1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Доказать, что существует кубХQ С х такой, чтох>оl(х)39.ция1наQ.Пусть Хизмеримое множество положительной меры, функ-интегрируема на Х и l(х)>одля всех х Е х. Доказать, чтоJf(x)dx > О.х40.Пусть Х 1 -линейно связное измеримое множество, Хамножество меры нуль, Х==Х 1 U Ха, и пусть функция-1 ограниченаи интегрируема на Х и непрерывна на Х 1 . Доказать, что существуеттакая точка ~ Е Х, чтоJf(x) dx=f(~)JL(Xl)'==(хl; Х2))Х41. Доказать неравенства (х1) 1,96IXll + IX21<Jх~ 10};у'22) -7Г<3~ 4};3):(100 + cos 2 хl + cos 2 X2)-ldx < 2, где Х = {(Хl;Х2):4 - у'271n 2J J+xi ++x~44Х1ХJ< +3-..4dX<-47Г,гдеХ-{(Хl'Х2).1~хi+х~~Х22 Х1 -Х21х2 Х1+Х2dx<16 - 2у'21,гдеХ==[2,5;3]х[-1;-О,5].31 n 2Гл.188Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.у к а з а н и е.
Можно воспользоваться результатом задачи42. Пусть Хn[О;==n]n],lim1f(x) dx == О,чтоn---+ооУnХn + 1х [О;==Хn ,\n6.Е N. Доказать,Уnесли для х Е Уn,== (Хl;Х2):1) f(x) == (xi + x~)a, а < -1/2; 2) f(x) == ХIХ2/(Хl + Х2)4;3) f(x) == (1 + ХIХ2)-2; 4) f(x) == e-lxi-x~l.43.nЕПусть Уn -N, хмножества из задачи42.1f(x) dx == +00,limn---+ооДоказать, чтоУnесли для х Е Уn ,n1) f(x) == (2Хl==Е11·1тУnПусть функцияма на Х, М2) f(x) == (1+ IXlмножества из задачиn---+оо45.(Хl;Х2):+ Х2)-1/2;Уn -44. Пусть(хl; Х2) )==N, х== sup f.fdx1 + x21n(Xl+ Х2)- Х21)-1.42.
Доказать,== 1.что(хнепрерывна, неотрицательна и интегрируеДоказать, чтох nl~~ (1 и(х))n dx) 1/n = М.Х46.Пусть функцияfинтегрируема по Х, Ха-множество всехтаких точек замыкания Х, в любой окрестности каждой из которыхфункцияfне ограничена. Доказать, что существует такое ддля любого разбиения т(Х) с мелкостьюIT(X)I <> О,чтод мера любого егоэлемента, замыкание которого имеет с Ха общую точку, равна нулю.47.Пусть измеримое множество таково, что существуют его разбиения сколь угодно малой мелкости, все элементы которых имеютположительную меру. Доказать, что всякая интегрируемая на этоммножестве функция ограничена на нем.48.Пусть функциятельной меры, Ха-fинтегрируема по множеству Хположимножество всех точек замыкания Х, в любойокрестности каждой из которых функцияfне ограничена,in Х -множество всех внутренних точек Х.
Доказать, что расстояние между Ха и49. 1)in ХПусть функциятельной меры,зать, чтоположительно.fin Х -fинтегрируема по множеству Х положимножество всех внутренних точек Х. Докаинтегрируема и ограничена на множестве Х1XninXf(x) dx =1f(x) dx;Хn in Хи§ 8.2)Кратный интеграл Ри.мана и его свойства189указать множество Х положительной меры и определенную наJ,нем функциюкоторая интегрируема на Хn in Х,но не интегрируема на Х.50.J интегрируема по множеству ХПусть функцияной меры,in Х -положительмножество всех внутренних точек Х. Доказать,что существует такое подмножество Ха С Х нулевой меры, чтоограничена на Х\Пусть Х-51.Ха и расстояние между Ха имножество положительной меры,жество всех его внутренних точек, Ха С Х,>о.на ХДоказать, что если функция\Ха и интегрируема на Х! J(x) dxJ/L(X a) ==о,положительно.inX - мнор(Ха ; inX) >определена на Х, ограниченаn in Х,!=ХтоJинтегрируема на Х иJ(x) dx.XninXДоказать свойства52.
1)in ХJкратного интеграла2), 3), 5), 7), 8), 10)Римана;2)пусть функцииJ9 интегрируемы на множестве Х положимножество всех внутренних точек Х, 9 нетельной меры,меняет знакаin Х на in Х.иДоказать, что:а) существует такое число Л, что! J(x)g(x) dx л ! g(x) dx;f!!1 J :( л :( ~~~ J,=Хб) если к тому же ХХлинейно связное множество или замыка-ние линейно связного множества ивует такая точка ~ Еin Х,J непрерывна начто! J(x)g(x) dx=JЮХ53.бого Ето сущест! g(x) dx.ХJинтегрируема на Х.
Доказать, что для люО есть такое бо, что для любого измеримого подмноПусть функция>in Х,>жества Х 1 С Х такого, чтоI/L(X 1 ) <б,! J(x)dxl < с.Хl54.Пусть функцияJинтегрируема на Х, и пустьJ(x) ==О вкаждой точке х Е Х, в которой она непрерывна.
Доказать, что!J(x)dx=O.Х55.те Х==JПусть функция[о;непрерывно дифференцируема на квадра-1] х [о; 1]. НайтиJ~~ n (n! J(х) dx - ~2 L J ( ~ ; ~) ).Хi,j=lГл.19056.2.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралыПусть линии уровня непрерывной функциипросf(x;y) -тые гладкие замкнутые кривые, пустьниеf,f(x;y)Vo фиксированное значеП(v) - область, ограниченная линиями уровня f(x;y) == Vo и== v, S(v) - площадь этой области. Доказать, чтоvJJ f(x;y)dxdy= JuS'(u)du.Q( v)у К а з а н и е.f(x;у)==VoРассмотретьИj, где {Иj},разбиение== 1, ... , n, -jП (v)линиямиуровняразбиение отрезка[vo; v].f(x) ~ Ь,Пусть функция f интегрируема на Х и а ~Е х, функция 9 непрерывна на [а; Ь].
Доказать, что композиция57.х Е9оfинтегрируема на х.58.Пусть функцияfинтегрируема на Х и а ~f(x)~ Ь, х Е х,функция 9 выпукла (вверх или вниз) на [а; Ь]. Доказать, что композиция 9 оинтегрируема на х.f59.бого р==Пусть функция>офункцияIfl60. Пусть функции1. Доказать, чтоfинтегрируема на х. Доказать, что для люPинтегрируема на х.fи 9 интегрируемы на х, р>J If(x)g(x)1 dx~~хJ If(x)IP dx+~х1, l/р + l/q==J Ig(x)lq dx.ху к а з а н и е. Доказать неравенсmво Юнгаlabl < аР /р + aq /qи воспользоваться им.==61.
Пусть функции f и 9 интегрируемы на х, р> 1, l/р + l/q1. Доказать неравенсmво ГёльдераJ If(x)g(x) I dx~( J If(x)IP dx) l/р ( J Ig(x)lq dx) l/ХХу к а з а н и е.иg/a,Q•ХПрименить результат задачи60к функцияма!1, l/р + l/q== 1.подобрав а.62. Пусть функцияfДоказать, чтоJ If(x)1 dxинтегрируема на х, р~ (p,(X))l/Х63.Пусть функцииQ(]>If(x)IP dx) l/Р.Хfи9интегрируемы на х.
Доказать нера~(Jlf(x)I Pdx)l/венсmва М UНlf,овСlf,ого:1) если р ~ 1, то(Jlf(x)+g(x)I Pdx)l/х==PхP+ (Jlg(x)I Pdx)l/хP;§ 8.2) если ОКратный интеграл Ри.мана и его свойства< Р < 1,191то(JIf(x) + g(x)IP dx) l/р Jlf(x)IP dx) l/р + ( JIg(x)IP dx) l/ .Р;?: (ХХХ64. Пусть функция J интегрируема на Х и J(x) == О вне х,h Е Rn .1) Указать такие х, J и h, что функция J(x + h), х Епустьх, неинтегрируема на х;2)Jпусть дополнительноJ(x + h),3) при техцияограничена на х.
Доказать, что функх Е х, интегрируема на Х для любогоже условиях, что и в2), доказать, чтоJIJ(x + h) - J(x))1 dx == О;limh-+Oh Е Rn ;Х4) не предполагая ограниченности J на х, доказать, что сущестnвует такое б > О, что для любого h Е R такого, что Ihl < б, функцияJ(x+ h),5)х Е х, интегрируема на х;при тех же условиях, что и в4),доказать равенство из3).65.
1) Пусть функция J интегрируема и ограничена на Х С R n ,nУ измеримое множество в R , У ~ х. Пусть J - продолжение J нулем на У *). Доказать, чтоинтегрируема на У и1JЛХ) dx Jf(x) dx;=ух2) указать измеримые множества Х и У из R n , Х с У, и функцИЮJ,интегрируемую на х, такие, чтона У (см.66.1)),J -продолжениеJнулемне интегрируемо на У.Пусть Х и У-измеримые множества вR n , Х с У, У -открытое множество или замыкание открытого множества. ПустьфункцияJинтегрируема на х, а ее продолжение нулем на У интегрируемо на У.
Доказать, что67.(х==ограничена на х.Одно из возможных определений интеграла Римана таково(хl; ... ;х n )). Пусть1 == {х Е R-Jnai ~ х i ~ bi , i == 1, ... , n }nпрямоугольный параллелепипед в R с ребрами, параллельными:координатным осям (говорят также: промежуток, брус). Меройтакого параллелепипеда называют произведениеnп (b i - ai),i=l*) Это значит, что т == f на х, т == о на У \ х.M(I)Гл.1922.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралычто совпадает с мерой Жорданапрямоугольного параллелепипе(§ 7)да.
Рассматривают разбиения данного параллелепипеда1на параллелепипеды же плоскостями, параллельными координатным. Используятолько такие разбиения, определяют интеграл поопределенной наделении(2)рала отJот функциив начале этого параграфа.по11 такоеопределению (2).равносильноДалее, пусть функцияJопределение интегопределена на ограниченном множестрактеристическая функция Х *).
Если существует интеграл **)ве х,параллелепипед, содержащий х, Х с1 -J,посредством сумм Римана так же, как и в опре1,Доказать, что для параллелепипеда1)1Пусть хх1.хаJfxx(x)dx,1то его называютJf(x) dx, Т. е.интегралом Римана отJпо хи обозначаютJf(x) dx Jfxx (х) dx.х(33)=х1Доказать, что существование интеграла2)(33)и его величина независят от выбора параллелепипедаОтметим, что в определении1, содержащего(33) множество Хх.не предполагаютизмеримым по Жордану.JДоказать, что если Х неизмеримо по Жордану и== constна х, тоне интегрируема на Х в смысле определения (33).3)JМерой ограниченного множества Х Ср,(Х)J dx,Rn1: оназывают число1=хесли этот интеграл в смыслесуществует.Доказать, что такое определение меры равносильно определе4)нию изле(33)§7меры Жордана, а сами меры совпадают.5) Доказать, что если функция(33), то J ограничена на х.6) Указать такое множество Х иJчтоJинтегрируема на Х в смысJ,определенную на нем функциюинтегрируема на Х в смысле (33), но Х неизмеримо по Жордану и, следовательно, интеграл отJпо х в смысле определения(2)не существует.7)Указать измеримое по Жордану множество Х и определеннуюна нем функциюнияJ,которая интегрируема на Х в смысле определе(2), но не интегрируема на8) Доказать, что на классах*)**)Х в смысле(33).измеримых по Жордану множеств иЭто значит, хх(х) == 1 для х Е х, хх(х) == О вне х.Считают по определению fx x == f на х и fx x == о вне х.§ 8.Кратный интеграл Ри.мана и его свойстваограниченных функций определения интеграла(2)и193(33)равносильны.nПусть семейство измеримых в R множеств Х(л), л Е [О; 1],таково, что функция JL(Л) == JL(Х(Л)) непрерывна на [О; 1] и Х(Л1) СС Х(Л2) дЛЯ любых Л1 и Л2 из [О; 1] таких, что Л1 < Л2.
Пусть функцияинтегрируема на Х(l).68.fJ ЛХ) dx непрерывна на [О; 1].1) Доказать, что функция ср(л) =Х(л)2) Пусть JL(O) == О, f(x) > О для любого х Е Х(l). Доказать, чтодля любого () Е [О; 1] найдется л( ()) Е [О; 1] такое, чтоеJ f(x) dxJ=Х(1)f(x) dx.Х(л(8))3) Пусть дополнительно к условиям 2) функция JL(Л) строго возрастает на [О; 1]. Доказать, что для любого () Е [О; 1] уравнение относительно л(()) из 2) имеет только одно решение.4) Пусть дополнительно к условиям 2) и 3) Х(О) == {ха} - точкаnв R , diаmХ(л) ---+ О при л ---+ О, функция f непрерывна в точке ха.Найти. J1( л( В))11тВ.8---+0Пусть функция69.интегрируема по Х, ха Е Х,f==а.n Qлиlim f(x)х---+хоПусть Qл>ОJL(Х л )куб с центром ха и ребрами длины л, Х л-> о.для любого л70.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
