1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Найти среднее значение функции j на области G, если:1) j (х; у; z) == х 2 + у2 + z2, G == {х 2 + у2 + Z2 < х + у + z };2) j(x;y;z) == expvx2ja2+y2jb2+z2jc2, G == {x 2ja 2 +y2jb 2 ++ Z2 jc 2 ~ 1}.V1 -154. Вычислить интеграл+ у2+ Z2155.111 xmynzPdxdydz,где G={х 2 +G~ 1}, т,n,р-целые неотрицательные числа.Выразить через значения Г -функции интеграл Дирихле111 x PyQ z T(1- х - У-Z)S dxdydz,GгдеG=={х>О, у>О,Z>O, x+y+z<l},р>О,q>O,Т>О,8>0.Гл.214Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.у к а з а н и е.+ z == ~ТJ,156.+у +zМожно воспользоваться заменой х==~,у+z == ~ТJ(·Пусть Х и Иизмеримые множества, ер-на И с такими же свойствами, как и в теореме7п.отображение Х3этого параграфа.Доказать, что:1) существует такое (), что inf I det ер' (х) I ~ () ~ sup I det ер' (х) I ихЕХJL(U) == ()JL(X);2)если Х-хЕХсвязное множество, то существует ха Е Х такое, чтоJL(U) == I detep'(xa)IJL(X)..
JjJ axayaz(x;y;z)dxdydz,д!З157. НаитиполагаяG = [аl;а2] хGХ [Ь 1 ; Ь 2 ] Х [Сl; С2].158. Пусть функция f(x; у; z) непрерывна на цилиндре х 2~ R 2 , О ~ Z ~ Н. Доказать непрерывность на [О; Н] функции11F(z) ==+ у2~f(x; у; z) dx dy.dP159.
Пусть функция f(r) непрерывна при r ~ о. Найти dt' где111F(t) ==160.тиz~Пусть функцияу'х 2+ у2.f( Jx 2 + у2f(x;у;+ Z2) dx dy dz.непрерывна на замкнутой обласz)dPdt' гдеНайти111F(t) =f(x; у; z) dx dy dz.Jx2+y2~z~t161.Н...аитиПусть функцияdPdt'f(x;гдеF(t) =у;z)непрерывна при х ~ О, У ~ О,z~ о.z~ о.111 f(x;y;z)dxdydz,G(t)G(t) == {х ~ О, У ~ О, z ~ О, x+y+z ~ t}.162.НайтиПусть функциядЗРaxayaz'f(x;гдеF(x;y;z) =у;z)непрерывна при х ~ О, У ~ О,111f(~;1];()d~d1]d(,G(x,y,z)G(x; у; z) ==[О; х] х [О; у] х [О;z].§ 8.163.Кратный интеграл Ри.мана и его свойстваЗаписать интеграл от функцииfна множествеповторного по возрастанию номеров координат,1) G ==215Gв видеесли:{О ~ Хl ~ Х2 ~ Хз ~ Х4 ~ а};{Хl + Х2 + Хз + Х4 ~ а, Хl ~ О, Х2 ~ О, Хз ~ О, Х4 ~ О};2) G ==3) G == {xi + x~ + Х§ ~ R 2, О ~ Х4 ~ Н};4) G == {xi +x~ ~ а 2 , Х§ +x~ ~ Ь 2 };5) G == {xi +x~ +Х§ ~ a2x~, О ~ Х4 ~ Н}.164.
Вычислить на множествеG == {хl + Х2 + хз + Х4 ~ а, хl ~ О, Х2 ~ О, хз ~ О, Х4 ~ О}:1) J dXl dX2 dхз dX4; 2) J(X1G+ Х2 + ХЗ + x4)"'dx l dX2 dхз dX4, а?:: о.G165. 1) Проверить, что (хахlХ2J dXl J dX2 Jоо==(хl; Х2; хз; Х4))хзdхз Jоааf(x) dX4 = J dX4 Jооаdхз JХ4dX2 J f(x) dXl;хзХ2f(x) == 1.вычислить интеграл из1)при166.
1) Проверить, что (х==(хl; Х2; хз; Х4))2)аJdXl aJx1dX2 а-j- 2dхз a-ХIJХ2-Х3f(Х) dX4ХООООаа- Х 4= J d X4 Jо2)=а- Х 4 -хзdхзовычислить интеграл из1)Jа- Х 4 -хз -Х2dX2оJf(x) dXl;оf(x) == 1.при167. Вычислить на множестве G=={О ~ хl ~ Х2 ~ хз ~ Х4 ~ а}интеграл:1) J ХI Х 2 Х З Х 4 dXl dX2 dхз dX4; 2) J (ХI Х 2G+ ХЗ Х 4) dXl dX2 dхз dX4.G== {xi + x~ + Х§168. Вычислить на множестве G~R 2, О ~ Х4 ~~ Н} интеграл:1) J dXl dX2 dхз dX4; 2) J (xiG+ X~ + X~ + X~) dXl dX2 dхз dX4.G169. Вычислить на множестве G== {xi + x~ + Х§~ a2x~, О ~ Х4 ~~ Н} интеграл:1) J dXl dX2 dхз dX4; 2) J (xiG+ X~ + X~) dXl dX2 dхз dX4.G170.
Вычислить на множестве G== {xi + x~~ а 2 , Х§+ x~~ Ь2 }интеграл:1) J dXl dX2 dхз dX4; 2) J (ХlGG+ Х2 + Хз + Х4)2 dXl dX2 dхз dX4.Гл.216Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.1 71. Пусть функция f== 1, ... ,n}. Доказать, чтоаХ n -2Xl(х) непрерывна на кубе {О ~xi~ а, ~==Xn-lJ dXl J dX2000 J dX n-l J f(Xl; 000; х n ) dx n =оооаоаОПусть функция1) J dXl J dX2000ООХзХ2+(0).Доказать, что:Xn-ldXn-lJхnнепрерывна на [О;f(t)Х n -2XlааJ dx n J dX n - 1 оо.J dX2 J f( Х l; 000; х n ) dXlo=172.аJОf(x n ) dx n ==Оасп ~ 1)! J f(t)(a - t)n-l dt;=оааа2) J dXl J dX2000ОdXn-lJХ n -2XlааXn-l3) J dXl J dX2000 J dXn-l JоОаf(x n ) dx n ==ооп f(Xi) dxn = ~!оа(! f(t) dt) n;Оi=lXn-l4) J хl dXl J Х2 dX2000 J х n -l dX n-l Jоn 1J f(t)t - dt;ОnХ n -2XlСП ~ 1)!Xn-lХ n -2XlJаоо==f(x n ) dx n =а12n - 1 (nJ( а- 1)!2 -t 2 )n-l f( t) dt.оПусть функция f(t) непрерывна на [О; +(0), G = {::::; а, xi ~ О; i = 1, 000' n}о Доказать, чтоаn 1J f( Х l + 000 + хn ) dXlooo dxn = СП ~ 1)! J f(t)t - dto173.ОG174.Пусть функция К(х; у) непрерывна на квадрате[2== [а; Ь] х [а; Ь][а; Ь] 2 .Обозначим [== [а; Ь], [n == [ х [n-l, n?:: 3, и пустьК2 (х; у)=J К(х; ~)K(~, у) d~,1Кn + 1 (Х;У)=JKn(x;~)K(~,Y)d~,1(х; у) Е [2,n?:: 2.Доказать, чтокn + 1 (х; у)=J К(х; 6)К(6; 6)000 K(~n; у) d6000 d~n,InnLi=lxi ::::;Кратный интеграл Ри.мана и его свойства§ 8.Кn+тН(Х;У)JKm(x;~)Kn((;Y)d~,=(х;у) Е217щn Е N.[2,1==175.
Вычислить интегралы по кубу QnRn , n ~ 2:[О; а]n Еn1) Jx~ dx, 1::::; k ::::; n, р;::: О; 2) J L Xk dx ;Qn3) JQn5)k=lQntx~ dx, р;::: О;4) Jk=lJеJ cos(t xk У dx, р;::: О;k=lQnС1Х1 +...+СпХ п dx,Ck-::f-О, k = 1, ... , n;Qn6)~(Х1 + ... + Х n ) dx.2аn2Qn176....Вычислить интегралы по пирамиде П N~ Х2 ~ Х1 ~ а}=={О ~ х n ~ Х n -1 ~ ...:nХI Х 2··· Х N dx; 3) J L xk dx.1) J dx; 2) Jпn177.пnПNk=lВычислить интегралы по пирамиде Вn;:::0, k=l, ...,n}:n= {L xk ::::; а, xk ;:::k=lппп1) J dx; 2) J LXk dx; 3) J LX% dx; 4) J (LXk)Snk=lSNn5) J (L xk У dx,SN178.SNk=l1/2dx;k=lSNр;::: о.k=lНайтиплоскостямиобъемn-мерногопараллелепипеда,ограниченногоnLaijXj== ±hi ,hi> О,i== 1, ... , n,j=lпри условии179.det(aij)1: о.Найти объем n-мерной пирам идыn"Xi~ а·i=l180.~ 1,Xi~ О,ai> О,i== 1, ...
, n.1,Сферические координаты вRnможно получить индуктивноследующим образом. ПустьХ==(X1; ... ;X n -1;Х n )nЕ R ,'Rn - 1 . П усть r'== (Х1; ... ; )Х n -1проекция Х на... ,фn-2 сферические координаты в Rn - 1 .ХГл.2182.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралыНабор (Т'; фl;mа.ми точки Х в... ; Фn-2; Х n )nRназывают ЦИЛИ1-lдричеСJliИ.ми JliоордИ1-lа.Совершим еще одну замену по формуламТ'== r cos Фn-l,хn== r sin Фn-l,Ixl,оставляя координаты Фl, ... , Фn-2 прежними. Здесь r ==Фn-l ЕЕ [-п/2;п/2], якобиан замены, очевидно, равен Т. Тогда каждой точке х сопоставлены сферичеСJliие JliоордИ1-lаmы (Т; фl; ... ; Фn-l), а якобиан переходаот (хl; ...
;х n ) К (r;Фl; ... ;Фn-l) равен J n ==rJn - 1 , гдеJn -якобиан сферической замены в Rn -1 -1.Вывести:1)формулы перехода к сферическим координатамх n ==х n -lХ n -2Х2хlгде фl Е [О;2п), фj2)nв Rr sin Фn-l,== r cos Фn-l sin Фn-2,== r cos Фn-l cos Фn-2 sin Фn-3,== r cos Фn-l ... cos ф2 sin Фl,== r cos Фn-l ... cos ф2 cos Фl,Е [-п/2;п/2], j == 2, ... ,n-1;формулу для якобиана перехода к сферическим координатамJn== r n-l cos n-2 п/,о/n-l cos n-3 п/,о/n-2 ... cos 2 п/,0/3 cos п/,0/2·n181. Найти объем n-мерного шараL х; ~ R2.i=ln-l182.
Найти объем n-мерного цилиндраLх; ~ R 2 , О ~ х n ~ Н.i=ln-l183 . Н айти,2о б ъем n-мерного конуса ,~xi ~ Х 2 х 2n ,184. Вычислить интегралn-lG= {Jx;dx,О ~ Х ~ Н•Ni=lх = (Хl; ... ;Х n )' гдеGL х; ~ R2,О ~ хn ~ Н } .i=l185.Найти объем n-мерного эллипсоида ~х! ~ 1.~ а·i=l18~. Вычислить интегралшарLX; ~ Ri=l2•1,J(R 2 - xi - ... - х;)1/2 dx,11где[2 -§ 8.187.Кратный интеграл Ри.мана и его свойстваПусть функцияf(r)! j( Jкратному интегралнепрерывна приr219~ о. Свести к одноnxi+ о + x~) dx, где n - шар00L х; ~ R 2.i=lQ188. Пусть Q == [О; а]n, Q(x) == [О; Х1] х [О; Х2] х ... х [О; х n ], xk > О,k == 1, ... ,n, и пусть функция f(x) непрерывна на Q, х == (Х1; ...
;Х n ),U==(и1; ... ; и n ),!F(x) =f(u) du,х Е QoQ(x)Найти189.==дХl ... д х n·fПусть функция==[О; а]n, х(Х1;1т =... ; х n ).непрерывна и положительна на [О; а],Q==Вычислить интеграл! (k=lf j(Xk) / k=lf j(Xk)) dx,1:::; m:::;по1], Qn==[О;Q190.Пусть функция==зать, что (х(Х1;fнепрерывна на [О;1]n.Дока... ; х n ))! f(X1X2 ...
Xn) dx == f(O).limn---+ооQn191.Пусть Вn =мулу Дирихле (х!n{L Xk :::; 1, Xk ~ О, k = 1,(Х1;Рl -1 Р2 -1Рп -1 d _Х2... Х NХ -snПусть Вnнепрерывная при! f(X1 +000tn}о Получить форk=l... ; х n ))==Х1192.000'-(г (Рl) Г (Р2) ... г (Рn )Г Рl)' Pk+ Р2 + ... + Рn + 1О k1>,==,... , n.та же пирамида, что и в задаче191, f(t)~ О функция. Получить формулу Лuувuлля+ хn)хг -1x~2-1000 x~п -1 dX1 dX2000 dx n =Sn1=~(Pl)Г(P2)OOOГ(pn)) !f(t)tP1 +P2+ ... +Pn- 1dt, Pk > О, k == 1, ...
, n.Г Рl193.+ Р2 + ... + РnПоказать,Очто введенное ранеенесобственного интеграла в R1(см.[2, гл. 111]) понятиене равносильно данному здесь определению. А именно привести пример однократного интеграла, сходящегосявпрежнемопределенииирасходящегосявданномопределении.194. Доказать:1) линейность несобственного интеграла;2) аддитивность несобственного интегралапо множествам;здесьГл.220если3)Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.f~9 на G и обе функции интегрируемы на G в несобст-! f(x) dx ::::; ! g(x) dx.венном смысле, тоGнаG195. Пусть функция f интегрируема в несобственном смыслеG, n - открытое измеримое подмножество G. Доказать, что! f(x) dx - ! f(x) dx =GQ!f(x) dx.G\Q196. Доказать, что интеграл ! f(x) dx сходится тогда и толькоGтогда, когда для любой последовательности множествисчерпывающейG,!существуют интегралыf(x)dxи!limk-+(X)G\G kf(x) dx == о.G\G kесли f(x) ~ о, и f+(x) == о, если f(x) <если f(x) ~ о, и f-(x) == о, если f(x) > о.== f(x),197.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
