;Gу==Ьх , ху==р, xy==q, О<а<Ь, O<p<q; и==ху, v==yjx 2;27) / / f(x;y)dxdy,==гдеG = {::+ ~: ~1};х= arcos<p,у=GЬтsin ер;8) / / f(x; у) dx dy, где область G ограничена линиями х = О, У =G== О, vгx + УГУ == yГri, а > О; х == r cos 4 ер, у == r sin4 ер.115.ралПроизведя соответствующую замену, свести данный интегк однократному:1) //f(x-y)dxdy,где G={O~x~a, O~y~a-x};G2)f(ax + Ьу + с) dx dy, а 2 + Ь 21: О;Гл.2063)Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.11 f ( Х)уGdx dy,где область С, расположенная в 1 квадранте,ограничена линиями ху24)==а, ху==Ь, ау==х, Ьу==х, О1dx 1 f(xy) dy; 5) 11 (х - у)2 f(x + у) dx dy,О1116.< а < Ь;x-lG=[О; 1] х [О; 1].GУказать такие формулы перехода к новым координатам, чтобы областьGстала в новых переменных прямоугольником, еслиGограничена линиями:1) у == kx, у == kx - Ь, у == О, У == а, где k > О, Ь > О, а > О;2) х - 2у == О, 2х - у == О, У == 1, у == 2;3) kx - у == О, У == О, х == а, где k > О, а > О;4) х == О, У == О, х + у == а, где а > О;5) ху == а, ху == Ь, х - у + с == О, х - у + d == О, где О < а < Ь, с < d;6) у == рх 2 , У == qx 2 , У == ах, У == Ьх, где О < Р < q, О < а < Ь.117.
Показать, что криволинейный четырехугольник, расположенный в первом квадранте и ограниченный софокусными эллипсами и перпендикулярными им гиперболамих2ch 2 ах2==ch 2 Ь1,х2sin 2 а = 1,в эллиптических==sh 2 а+х2у2cos 2 аху2ch u cos ер,у==sh 2 Ь+==u1гО < а < (3 < "2'sin 2 f3 = 1,иО < а < Ь,1,у2cos 2 f3координатаху2ер:sh u sin ер,Еuер Е [О; 21Г),R,является прямоугольником.118.Пусть новые координаты (и;ер(х;у;и)Доказать, что119.О,заданы уравнениямиф(х;у;v)==О.д(х; у) _<р~ф~д( и; v)<р~ф~ - <р~ф~ .Доказать, что при переходе к обобщенным полярным коорaaдинатам х120.==v)== r cos== r sin ер якобиан отображенияJ == ат( cos ер sin ер )a-l .ер, уПусть функцияfинтегрируема по множествуричному относительно оси Ох, и пустьбых (х; у) Е G.
Доказать, что11 f(x;y)dxdyf(x;=-у)равенG,симмет== - f(x; у)для люо.G121.Пустьфункцияfинтегрируемапомножествуметричному относительно начала координат, и пусть= - f(x;у). Доказать, что11 f(x; у) dx dyG=о.G,f( -х;сим-у)==§ 8.122.гдеКратный интеграл Ри.мана и его свойстваДоказать, что //lcos(x+y)ldxdyG== [О;п] х [О;п].=GДля заданных функции207//lcos(x-y)ldxdy,Gfи множестваGс помощью подходящейзамены вычислить интеграл / / f(x;y)dxdy (123-125).G123. 1) f(x; у) == ху, G == {Ix + 2yI ~ 3, Ix - yl ~ 3};2) f(x;Y)==(X 2 _ y2)2, G=={lxl ~y~l};3) f(x; у) == 1j(x 2y2), G ограничено прямыми 3у == х, у == 3х, у ==== 4 - 5х, у == 4 - х;4) f(x;y) == е а (х+у)2, G == {О ~ х ~ 1, О ~ у ~ 1- х};5) f(x; у) == (х 2 - у2) sin п(х - у)2, G == {Iyl ~ х ~ 1 - lyl}.124.1) f(x;y) == х+у, G ограничено линиями ху == а, ху == Ь,== х - с, где О < а < Ь, О < с;2) f(x;y) == у2, G == {1 ~ ху ~ 3, О < х ~ у ~ 2х};2 G ограничено линиями у == х, у == 2х, у == х 2 ;3) f(x;y) == е Х 4/ У,4) f(x; у) == xjy, G ограничено параболами у == х 2 , 8у == х 2 , Х == у2,8х == у2;5) f(x;y)==x 4 _ y4, G=={x>O, 1~xy~2, 1~x2-y2~2}.125.1) f(x;y) == J1-x 2 ja 2 - y2jb2, G == {x 2 ja 2 +y2jb 2 ~ 1};у==х, у2) f(x; у) == УХ + у'У, G == {УХ + У'У ~ VГa};3) f(x;y) == (х + у)2, G == {х > О, У > О, (х + у)4 < х 2 + у2};4) f(x;y) == х, G == {х > О, У > О, (xja)2/3 + (yjb)2/3 < 1}.126.Пусть функцияf(x;y)непрерывна на прямоугольникеQ ==== [а; Ь] х [с; d],УF(x; у) = / f(x; Т]) dry,(Х; у) Е Q.сДоказать, что:1) F(x;y)непрерывна на2) F(x;y)дифференцируема по у и3)Q;дРду (х;у) =f(x;y),если дополнительно ~~ непрерывна на Q, торуема похF(х;у) ЕQ;дифференциидР/У д!дх (х; у) ==дх(х; 1]) d1].с127.Пусть функции ер и Ф непрерывны и удовлетворяют неравенству ер(х) ~ ф(х) на отрезке [а; Ь],G == {(х;у): а ~ х ~ Ь, ер(х) ~ у ~ ф(х)},Гл.208Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.fи пусть функциянепрерывна наG,ф(х)F(x) = J f(x; У) dy.<р(х)Доказать, что:1)функциянепрерывна на [а; Ь];2)если существуют непрерывные производныеF(x)[а; Ь] и ~~ (х; У) нанато и F(x) имеет непрерывную произвоДнуюG,на [а; Ь] иF' (х)ф'(х)f'(x),ф(х)ЛХ; ф(х) )ф' (х)=- f(x;J ~~ (х; у) dy.<р(х) )<р' (х) +<р(х)Найти128.1) F(t) =F' (t),JJe-если:Q(t) = [O;t] х [O;t];tx / y2 dxdy,Q(t)2) F(t) =JJJX 2 +y 2 dxdy,Q(t)={(x-t)2+(y-t)2:::::;1}.Q(t)129.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
